函数恒成立问题

1、函数恒成立问题课件第1页，共22页，2022年，5月20日，9点28分，星期一情景设置第2页，共22页，2022年，5月20日，9点28分，星期一 简单的生活问题，概括为“不等式恒成立”的数学问题，它不但在近几年高考中频繁出现，而且出现的试题大多数以大题为主。20092011高考试卷中恒成立的题目如下： 第3页，共22页，2022年，5月20日，9点28分，星期一了解高考，把握热点 0939套安徽理第20题 文第21题 全国II文第21题理第22题陕西理文第22题理第21题 辽宁理第22题 全国I理第19题湖南理第21题文第21题 天津理第20题 文第21题 有12套201039套重庆理第5题

2、 浙江文第21题理第22题 上海理第11题辽宁理第21题 江西理第15，17题 湖北文理21题 北京理第18题文18题 湖南理第8题 上海春季招生第17题 有11套201139套山东理第14题，全国II文第22题理第20题 全国理第21题湖北理第21题 海南文第20题理第21题 天津理第16题湖南理第20题 安徽文第17题理第19题 四川理第22题江西文第17题理第19题 福建文第22题理第21题 有16套第4页，共22页，2022年，5月20日，9点28分，星期一问题引领 已知不等式 对 恒成立求正实数 的取值范围 思路1、通过化归最值，直接求函数 的最小值解决，即 思路 2、通过分离变量，

3、转化到 解决，即 思路3、通过数形结合，化归到 作图解决，即 图像在 的上方 第5页，共22页，2022年，5月20日，9点28分，星期一概括方法恒成立问题在解题过程中大致可分为以下几种类型：（1）一次函数型；（2）二次函数型；（3）变量分离型；（4）直接转化为函数的最值求解；（5）根据函数的图象求解；下面分别举例示之。第6页，共22页，2022年，5月20日，9点28分，星期一、f(x)=ax+b,x ,，根据函数的图象（线段）得 ： f(x)0恒成立 f(x)0f()0f()0f()0一、一次函数型第7页，共22页，2022年，5月20日，9点28分，星期一典例导悟一第8页，共22页，20

4、22年，5月20日，9点28分，星期一二、二次函数型第9页，共22页，2022年，5月20日，9点28分，星期一三、分离参数型（转化为求新函数最值） 【理论阐释】 若在等式或不等式中出现两个变量，其中一个变量的范围已知，另一个变量的范围为所求，且容易通过恒等变形将两个变量分别置于等号或不等号的两边，则可将恒成立问题转化成函数的最值问题求解。f (x) maxf (x) min f(x)恒成立的充要条件是：_; f(x)恒成立的充要条件是：_。第10页，共22页，2022年，5月20日，9点28分，星期一典例导悟二第11页，共22页，2022年，5月20日，9点28分，星期一一题多解解答此题还有

5、其它的方法吗？第12页，共22页，2022年，5月20日，9点28分，星期一四、恒成立问题直接转化为函数最值问题第13页，共22页，2022年，5月20日，9点28分，星期一五、把不等式恒成立问题转化为函数图象问题【理论阐释】 若把不等式进行合理的变形后，能非常容易地画出不等号两边对应函数的图象，这样就把一个很难解决的不等式的问题转化为利用函数图象解决的问题，然后从图象中寻找条件，就能解决问题。若不等式 在区间D上恒成立，则等价于在区间D上函数 的图象在函数 图象的上方（若是小于则在下方）第14页，共22页，2022年，5月20日，9点28分，星期一典例导悟三第15页，共22页，2022年，5

6、月20日，9点28分，星期一第16页，共22页，2022年，5月20日，9点28分，星期一练习检测第17页，共22页，2022年，5月20日，9点28分，星期一思路1 最值求解思维受阻！第18页，共22页，2022年，5月20日，9点28分，星期一思路2 分离变量思维受阻！变中求解 提升思维 第19页，共22页，2022年，5月20日，9点28分，星期一思路3 变形求解第20页，共22页，2022年，5月20日，9点28分，星期一2、二次函数型问题，结合抛物线图像，转化成最值问 题，分类讨论。3、对于f(x)g(x)型问题，利用数形结合思想转化为函数图 象的关系再处理。 4、通过分离参数，将问题转化为f(x)（或f(x)）恒 成立，再运用不等式知识或求函数最值的方法，使 问题获解。1、一