课件理论力学a2第九章

1、1第九章 拉格朗日方程L=T-V : 拉格朗日函数(系统的动势) : 作用于系统的非有势力对应的广义力2例：由拉格朗日方程导出质点运动微分方程(牛顿第二定律)。 1. 自由质点为三自由度； 2. 取空间直角坐标 (x, y, z) 为广义坐标； 3. 质点的动能： 4. 作用在质点上的合力为 F ； 5. 计算广义力： 取虚位移： y = z = 0 , x 0 合力做功： 对应广义坐标 x 的广义力： 3 同理： 6. 代入拉格朗日方程：4刚体平面运动微分方程设：刚体具有 质量对称面，对称面在自身所在的平面内运动，作用在刚体上的力系可简化为对称平面内的一个平面力系。利用质心运动定理和相对质心

2、的动量矩定理51. 刚体运动分解成随质心的平动+绕质心的(定轴)转动；例：由拉格朗日方程导出刚体平面运动微分方程。2. 作用在刚体上的力向质心简化：三自由度，取广义坐标：3. 刚体的动能：. 计算广义力： 取虚位移： 力系做功： 6 取虚位移： 取虚位移： . 代入拉格朗日方程：7第九章 拉格朗日方程1. 动力学普遍方程2. 拉格朗日方程 3. 拉格朗日方程的首次积分 8动力学的基本方法牛顿定律动量定理动量矩定理动能定理达朗贝尔原理/动静法虚位移原理拉格朗日方程守恒律首次积分99-3、拉格朗日方程的首次积分什么是首次积分？通过拉格朗日方程：系统的动力学方程：10如果存在函数使得将系统动力学方程

3、的任意解代入其中后，有：则称 为系统的首次积分。11例：质量-弹簧系统的自由振动方程通解：取：将通解代入：为系统的首次积分。129-3、拉格朗日方程的首次积分一、质点系动能表达式的数学结构13对于定常约束的质点系有：14已知非定常约束则系统的自由度为 k=1系统的广义坐标： q 系统的动能为：15设：系统主动力为有势力循环坐标：拉格朗日函数 L 中不显含的广义坐标拉格朗日函数表示成：二、循环积分则：该式称为循环积分 称为对应于广义坐标 的广义动量拉格朗日方程：如果：16拉格朗日方程：三、能量积分：如果拉格朗日函数中不显含时间 t，17广义能量积分对于具有定常约束的保守系统有：机械能守恒18例：

4、水平面光滑，给出系统拉格朗日方程的首次积分。解：系统的主动力为有势力系统的动能和势能分别为拉格朗日函数 中不显含广义坐标 x 和时间 t系统的水平动量守恒系统的机械能守恒1919例：图示系统：地面光滑，圆柱(半径为 r )作纯滚动，求系统的首次积分。解：系统的拉格朗日函数：循环积分：整体水平动量守恒能量积分：机械能守恒20例：考虑图示系统，设质量块 A 和 B 的质量分别为 和 ,弹簧常数为 k，约束面水平光滑。循环坐标的存在与广义坐标的取法有关取质量块的绝对位移 为广义坐标，其中 的坐标原点取在固定位置， 的坐标原点取在距 的原点距离为l (弹簧未变形时长度)的固定位置21取 A 的绝对位移

5、 、质量块 B 相对 A 的位移 为广义坐标:显然 为循环坐标22例：图示机构在铅垂面内运动，假定地面光滑，均质杆AB用光滑铰链与均质圆盘连接。求系统的首次积分。AB=2l解：系统的主动力均为有势力AB23拉格朗日函数 L 中不显含广义坐标 x、 和时间 t系统的水平方向动量守恒圆轮关于轮心的动量矩守恒机械能守恒24例：图示机构在铅垂面内运动，均质圆盘在地面上纯滚动，均质杆AB用光滑铰链与圆盘连接。求系统的首次积分。AB=2lAB解：系统的主动力均为有势力拉格朗日函数 中不显含广义坐标 x 和时间 t系统的广义动量守恒25研究整体：AB研究圆盘：（1）（2）26例：图示机构在铅垂面内运动，假定

6、地面光滑，均质杆AB用光滑铰链与均质圆盘连接。求系统的首次积分。设初始时系统静止，杆水平。AB=2lAB1. 如何求积分常数27初始条件：28例：系统如图所示，已知： m, k, = const., l0 为弹簧原长。 求滑块的拉格朗日方程首次积分。解：系统的广义坐标为 q拉格朗日函数 中不显含时间 t则拉格朗日方程有广义能量积分滑块的相对动能牵连惯性力的势能29例：系统如图所示，求系统动力学方程；维持 AB 匀角速 转动所需的控制力偶 M. 已知： 为弹簧原长。解：系统的广义坐标为当 时30相对运动中的动能定理与离心势能一、质点相对运动动力学基本方程动系(非惯性参考系)定系（惯性参考系）动点牵连惯性力: 科氏惯性力： 3132相对运动中的动能定理离心势能 相对运动中动能的改变, 等于内力、外力之功与牵连惯性力之功的和.当动系作匀速定轴转动时, 牵连惯性力(离心力)是有势力.离心势能33例：系统如图所示，已知： m