第2.6讲 指数与指数函数（解析版）-2024年高考数学一轮复习精讲精练宝典（新高考专用）

第二章函数第2.6讲指数与指数函数1.理解有理数指数幂的含义，了解实数指数幂的意义，掌握指数幂的运算性质.2.通过实例，了解指数函数的实际意义，会画指数函数的图象.3.理解指数函数的单调性、特殊点等性质，并能简单应用．题型一指数幂的运算题型二指数函数的图象及应用题型三指数函数的性质及应用题型四指数函数的综合应用1．根式(1)一般地，给定大于1的正整数n和实数a，如果存在实数x，使得xn＝a，那么x称为a的n次方根．(2)当eq\r(n,a)有意义的时候，eq\r(n,a)称为根式，其中n称为根指数，a称为被开方数．(3)(eq\r(n,a))n＝a.当n为奇数时，eq\r(n,an)＝a，当n为偶数时，eq\r(n,an)＝|a|＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a，a≥0，,－a，a<0.))2．分数指数幂正数的正分数指数幂：＝eq\r(n,am)(a>0，m，n∈N＋，且eq\f(m,n)为既约分数)．正数的负分数指数幂：＝＝eq\f(1,\r(n,am))(a>0，m，n∈N＋，n>1)．0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义．3．指数幂的运算性质aras＝ar＋s；(ar)s＝ars；(ab)r＝arbr(a>0，b>0，r，s∈Q)．4．指数函数及其性质(1)概念：一般地，函数y＝ax(a>0，且a≠1)称为指数函数，其中指数x是自变量，定义域是R.(2)指数函数的图象与性质a>10<a<1图象定义域R值域(0，＋∞)性质过定点(0,1)，即x＝0时，y＝1当x>0时，y>1；当x<0时，0<y<1当x<0时，y>1；当x>0时，0<y<1在(－∞，＋∞)上是增函数在(－∞，＋∞)上是减函数题型一指数幂的运算1．化简的结果为（）A． B． C． D．【答案】C【详解】故选：C.2．计算，结果是（

）A．1 B． C． D．【答案】B【详解】.故选：B3．下列运算结果中正确的是（

）A． B．C． D．【答案】D【详解】对于A选项，，故A错误；对于B选项，，故B错误；对于C选项，当时，，当时，，故C错误；对于D选项，，故D正确．故选：D．4．的值是（

）A．105 B．33 C． D．【答案】B【详解】由题意得：.故选：B.5．蒸发和沸腾都是汽化现象，是汽化的两种不同方式．蒸发是在液体表面发生的汽化过程，沸腾是在液体内部和表面上同时发生的剧烈的汽化现象．溶液的蒸发通常是指通过加热使溶液中一部分溶剂汽化，以提高溶液中非挥发性组分的浓度或使溶质从溶液中析出结晶的过程．通过实验数据可知，某液体的蒸发速度y（单位：L/h）与液体所处环境的温度x（单位：℃）近似地满足函数关系（为自然对数的底数，a，b为常数）．若该液体在10℃时蒸发速度是0.2L/h，在20℃时蒸发速度是0.4L/h，则该液体在40℃时蒸发速度为（

）翻译这两句信息，可得方程组这就是将文字信息翻译或数学语言的体现A．0.5L/h B．0.6L/h C．0.8L/h D．1.6L/h【答案】D【详解】由题意可知，两式相除得，所以，当时，，所以该液体在40℃时蒸发速度为1.6L/h．故选：D．题型二指数函数的图象及应用6．函数恒过定点（

）A． B． C． D．【答案】B【详解】由题设，当，即时，，所以函数过定点.故选：B7．要得到函数的图象，只需将指数函数的图象（

）A．向左平移1个单位 B．向右平移1个单位C．向左平移个单位 D．向右平移个单位【答案】D【详解】由向右平移个单位，则.故选：D8．函数一定不过（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第四象限 D．第三象限【答案】C【详解】根据函数解析式可知过定点，函数过第三象限；，函数过第二象限；为单增函数且定义域为，可以过第一象限.故选：C9．已知函数是指数函数，函数，则与在同一坐标系中的图像可能为（

）A． B．C． D．【答案】C【详解】当时，为增函数，的图像的对称轴为直线，A选项错误，C选项正确；当时，为减函数，的图像的对称轴为直线，B选项错误，D选项错误．故选：C10．已知函数，若关于的方程有4个不同的实数根，则的取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】D【详解】画出函数的图像要方程关于的方程有4个不同的实数根，令，则在内有两不等实根，，解得故选：D.题型三指数函数的性质及应用11．设函数，函数的图像经过第一､三､四象限，则的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】A【详解】由函数的的图像经过第一､三､四象限，可得，所以，又因为，所以的取值范围为.故选：A.12．已知，则（

）A． B． C． D．【答案】A【详解】最小，又，在上单调递增，所以，即，综上，，故选：A．13．已知函数，则不等式的解集是（

）A． B．C． D．【答案】A【详解】当时，由得，两边取以e为底的对数得：，当时，由得，解得，综上或.故选：A.14．若函数，且在区间上的最大值和最小值的和为，则函数在区间上的最小值是（

）A． B． C． D．【答案】B【详解】由题设，，可得，所以在上递减，故其最小值为.故选：B15．已知，，若恒成立，则实数的取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】B【详解】解：函数在上单调递减，在上单调递增，所以，函数在上单调递减，所以，因为恒成立，所以，解得，即实数的取值范围是.故选：B题型四指数函数的综合应用16．据报道，全球变暖使北冰洋冬季冰雪覆盖面积在最近年内减少了，如果按此速度，设2022年的冬季冰雪覆盖面积为，从2022年起，经过年后，北冰洋冬季冰雪覆盖面积与的函数关系式是（

）A． B．C． D．【答案】C【详解】设北冰洋冬季冰盖面积为上一年的倍，则，，所以设2022年的冬季冰雪覆盖面积为，从2022年起，经过年后，北冰洋冬季冰雪覆盖面积与的函数关系式是，故选：C.17．要测定古物的年代，可以用放射性碳法：在动植物的体内都含有微量的放射性．动植物死亡后，停止了新陈代谢，不再产生，且原来的会自动衰变．经过5730年，它的残余量只有原始量的一半．现用放射性碳法测得某古物中含量占原来的，推算该古物约是年前的遗物（参考数据：），则实数的值为（

）A．12302 B．13304 C．23004 D．24034【答案】B【详解】设每年的衰变率为，古物中原的含量为，由半衰期，得．所以，即．由题意，知，即．于是．所以．故选：B．18．把物体放在冷空气中冷却，如果物体原来的温度是，空气的温度是以经过分钟后物体的温度可由公式求得．把温度是的物体，放在的空气中冷却t分钟后，物体的温度是，那么的值约等于（

）（参考数据：）A．1.78 B．2.77 C．2.89 D．4.40【答案】D【详解】由题意可得，，，代入可得：，即，所以，解得，故选：D19．在实验室细菌培养过程中，细菌生长主要经历调整期、指数期、稳定期和衰亡期四个时期.在一定条件下，某生物实验室在研究某种动物细菌的过程中发现，细菌数量（单位）与该动物细菌被植入培养的时间（单位：小时）近似满足函数关系式，其中为初始细菌含量.若经过6小时培养，该细菌数量为（单位），则（

）A． B． C． D．【答案】B【详解】∵经过6小时培养，该细菌数量为（单位），∴，∴∴，故选：B.20．在“3820”战略工程思想精髓的指导下，福州经济持续增长．据统计，2011年至2021年十年间，福州GDP