2022-2023学年北京大峪中学分校高三数学理模拟试卷含解析

1、2022-2023学年北京大峪中学分校高三数学理模拟试卷含解析一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 若x2，则当y= 取最小值时，此时x,y分别为（ ）A4 ， 3 B. 3, 4 C. 3、 3 D4 、 4参考答案：B2. 奇函数在上的解析式是，则在上，的函数解析式是（ ）A B C D参考答案：3. 如图，在边长为4的长方形ABCD中，动圆Q的半径为1，圆心Q在线段BC（含端点）上运动，P是圆Q上及内部的动点，设向量=m+n（m，n为实数），则m+n的取值范围是（）ABCD参考答案：A【考点】向量在几何中的应用【分析

2、】如图所示， =（ 4，0），=（0，4）可得=m +n =（ 4m，4n）当圆心为点B时，AP与B相切且点P在x轴的下方时，P（ 4，）此时m+n取得最小值；当圆心为点C时，AP经过圆心时，P（，）此时m+n取得最大值【解答】解：如图所示，边长为4的长方形ABCD中，动圆Q的半径为1，圆心Q在线段BC（含端点）上运动，P是圆Q上及内部的动点，向量=m+n（m，n为实数）；=（ 4，0），=（0，4）可得=m +n =（ 4m，4n）当动圆Q的圆心经过点C时，如图：P（，）此时m+n取得最大值：4m+4n=8+，可得m+n=2+当动圆Q的圆心为点B时，AP与B相切且点P在x轴的下方时，P（ 4

3、，）此时，4m+4n=4，m+n取得最小值为：1；则m+n的取值范围为故选：A【点评】本题考查了向量的坐标运算、点与圆的位置关系，考查了分类讨论思想方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题4. 设函数f（x）满足2x2f（x）+x3f（x）=ex，f（2）=，则x2，+）时，f（x）（）A有最大值B有最小值C有最大值D有最小值参考答案：B【考点】6B：利用导数研究函数的单调性【分析】推出f（x）的表达式，当x=2时，f（2）=，构造辅助函数，求导，由g（x）0在x2，+）恒成立，则g（x）在x=2处取最小值，即可求得f（x）在2，+）单调递增，即可求得f（x）的最小值【解答】解：由2x2f（

4、x）+x3f（x）=ex，当x0时，故此等式可化为：f（x）=，且当x=2时，f（2）=，f（2）=0，令g（x）=e22x2f（x），g（2）=0，求导g（x）=e22x2f（x）+2xf（x）=e2=（x2），当x2，+）时，g（x）0，则g（x）在x2，+）上单调递增，g（z）的最小值为g（2）=0，则f（x）0恒成立，f（x）的最小值f（2）=，故选：B5. 已知O为坐标原点，F为抛物线（）的焦点，若抛物线与直线l：在第一、四象限分别交于A、B两点，则的值等于（ ）A3 B9 C2p2 D4 p2参考答案：B6. 已知函数，则关于a的不等式f（a2）+f（a24）0的解集是（）AB（3

5、，2）C（1，2）D参考答案：A【考点】奇偶性与单调性的综合【分析】根据已知中的函数解析式，先分析函数的单调性和奇偶性，进而根据函数的性质及定义域，可将不等式f（a2）+f（a24）0化为1a24a21，解不等式组可得答案【解答】解：函数的定义域为（1，1）f（x）=sinx=f（x）函数f（x）为奇函数又f（x）=+cosx0，函数在区间（1，1）上为减函数，则不等式f（a2）+f（a24）0可化为：f（a2）f（a24）即f（a2）f（4a2），即1a24a21解得a2故关于a的不等式f（a2）+f（a24）0的解集是（，2）故选：A7. 中国有个名句“运筹帷幄之中，决胜千里之外”其中的“

6、筹”原意是指孙子算经中记载的算筹，古代是用算筹来进行计算，算筹是将几寸长的小竹棍摆在平面上进行运算，算筹的摆放形式有纵横两种形式，如下表：表示一个多位数时，像阿拉伯计数一样，把各个数位的数码从左到右排列，但各位数码的筹式需要纵横相间，个位，百位，万位数用纵式表示，十位，千位，十万位用横式表示，以此类推，例如6613用算筹表示就是：，则5288用算筹式可表示为（）ABCD参考答案：C【考点】归纳推理【分析】根据新定义直接判断即可【解答】解：由题意各位数码的筹式需要纵横相间，个位，百位，万位数用纵式表示，十位，千位，十万位用横式表示，则5288 用算筹可表示为11，故选：C8. 若集合，则集合不可

7、能是A B C D参考答案：D略9. f（x）=+log2x的一个零点落在下列哪个区间（）A（0，1）B（1，2）C（2，3）D（3，4）参考答案：B【考点】函数零点的判定定理【分析】根据函数的实根存在定理，要验证函数的零点的位置，只要求出函数在区间的两个端点上的函数值，得到结果【解答】解：根据函数的实根存在定理得到f（1）?f（2）0故选B10. 已知P（x0，y0）是椭圆C：上的一点，F1，F2是C的两个焦点，若，则x0的取值范围是（）ABCD参考答案：A【考点】K4：椭圆的简单性质【分析】设以O为原点、半焦距c=为半径的圆x2+y2=3与椭圆交于A，B两点；由，x=可得x0的取值范围是（

8、）【解答】解：如图，设以O为原点、半焦距c=为半径的圆x2+y2=3与椭圆交于A，B两点；由得，x=要使，则点P在A、B之间，x0的取值范围是（）故选：A二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 函数的定义域是 。参考答案：12. 如图，正方形ABCD中，M，N分别是BC，CD的中点，若=+，则+=参考答案：【考点】平面向量的基本定理及其意义【分析】设=， =，则=+， =+由于=+=（+）+（+）=+，利用平面向量基本定理，建立方程，求出，即可得出结论【解答】解：设=， =，则=+， =+由于=+=（+）+（+）=+，+=1，且+=1，解得 =，+=，故答案为：【点评】本题考

9、查平面向量基本定理的运用，考查向量的加法运算，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题，13. 设常数a0，若9x+对一切正实数x成立，则a的取值范围为 参考答案：，+）【考点】基本不等式【分析】由题设数a0，若9x+对一切正实数x成立可转化为（9x+）mina+1，利用基本不等式判断出9x+6a，由此可得到关于a的不等式，解之即可得到所求的范围【解答】解：常数a0，若9x+a+1对一切正实数x成立，故（9x+）mina+1，又9x+6a，当且仅当9x=，即x=时，等号成立故必有6aa+1，解得a故答案为，+）.14. 已知，且，则 参考答案：略15. 已知函数则_.参考答案：0因为所以.试题立

10、意：本小题主要考查分段函数；意在考查学生运算求解能力.16. 方程的不同非零整数解的个数为 。参考答案：。解析：利用，原方程等价于。方程两端同除，整理后得。再同除，得。即，从而有。经验证均是原方程的根，所以原方程共有个整数根。17. 如图，F1，F2是双曲线C：的左、右焦点，过F1的直线与的左、右两支分别交于A，B两点若为等边三角形，则双曲线的离心率为_参考答案：三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18. （本小题分10分）选修44：坐标系与参数方程已知极坐标的极点在平面直角坐标系的原点处，极轴与轴的正半轴重合，且长度单位相同直线的极坐标方程为：，点，

11、参数()求点轨迹的直角坐标方程；()求点到直线距离的最大值参考答案：解：() 且参数，所以点的轨迹方程为 3分()因为，所以，所以，所以直线的直角坐标方程为 6分法一：由() 点的轨迹方程为，圆心为，半径为2.，所以点到直线距离的最大值. 10分 法二：，当，即点到直线距离的最大值. 10分略19. (14分) 已知二次函数为偶函数，函数的图象与直线y=x相切.（1）求的解析式（2）若函数上是单调减函数，那么：求k的取值范围；是否存在区间m，n（mn，使得在区间m，n上的值域恰好为km，kn？若存在，请求出区间m，n；若不存在，请说明理由.参考答案：解析：（1）f（x+1）为偶函数，恒成立，即

12、（2a+b）x=0恒成立，2a+b=0，b=2a，函数f（x）的图象与直线y=x相切，二次方程有两相等实数根，（5分）（2），故k的取值范围为（8分）即mn，故当；当k1时，当k=1时，m，n不存在.（14分）20. 已知函数 （I）若，求函数的极值； （II）若对任意的，都有成立，求的取值范围参考答案：解：（I）， ，得，或，列表：2+0-0+极大极小 函数在处取得极大值， 函数在处取得极小值； 4分（II），时，5分（i）当，即时，时，函数在是增函数，恒成立； 7分（ii）当，即时，时，函数在是减函数，恒成立，不合题意 9分（iii）当，即时，时，先取负，再取，最后取正，函数在先递减，再递

13、增，而，不能恒成立； 11分综上，的取值范围是. 12分21. 在平面直角坐标系xOy中，过点M（0，1）的椭圆 ：（ab0）的离心率为.（1）求椭圆 的方程；（2）已知直线l不过点M，与椭圆 相交于P，Q两点，若MPQ的外接圆是以PQ为直径，求证：直线l过定点，并求出该定点的坐标参考答案：【考点】直线与椭圆的位置关系【分析】（1）由过点M（0，1）的椭圆： =1（ab0）的离心率为，得到a，b，c的方程组，解方程组求出a，b，由此能求出椭圆方程（2）MPQ的外接圆以PQ为直径，可得到MPMQ，设直线MP方程，代入椭圆方程，求出点P的坐标，同理求出Q点坐标，从而求出直线PQ的方程，即可求出直线PQ过定点的坐标【解答】解：（1）过点M（0，1）的椭圆： =1（ab0）的离心率为，解得a2=3，b=1，椭圆 的方程为（2）证明：MPQ外接圆是以PQ为直径，故MPMQ，直线MP与坐标轴不垂直，由M（0，1）可设直线MP的方程为y=kx+1，直线MQ的方程为y=（k0），将y=kx+1代入椭圆的方程，整理，得；（1+3k2）x