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文档简介

1、分离变量法3二维拉普拉斯方程的边值问题 矩形区域上的拉普拉斯边值问题问题描述：一个长为a，宽为b的矩形薄板，上下两面绝热，四周边界温度已知，具体为：板的两边（x=0, x=a）始终保持零度，另外两边（y=0, y=b）的温度分别为f(x)和g(x)，求薄板内稳恒状态下的温度分布规律。0 xabf(x)g(x)0。0。y二维拉普拉斯方程的边值问题 矩形区域上的Laplace方程边值问题二维拉普拉斯方程的边值问题 设 边界条件如何处理?关于Y(y)的方程关于X(x)的方程二维拉普拉斯方程的边值问题 原定解问题的解：由边界条件得： 问题：如何推导系数Cn和Dn?看成整体由Fourier级数展开定理，

2、可知解代数方程组，得Cn和Dn二维拉普拉斯方程的边值问题 解方程，得：定解问题的解是：算例：边界温度分布温度算例：温度分布平面图二维拉普拉斯方程的边值问题 所述问题可以表示为下列定解问题这个问题能采用分离变量法求解吗？先尝试！边界条件的提法原有的定解条件虽然的取值范围是所有实数，但实际只须取0,2，温度分布u(r, )关于是周期变化的，且周期是0,2。固有值问题(1)当 时，方程的通解为式中A与B是任意常数。这样的函数不满足周期性条件。(2)当 时， ， 是特征值。(3)当 时,只有当 取整数时，对所有才满足周期边界条件。特征值是周期边界条件求R(r)将固有值问题的特征值 代入上式，其解是（Euler方程）当r0时，r-n，违背了物理规律。所以，必须强加条件|R(0)|，令Dn=0即可，u0(r, )un(r, )欧拉方程的解法令 ，有 ，则代入欧拉方程中，得到则方程有通解求R(r)将固有值问题的特征值 代入上式，其解是（Euler方程）当r0时，r-n。但，r0处的温度不可能为无限大，所以，必须强加条件|R(0)|，即令Dn=0u0(r, )un(r, )求解过程之回顾所述问题可以表示为下列定解问题这个问题是定解问题吗？暂时无法判断！先用分离变量法求解。整个求解过程中，采用了什么定解条件？周期边界条件，有界性条件所述问题可以表示为下列定解问题周期性边界条件：有界性条件：以

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