大学物理授课教案第七章真空中的静电场

1、第七章真空中的静电场沈阳工业大学郭连权（教授）第三篇电磁学第七章真空中的静电场本章只讨论真空中的电场，下一章再讨论介质中静电场。静电场：相对于观察者静止的电荷产生的电场。7-1电荷库仑定律一、电荷1、电荷I种类正电荷负电荷作用同性相斥-异性相吸（一般地说：使物体带电就是使它获得多余的电子或从它取出一些电子）2、电荷守恒定律电荷从物体的一部分转移到另一部分，这称为电荷守恒定律。它是物理学的基本定律之一。3、电荷量子化在自然界中所观察到的电荷均为基本电荷e的整数倍。这也是自然界中的一条基本规律，表明电荷是量子化的。直到现在还没有足够的实验来否定这个规律。二、库仑定律点电荷：带电体本身线度比它到其他

2、带电体间的距离小得多时，带电体的大小和形状可忽略不计，这个带电体称为点电荷。（如同质点一样，是假想模型）库仑定律：真空中两点电荷之间的相互作用力大小与他们电量乘积成正比，与他们之间距离成反比，方向在他们连线上，同性相斥、异性相吸。这叫做库仑定律。它构成全部静电学的基础。数学表达式：q受q的作用力：2101Fkqiq20斥力（同号）O12r212,0吸引（异号）采用国际单位制，其中的比例常数k=9109N-m2/c2。Fkq1q212r212r12r丿12丿jqq=k12rr31212-o图7-14e0s8.85x10-12c2/Nm201qqF12r124sr312012是q对q是作用力，12

3、q对q的作用力为：2111qqF12r214sr321021说明：F12亠1亠2r是由q指到q的矢量。1212qq()16r)=F40l2ql如图所取坐标IEBx=21g1By（E与p同向）A22cos+Ecos)=-2EcosglBx*分立电荷产生场强的叠加问题。例7-2:设电荷q均匀分布在半径为R的圆环上，计算在环的轴线上与环心相距点的场强。解：如图所取坐标,轴在圆环轴线上，把圆环分成一系列点电荷，d1部分在p点产生的电场为:dE二d1d14K8第七章真空中的静电场沈阳工业大学郭连权（教授）第七章真空中的静电场沈阳工业大学郭连权（教授）0000第七章真空中的静电场沈阳工业大学郭连权（教授）

4、第七章真空中的静电场沈阳工业大学郭连权（教授）0000=电荷线密度第七章真空中的静电场沈阳工业大学郭连权（教授）第七章真空中的静电场沈阳工业大学郭连权（教授）20002000第七章真空中的静电场沈阳工业大学郭连权（教授）第七章真空中的静电场沈阳工业大学郭连权（教授）20002000dE=dEcos0=/4802九xdlE=j-/004s02,R224S.0根据对尔性可知，E=0丄qxE=E厂0XxdlC2,R2)(X-2R)x2,R224s0:E沿x轴正向:E沿x轴负向480qx”2（均匀带电圆环结果）xrdr2,r2)40咯环在P点产生场强方向均相同,整个圆盘在p点产生场强为:e=jdE=n

5、oxrdr/020oxjRrdr200ox1jRd(x22J/+r2)十2)ox2ox1M7-11第七章真空中的静电场沈阳工业大学郭连权（教授）第七章真空中的静电场沈阳工业大学郭连权（教授）1-2f00：背离圆盘0：指向圆盘讨论：RT时，变成无限大带电薄平板,E/_a，方向与带电平板垂直。2f0求距它为r处p点场强。即E与盘面垂直（E关于盘面对称）例7-4:有一均匀带电直线，长为l，电量为q,解：如图所取坐标，把带电体分成一系列点电荷，dy段在p处产生场强为:dE_dq_处（q）4兀fr24兀f（y2+r2）/00第七章真空中的静电场沈阳工业大学郭连权（教授）第七章真空中的静电场沈阳工业大学郭

6、连权（教授）第七章真空中的静电场沈阳工业大学郭连权（教授）第七章真空中的静电场沈阳工业大学郭连权（教授）由图知:代中有:第七章真空中的静电场沈阳工业大学郭连权（教授）第七章真空中的静电场沈阳工业大学郭连权（教授）rsin0rdy=rcsc20d0，r=cosp第七章真空中的静电场沈阳工业大学郭连权（教授）第七章真空中的静电场沈阳工业大学郭连权（教授）九rcsc20d0.dEx4兀fr20sin20E_dE_0f入血滋0 xx4兀fr010dE_-dEsinP_dEcos0yE_dE_0f入cOs0d0_yy4兀fr00讨论：无限长均匀带电直线(cos0-cos0)ri2九 HYPERLINK

7、l bookmark814兀fr20_0,0_兀,九2 HYPERLINK l bookmark87,E_0.2kfry0即无限均匀带电直线，电场垂直直线，直线。例7-5:有一无限大均匀带电平面，电荷面密度为(sin0-sin0)一1九”0，E背向直线；九0，E指向，求在平面附近任一点场强。第七章真空中的静电场沈阳工业大学郭连权（教授）第七章真空中的静电场沈阳工业大学郭连权（教授）解：如图所取坐标，X轴垂直带电平面，把带电平面分成一系列平行于Z轴的无限长窄条，阴影部分在P点产生场强为（无限长均匀带电直线结果）dy-1）dE=2mr2mrdE=dEcos0=JdE=J+Xdy2m+=JdExdy

8、=0（由对称性可知）2m结论：无限大均匀带电平面产生均匀场,+0背离平面0时，不能说S内只有正电荷0时，不能说S内只有负电荷=0时，不能说S内无电荷注意：这些都是S内电荷代数和的结果和表现。高斯定理说明，JEdS，1q与S内电荷有关而与S外电荷无关，这并不eS0S內是说E只与S内电荷有关而与S外电荷无关。实际上，E是由S内、外所有电荷产生的结果。高斯面可由我们任选。二、高斯定理应用举例下面介绍应用高斯定理计算几种简单而又有对称性的场强方法。可以看到，应用高斯定理求场强比前面介绍的方法更为简单。例7-6：一均匀带电球面，半径为R，电荷为+q，求：球面内外任一点场强。解：由题意知，电荷分布是球对称

9、的，产生的电场是球对称的，场强方向沿半径向外，以O为球心任意球面上的各点E值相等。球面内任一点P的场强12+4爲以O为圆心，通过P点做半径为r的球面S为高斯面，高斯定理为:J*E-dS，1q1丰与dS同向，内且S上E值不变JE-dS=JE-dS，EJdS，E-4兀r2si1si图7-19i乙q，0、0S1内nE-4兀r2，01E，0即均匀带电球面内任一点P场强为零。1注意：1）不是每个面元上电荷在球面内产生的场强为零，而是所有面元上电荷在球面内产生场强的矢量和=0。2）非均匀带电球面在球面内任一点产生的场强不可能都为零。（在个别点有可能为零）球面外任一点的场强以O为圆心，通过P点以半径r做一球

10、面S作为高斯面，由高斯定理有：2221E-4兀r2，q20E，q4兀r20方向：沿OP方向（若q0，则沿PO方向）盼2结论：均匀带电球面外任一点的场强，如图电荷全部集中在球心处的点电荷在该点产生的场强一样。E，f0（rR）R）4kr20例7-7:有均匀带电的球体，半径为R，电量为+q，求球内外场强（8-13）。解：由题意知，电荷分布具有球对称性，电场也具有对称性，场强方向由球心向外辐射，在以O为圆心的任意球面上各点的E相同。（1）球内任一点P的E，?1以O为球心，过P点做半径为r的高斯球面S，高斯定理为：fii1JE-dS，1EqS.0Si内E与dS同向，且S上各点E值相等，JE-dS，JE-

11、dS，EJdS，E-4兀r21sis14q兀r3，r331R310s1yqTOC o 1-5 h zq=4 HYPERLINK l bookmark16740s.,兀R3 HYPERLINK l bookmark1771内o3qr3R310E，qr4ksR31E沿OP方向。结论：E工ri注意：不要认为0（若q0,则E沿PO方向）S外任一电荷兀在P处产生的场强为0，而是S外所有电荷兀在1111P点产生的场强的叠加为0。1（2）球外任一点P的E，?2以O为球心，过P点做半径为r的球形高斯面S,高斯定理为:222第七章真空中的静电场沈阳工业大学郭连权(教授)第七章真空中的静电场沈阳工业大学郭连权(教

12、授)S2E-dS，1q0S2内由此有:1E-4r2，q20nE，q4亦r202E沿op方向2结论：均匀带电球体外任一点的场强，如同电荷全部集中在球心处的点电荷产生的场强一样。qr(rR)i4亦r20E-r曲线如左图。图7-22例7-8:一无限长均匀带电直线，设电荷线密度为X，求直线外任一点场强。解：由题意知，这里的电场是关于直线轴对称的，E的方向垂直直线。在以直线为轴的任一圆柱面上的各点场强大小是等值的。以直线为轴线，过考察点P做半径为r高为h的圆柱高斯面，上底为S、下底为S，侧面为S。TOC o 1-5 h z123高斯定理为：JE-dS，1q HYPERLINK l bookmark197

13、0$内在此，有:E-dSJE-dSJE-dSssis2s3在S、S上各面元dS丄E，前二项积分=012致，且E二常数，EdS，EJdS，E-2rh又在S上E与dS方JE-dS，JE-dS，S3ss1qJXh；80%01nE-2rh，Xh0XE，2kr0E由带电直线指向考察点。(若X0，求柱面内外任一点场强。第七章真空中的静电场沈阳工业大学郭连权(教授)第七章真空中的静电场沈阳工业大学郭连权（教授）第七章真空中的静电场沈阳工业大学郭连权（教授）32解：由题意知，柱面产生的电场具有轴对称性，场强方向由柱面轴线向外辐射，并且任意以柱面轴线为轴的圆柱面上各点E值相等。1）带电圆柱面内任一点P的E?1T

14、OC o 1-5 h z以OO为轴，过P点做以r为半径高为h的圆柱高斯面，上底为S,下底为S,ii侧面为S。高斯定理为：E-dS1工q在此,有：0$内ffR弓I._一.E-dS+JE-dS+JE-dSssss123在S、S上各面兀dS丄E，:上式前二项积分二0,121EdSE,dSE-2兀rh1S3S31工q00订nE-2兀rh=0iE0结论：无限长均匀带电圆筒内任一点场强=0又在S3上dS与E同向，且E二常数，图7-24,E-dS2）带电柱面外任一点场强E?以OO为轴，过P点做半径为r高为h的圆柱形高斯面,上底为S下底为S，2212侧面为S。由高斯定理有：31E-2兀rh2兀Rh10厂Q2兀

15、RnE2kr.p2kRq（2kR1=单位长柱面的电荷（电荷线密度）二九九E，E由轴线指向P。Q0,u内方法二用电势叠加原理解内球面在二球面上产生电势分别为:4KER外球面在二球面上产生电势分另U为:4KER4KERn二球面电势分别为:4ke2-14KER01注意电势计算方法。7-6等势面场强与电势的关系一、等势面1、等势面：电势相等的点连接起来构成的曲面称为等势面。如：在距点电荷距离相等的点处电势是相等的，这些点构成的曲面是以点电荷为球心的球面。可见点电荷电场中的等势面是一系列同心的球面，如左图所示。2、场中等势面性质1）等势面上移动电荷时电场力不作功设：设点电荷q沿等势面从a点运动到b点电场

16、力作功为:0/、W=EE=qSuJu=u0图T35第七章真空中的静电场沈阳工业大学郭连权（教授）第七章真空中的静电场沈阳工业大学郭连权（教授）-0，第七章真空中的静电场沈阳工业大学郭连权（教授）32第七章真空中的静电场沈阳工业大学郭连权（教授）第七章真空中的静电场沈阳工业大学郭连权（教授）-0，第七章真空中的静电场沈阳工业大学郭连权（教授）322）任何静电场中电力线与等势面正交证：如下图所示，设点电荷q自a沿等势0面发生以位移dl，电场力作功为：dW=qE，dl=qEdlcos00在等势面上运动，AdW二0nqEdlcos=0*.*q0,E0,dl0Acos二0,即=2故电力线与等势面正交，E

17、垂直于等势面。说明：在相邻等势面电势差为常数时，等势面密集地方场强较强。、场强与电势关系E是描述电场性质的物理量，他们应有一定的关系,u前面已学过E、u之间有一种积分关系u=卜E，dl（无限远处u=0）aa8那么，E、u之间是否还存在着微分关系呢？这正是下面要研究的问题。如图所示，设a、b为无限接近的二点，相应所在等势面分别为u、u+du。单位正电荷从aTb过程中，电场力作功二电势能增量负值，即E，dl=-Ku+n一du=E-du)-udl=Ei+Ej+Ek)Gxi+dyj+dzkxyz=Edx+Edy+Edzxyztdududu HYPERLINK l bookmark377又du=dx+d

18、y+dzdxdydz(7-17)代（7-17）中，有:dutdx-dxdudzdz=Edx+Edy+Edzxyz第七章真空中的静电场沈阳工业大学郭连权（教授）第七章真空中的静电场沈阳工业大学郭连权（教授）-0，第七章真空中的静电场沈阳工业大学郭连权（教授）32x即(7-18)(7-19)dy、dz是任意的，：上式若成立必有两边dx、dy、dz相应系数相等,dudx第七章真空中的静电场沈阳工业大学郭连权（教授）第七章真空中的静电场沈阳工业大学郭连权（教授）-0，第七章真空中的静电场沈阳工业大学郭连权（教授）32dudz(7-20)第七章真空中的静电场沈阳工业大学郭连权（教授）第七章真空中的静电场

19、沈阳工业大学郭连权（教授）-0，第七章真空中的静电场沈阳工业大学郭连权（教授）32（矢量式）(721)Qududu-i+j-kdxdydz丿第七章真空中的静电场沈阳工业大学郭连权（教授）第七章真空中的静电场沈阳工业大学郭连权（教授）-0，第七章真空中的静电场沈阳工业大学郭连权（教授）32以上是场强E与电势u的微分关系。du+du+du斤叫做u的梯度，dxdydzdududugradu-U-i+j+kdxdydznE-gradu=-u结论：电场中任一点场强等于电势梯度在该点的负值。例7-15:用场强与电势关系求点电荷q产生的场强解：如图所取坐标，数学上,记作:d-d-d-(其中算符符.+dyj+dzk)(7-22)E=-X二q4nsx0dupdxE二E二0yzq”0，E沿x轴正向，q0，E沿x轴负向。例7T6:均匀带电圆盘，半径为R，电荷面密度为。试求:图7-391