变量间的相关关系教案22

1、2.3 变量间的相关关系 三维目标1学问与技能 通过收集现实问题中两个有关联变量的数据,熟悉变量间的相关关系2过程与方法 明确事物间的相互联系熟悉现实生活中变量间除了存在确定的关系外,仍存在大量的非确定性的相关关系,并利用散点图直观体会这种相关关系3情感、态度与价值观 通过对事物之间相关关系的明白,让同学们熟悉到现实中任何事物都是相互联系的辩证法思想 重点难点 重点： 1通过收集现实问题中两个有关联变量的数据直观熟悉变量间的相关关系；2利用散点图直观熟悉两个变量之间的线性关系难点： 1变量之间相关关系的懂得；2作散点图和懂得两个变量的正相关和负相关从现实生活入手,抓住同学们的留意力,引导同学分

2、析得出概念,让同学真正参加到概念的形成过程中来通过对典型事例的分析,向同学们介绍什么是散点图,并总结出如何从散点图上判定变量之间关系的规律通过试验让同学们感受散点图的主要形成过程,并由此引出线性相关关系强化本节重点通过同学争论、沟通,用 TI 图形运算器展现、对比自己作出的散点图,得出线性相关关系、正负相关关系的概念老师准时将求线性方程的公式展示出来,通过例题的讲解和训练,进一步加深对散点图和回来方程的懂得,突破难点 教学建议 结合本节课的教学内容和同学的认知水平,充分发挥老师的主导作用,让同学真正成为教学活动的主体通过多媒体帮助教学,充分调动同学参加 课堂教学的主动性与积极性本节课宜采纳探究

3、式课堂教学模式,即在教学过程中,在老师的启示引导下,以同学独立自主和合作沟通为前提,以“ 散点图” 为基本探究内容,以四周世界和生活实际为参照对象,为同学供应充分自由表达、质疑、探究、争论问题的机会,让同学通过个人、小组、集体等多种解难释疑的尝试活 动,通过例题和变式训练进一步巩固本节学问,将自己所学学问应用于对现实生活的深化探讨让同学在“ 活动” 中学习,在“ 主动” 中进展,在“ 合 作” 中增知,在“ 探究” 中创新 教学流程创设问题情境引入问题：人体内脂肪的含量与年龄之间有何关系？的公式.引导同学结合必修一中函数图象的画法将对应点在坐标系中描出,观看比较,分析这些点的特点.通过引导同学

4、回答所提问题懂得相关关系与散点图的概念进一步探究这些点的特点给出求b,a.通过例 1及变式训练使同学进一步懂得和把握线性相关的应用,及散点图与线性相关的关系. 通过例2 及其变式训练,使同学把握线性回来方程的求法. 争论现实生活中的实际问题,应用本节学问完成例3 及变式能够对总体进行估量.归纳整理,进行课堂小结,整体把握本节学问.完成当堂双基达标,巩固所把握的学问,并进行反馈矫正课标1.懂得两个变量的相关关系的概念难点 重点 2会作散点图,并利用散点图判定两个变量之间是否具有相关关系解读3会求回来直线方程重点 4相关关系与函数关系易混点 变量间的相关关系【问题导思】下表是水稻产量与施化肥量的一

5、组观测数据：施化肥量15202530354045 水稻产量320330360410460470480 1.将上述数据制成散点图【提示】散点图如下：2施化肥量与水稻产量有关系吗？【提示】有关系1相关关系：不像匀速直线运动中时间与路程的关系那样是完全确定的,而是带有不确定性2散点图：将样本中几个数据点 xi,yii1,2, , n描在平面直角坐标系中得到的图形3正相关与负相关：散点图中的点散布在从左下角到右上角的区域,对于两个变量的这种相关关系,称它为正相关如散点图中的点分布在从左上 角到右下角的区域内,对于两个变量的这种相关关系,称它为负相关回来直线方程【问题导思】一台机器由于使用时间较长,生产

6、的零件有一些会有缺陷按不同转速生产出有缺陷的零件的统计数据如下：转速 x转/秒1614128 每小时生产有缺11985 陷的零件数y件1.在平面直角坐标系中作出散点图【提示】2从散点图中判定 x 和 y 之间是否具有相关关系？【提示】有3如转速为 10 转/秒,能否猜测机器每小时生产缺陷的零件件数？【提示】可以依据散点图作出一条直线,求出直线方程后可猜测1回来直线：假如散点图中点的分布从整体上看大致在一条直线邻近,就称这两个变量之间具有线性相关关系,这条直线叫做回来直线2回来方程：回来直线对应的方程叫回来直线的方程,简称回来方程3最小二乘法求回来直线时,使得样本数据的点到回来直线的距离的平方和

7、最小的方法叫做最小二乘法4求回来方程如两个具有线性相关关系的变量的一组数据为：x1,y1, x2,y2, , xn,yn,就所求的回来方程为yb x a,其中 a,b 为待定的参数,由最小二乘法得：nxi x yi y nxiyin x yi1 i1b,n nxi x 2 x2i n x 2i1 i1a y b x .b 是回来直线斜率,a 是回来直线在 y 轴上的截距线性相关关系的判定以下是在某地搜集到的不同楼盘新居屋的销售价格115y单位：万元 和房屋面积x单位： m2的数据：105 房屋面积 xm211080135销售价格 y万元 24.821.619.429.222 1画出数据对应的散

8、点图；2判定新居屋的销售价格和房屋面积之间是否具有相关关系？假如有相关关系,是正相关仍是负相关？【思路探究】涉及两个变量房屋面积与销售价格,以房屋面积为自变量,考察销售价格的变化趋势从而做出判定【自主解答】1数据对应的散点图如下列图：2通过以上数据对应的散点图可以判定,新居屋的销售价格和房屋的面积之间具有相关关系,且是正相关两个随机变量 x 和 y 相关关系的确定方法：1散点图法：通过散点图,观看它们的分布是否存在肯定规律,直观地判定2表格、关系式法：结合表格或关系式进行判定3体会法：借助积存的体会进行分析判定5 个同学的数学和物理成果如下表：同学学科成果A B C D E数学80757065

9、60 物理7066686462 画出散点图,并判定它们是否具有线性相关关系【解】以 x 轴表示数学成果,y 轴表示物理成果,可得相应的散点图如下列图,由散点图可知,两者之间具有线性相关关系,且是正相关求回来直线方程一个车间为了规定工时定额,需要确定加工零件所花费的时间,为此进行了10 次试验,收集数据如下：零件数 x个102030405060708090100 加工时间 y分626875818995102108115122 1y 与 x 是否具有线性相关关系？2假如 y 与 x 具有线性相关关系,求 y 关于 x 的回来直线方程【思路探究】画散点图 确定相关关系 求回来直线系数写回来直线方程【

10、自主解答】1画散点图如下：由上图可知 y 与 x 具有线性相关关系2列表、运算：i 12345678910 xi102030405060708090100 yi626875818995102108115122 xiyi62016025034044505007408 40105012200 x 55, y 91.7,b10y10102 i 87 777,10 x2 i 38 500,y i1xiyi55 950 i1i1xiyi10 xi 1255 95010 55 91.70.668,38 50010 55210 x2 i 10 xi 1a y bx 91.70.668 5554.96. 即所

11、求的回来直线方程为：y0.668x54.96. 用公式求回来方程的一般步骤：1列表 xi,yi,xiyi；ni 1xn 2 i ,i 1xiyi；2运算 x , y ,3代入公式运算b、a 的值；4写出回来方程从某一行业随机抽取 12 家企业,它们的生产产量与生产费用的数据如下表：企业编号123456789101112 产量 x/台40425055857884100116125130140 费用 y/万元130150155140150154165170167180175185 1绘制生产产量x 和生产费用y 的散点图；2假如两个变量之间是线性相关关系,请用最小二乘法求出其回来直线方程【解】1

12、两个变量 x 和 y 之间的关系的散点图如下列图2依据散点图可知,两个变量x 和 y 之间的关系是线性相关关系下面用最小二乘法求回来直线方程101112合计l 123456789xi404250558578841001161251301401 045 yi1301501551401501541651701671801751851 921 xiyi x2i52006300775077001275012022138601700019372225002275025900173094 1600176425003257225608470561000013456156251690019600104835

13、设所求的回来直线方程是y bx a,nyxiyi n xi1所以 bnx 2 i n x2i1173 094167 298.096104 835 90 995.116 85 795.90413 839.883 2 0.42,a y b x 160.10.42 87.08 123.53.所求的回来直线方程是y0.42x 123.53. 利用回来方程对总体进行估量12 分下表供应了某厂节能降耗技术改造后生产甲产品过程中记录的产量6 x吨与相应的生产能耗y吨标准煤 的几组对比数据：x 345y 2.5344.5 1请画出上表数据的散点图；2请依据上表供应的数据,用最小二乘法求出回来方程 yb xa；

14、3已知该厂技改前 100 吨甲产品的生产能耗为 90 吨标准煤 试依据 2求出的线性回来方程,猜测生产 100 吨甲产品的生产能耗比技改前降低多少吨标准煤？【思路探究】1以产量为横坐标,以生产能耗对应的测量值为纵坐标,在平面直角坐标系内画散点图；2应用运算公式求得线性相关系数b,a 的值； 3实际上就是求当x100 时,对应的y 的值【自主解答】1散点图,如下列图42由题意,得xiyi3 2.54 35 4 6 4.566.5,i 13456x 44.5,2.5344.5y 43.5,4x 2 i 3 24 25 26 286,i1b66.54 4.5 3.566.5630.7,0.7 100

15、 0.35 70.35吨,864 4.528681a y bx 3.5 0.7 4.50.35,故线性回来方程为y0.7x 0.35. 3依据回来方程的猜测,现在生产100 吨产品消耗的标准煤为故耗能削减了9070.3519.65吨标准煤 1回来分析是查找相关关系中非确定性关系的某种确定性2只有当两个变量之间存在线性相关关系时,才能用回来直线方程对总体进行估量和猜测否就,假如两个变量之间不存在线性相关关系,即使由样本数据求出回来直线方程,用其估量和猜测结果也是不行信的炼钢是一个氧化降碳的过程,钢水含碳量的多少直接影响冶炼时间的长短,必需把握钢水含碳量和冶炼时间的关系假如已测得炉料熔化完毕时,钢

16、水含碳量x 与冶炼时间y从炉料熔化完毕到出钢的时间的几种对应数据如下表所示：134150191204121 x0.01%104180190177147y分10020021185155135170205235125 1作出散点图,判定冶炼时间y 对钢水含碳量x 是否线性相关；2求回来直线方程；3猜测当钢水含碳量为 160 个 0.01%时应冶炼多少分钟【解】1以 x 轴表示含碳量,y 轴表示冶炼时间,可作散点图如下列图从图中可以看出,各点散布在一条直线邻近,即它们线性相关2列表如下：i 12345678910 xi104180190177147134150191204121 yi10020021

17、0185155135170205235125 xiyi10400360003990032745227851809025500391554794015125 x 159.8, y 172,设所求的回来直线方程为yb xa . 10 x2i 265 448,i110 xiyi287 640 i110 xiyi10 xybi 1287 64010 159.8 17210 x2i 10 x2265 448 10 159.82i 11.27,a y b x 1721.27 159.830.95,即所求的回来直线方程为 y1.27x 30.95. 3当 x160 时, y1.27 16030.95172分

18、,即大约冶炼 172 分钟 . 数形结合在线性相关性中的应用12 分下表数据是退水温度x对黄硐延长性y%效应的试验结果,y 是以延长度运算的,且对于给定的x, y 为正态变量,其方差与 x 无关x300400500600700800 y%405055606770 1画出散点图；2指出 x,y 是否线性相关；3如线性相关,求 y 关于 x 的线性回来方程；4估量退水温度是 1 000 时,黄硐延长性的情形【思路点拨】依据所给数据画出散点图,然后可借助函数的思想分析【规范解答】1散点图如下列图4 分2由散点图可以看出样本点分布在一条直线的邻近,可见y 与 x 线性相关 . 5 分3列出下表,并用科

19、学运算器进行有关运算i 123456 xi300400500600700800 yi405055606770 xiyi x 2 i120222022027500360004690056000 90000160000250000360000490000640000 x 550, y 57,62i 1 990 000,6xxiy i198 400 i 1i1于是可得：b6198 4006 550 57xiyi6 xyi 16x2i 6 x21 990 0006 5502i 10.058 857,8 分a y bx 570.058 857 55024.628 65.9 分因此所求的线性回来方程为y0

20、.058 857x24.628 65. 10 分4将 x1 000 代入回来方程得y 0.058 857 1 00024.628 6583.486,即退水温度是1 000 时,黄硐延长性大约是83.486%. 12 分1在争论两个变量是否存在某种关系时,必需从散点图入手,对于散点图,可以做出如下判定：1假如全部的样本点都落在某一函数曲线上,那么就用该函数来描述变量之间的关系,即变量之间具有函数关系；2假如全部的样本点都落在某一函数曲线邻近,那么变量之间具有相关关系；3假如所有的样本点都落在某始终线邻近,那么变量之间具有线性相关关系2利用散点图判定两个变量之间是否具有线性相关关系,表达了数形结合

21、思想的作用,而用回来直线方程进行估量又表达了函数与方程思想的应用1判定变量之间有无相关关系,一种简便可行的方法就是绘制散点图依据散点图,可以很简单看出两个变量是否具有相关关系,是否线性相关,是正相关仍是负相关2求回来直线方程时应留意的问题 1知道 x 与 y 呈线性相关关系,无需进行相关性检验,否就应第一进行相关性检验,假如两个变量之间本身不具有相 关关系,或者说,它们之间的相关关系不显著,即使求出回来方程也是毫无意义的,而且用其估量和猜测的量也是不行信 的2用公式运算 a,b的值时,要先算出b,然后才能算出a . 3利用回来方程,我们可以进行估量和猜测如回来直线方程为ybxa,就 xx0 处

22、的估量值为 y0bx0a . 由于回来直线将部分观测值所反映的规律进行了延长,所以它在情形预报、资料补充等方面有着广泛的应用1以下变量之间的关系是相关关系的是 A正方体的表面积与体积B光照时间与果树产量 C匀速行驶车辆的行驶距离与时间D中国足球队的竞赛成果与中国乒乓球队的竞赛成果【解析】A、C 是函数关系, D 无相关关系【答案】B 2设一个回来方程y31.2x,就变量 x 增加一个单位时 Ay 平均增加 1.2 个单位 By 平均增加 3 个单位 Cy 平均削减 1.2 个单位 Dy 平均削减 3 个单位【解析】由 b 1.20,应选 A. 【答案】A 3如施化肥量x千克 /亩与水稻产量y千

23、克 /亩的回来方程为y5x250,当施化肥量为80 千克 /亩时,估量水稻产量为亩产_千克左右2832 【解析】当 x80 时, y400250 650. 【答案】650 4某公司利润y单位：千万元 与销售总额x单位：千万元 之间有如下表对应数据：x 1015172025y 11.31.822.62.73.3 1画出散点图；2判定 y 与 x 是否具有线性相关关系【解】1 散点图如下：2由图可知,全部数据点接近直线排列,因此,认为y 与 x 有线性相关关系,且为正相关. 一、挑选题1判定以下图形中具有相关关系的两个变量是 【解析】A、B 为函数关系, D 无相关关系【答案】C 22022 广州

24、高一检测 已知 x 与 y 之间的一组数据：x 01234 y 13579 就 y 与 x 的线性回来方程 ybxa 必过点 A1,2 B5,2 C2,5 D2.5,5 【解析】线性回来方程肯定过样本中心 x , y 012 34 13 579由 x 52, y 55. 故必过点 2,5【答案】C x元/件呈负相关,其回来方程可能是 32022 长沙高一检测 某商品销售量y件与销售价格A. y 10 x200 B.y10 x200 C.y 10 x200 D.y10 x200 【解析】由于 y 与 x 呈负相关, x 的系数为负,又 y 不能为负值,常数必需是正值【答案】A 4两个相关变量满意

25、如下关系：x 1015202530 xi,yii1,2, , n,用最小二乘y 1 0031 0051 0101 0111 014 两变量的回来直线方程为 x单位： cm具有线性相关关系,依据一组样本数据A. y0.56x997.4 B.y0.63x231.2 C.y50.2x501.4 D.y60.4x400.7 【解析】x 1 5101520253020,y 1 51 0031 005 1 0101 0111 0141 008.6,代入所给选项A 符合【答案】A 52022 湖南高考 设某高校的女生体重y单位： kg与身高法建立的回来方程为y0.85x85.71,就以下结论中不正确的是 A

26、y 与 x 具有正的线性相关关系B回来直线过样本点的中心 x , y C如该高校某女生身高增加 1 cm,就其体重约增加 0.85 kg D如该高校某女生身高为 170 cm,就可肯定其体重必为 58.79 kg 【解析】由于线性回来方程中 x 的系数为 0.85,因此 y 与 x 具有正的线性相关关系,故 A 正确又线性回来方程必过样本中心点 x , y ,因此 B正确由线性回来方程中系数的意义知,x 每增加 1 cm,其体重约增加 0.85 kg,故 C 正确当某女生的身高为 170 cm 时,其体重估量值是 58.79 kg,而不是详细值,因此 D 不正确【答案】D 二、填空题6调查了某

27、地如干户家庭的年收入x单位：万元 和年饮食支出y单位：万元 ,调查显示年收入x 与年饮食支出y 具有线性相关关系,并由调查数据得到 y 对 x 的回来直线方程：y0.254x0.321.由回来直线方程可知,家庭年收入每增加 1 万元,年饮食支出平均增加 _万元【解析】由于 y0.254x 0.321 知,当 x 增加 1 万元时,年饮食支出 y 增加 0.254 万元【答案】0.254 7某服装商场为了明白毛衣的月销售量 y件与月平均气温 x之间的关系,随机统计了某 4 个月的月销售量与当月平均气温,其数据如下表：月平均气温 x 17 13 8 2 月销售量 y件 24 23 40 55 由表

28、中数据算出线性回来方程中的 b 2.气象部门猜测下个月的平均气温约为 6 ,据此估量,该商场下个月毛衣的销售量约为 _件【解析】样本中心点是 10,35.5,就a y b x35.52 1055.5,故线性回来方程为y 2x55.5,将 x6 代入得y 2 655.5 43.544. 【答案】44 由资料显示y 与 x 呈线性相关关系：8某公司的广告费支出x 与销售额 y单位：万元 之间有以下对应数据x 24568 y 3040605070 115 万元时约需 _万元广告费依据上表供应的数据得到回来方程y b xa 中的 b6.5,猜测销售额为【解析】x 1 52 45685,y 1 5304

29、060507050,由b 6.5 知, a y b x 50 6.5 517.5,y17.56.5x,当 y115 时,解得 x15. 【答案】15 三、解答题9某工厂对某产品的产量与成本的资料分析后有如下数据：产量 x千件 2356 成本 y万元 78912 1画出散点图；2求成本 y 与产量 x 之间的线性回来方程结果保留两位小数 【解】1 散点图如下列图2设 y 与产量 x 的线性回来方程为yb xa,x 23564, y 789129,44nxiyin xybi 1nx2 i n x2i 1x1y1x2y2x3y3x4y4 4 xy11 101.10,x 21 x 22x 23x 24

30、4 x2a y bx 91.10 4 4.60. 回来方程为： y1.10 x 4.60. 10高三 1 班的 10 名同学每周用于数学学习的时间xh与数学成果y分之间有如下对应数据：1713 10 x 2415231916112016y 92799789644783687159 假如 y 与 x 之间具有线性相关关系,求回来直线方程保留 2 位小数 89【解】列出下表,并用科学运算器进行有关运算34567i 12xi24152319161120161713 yi92799789644783687159 xiyi2 2081 1852 2311 1 5171 6601 0881 207767

31、691024x 17.4,y 74.9,10 x2ii13 182,10 xiyii 113 578 10 xiyi10 x yi1 b10545.4 154.43.53,x 2 i 10 x 2 i1a y b x 74.93.53 17.4 13.48,所求的回来方程是y3.53x13.48. 11某地最近十年粮食需求量逐年上升,下表是部分统计数据：年份 2022 2022 2022 2022 2022 需求量 万吨 236 246 257 276 286 1利用所给数据求年需求量与年份之间的回来直线方程 bx a ；2利用 1中所求出的直线方程猜测该地 2022 年的粮食需求量【解】1 由所给数据看出,年需求量与年份之间是近似直线上升,下面来求回来直线方程,先将数据预处理如下：年份 202242 0 2 4 需求量 257211101929 对预处理的数据,简单算得x 0, y 3.2,b4 21 2 11 2 194 29260 406.5,42222242a y bx 3.2.由上述运算结果,知所求回来直线方程为y257bx2 006a 6.5x2 0063.2. 即 y6.5 x2 006260.2.