新湘教版九年级上册初中数学 2.2 一元二次方程的解法 教案

1、精品文档 精心整理精品文档 可编辑的精品文档2.2 一元二次方程的解法2.2.1 配方法第1课时 用直接开平方法解一元二次方程 教学内容 运用直接开平方法，即根据平方根的意义把一个一元二次方程“降次”，转化为两个一元一次方程 教学目标 理解一元二次方程“降次”转化的数学思想，并能应用它解决一些具体问题 提出问题，列出缺一次项的一元二次方程ax2+c=0，根据平方根的意义解出这个方程，然后知识迁移到解a（ex+f）2+c=0型的一元二次方程 重难点 1重点：运用开平方法解形如（x+m）2=n（n0）的方程；领会降次转化的数学思想 2难点：通过根据平方根的意义解形如x2=n，知识迁移到根据平方根的

2、意义解形如（x+m）2=n（n0）的方程 教学过程 一、复习引入 学生活动：请同学们完成下列各题 填空 （1）x2-8x+_=（x-_）2；（2）9x2+12x+_=（3x+_）2；（3）x2+px+_=（x+_）2 老师点评： 根据完全平方公式可得：（1）16 4；（2）4 2；（3）（）2 二、探索新知 上面我们已经讲了x2=8，根据平方根的意义，直接开平方得x=2，如果x换元为2t+1，即（2t+1）2=8，能否也用直接开平方的方法求解呢？ （学生分组讨论） 老师点评：回答是肯定的，把2t+1变为上面的x，那么2t+1=2， 即2t+1=2，2t+1=-2， 方程的两根为t1=-，t2=

3、-. 例1 解方程：x2+4x+4=1. 分析：很清楚，x2+4x+4是一个完全平方式，那么原方程就转化为（x+2）2=1 解：由已知，得（x+2）2=1. 直接开平方，得x+2=1. 即x+2=1，x+2=-1. 所以方程的两根为x1=-1，x2=-3. 例2 市政府计划2年内将人均住房面积由现在的10m2提高到14.4m，求每年人均住房面积的增长率. 解：设每年人均住房面积的增长率为x， 则10（1+x）2=14.4. 即（1+x）2=1.44. 直接开平方，得1+x=1.2. 即1+x=1.2，1+x=-1.2. 所以，方程的两根是x1=0.2=20%，x2=-2.2. 因为每年人均住房

4、面积的增长率应为正的，因此，x2=-2.2应舍去. 所以，每年人均住房面积的增长率应为20% （学生小结）老师引导提问：解一元二次方程，它们的共同特点是什么？ 共同特点：把一个一元二次方程“降次”，转化为两个一元一次方程我们把这种思想称为“降次转化思想” 三、巩固练习 教材练习 四、应用拓展 例3 某公司一月份的营业额为1万元，第一季度的总营业额为3.31万元，求该公司二、三月份的营业额平均增长率是多少？ 解：设该公司二、三月份的营业额平均增长率为x， 那么1+（1+x）+（1+x）2=3.31. 把（1+x）当成一个数，配方,得 （1+x+）2=2.56，即（x+）2=256, x+=1.6

5、，即x+=1.6，x+=-1.6. 方程的根为x1=10%，x2=-3.1. 因为增长率为正数， 所以该公司二、三月份营业额平均增长率为10% 五、归纳小结 本节课应掌握： 由应用直接开平方法解形如x2=p（p0），那么x=转化为应用直接开平方法解形如（mx+n）2=p（p0），那么mx+n=，达到降次转化之目的 六、布置作业第2课时 用配方法解二次项系数为1的一元二次方程内容：配方法解一元二次方程课型：新授 学习目标：1会用开平方法解形如(x+m)n(n0)的方程.2理解一元二次方程的解法配方法教学重点：利用配方法解一元二次方程教学难点：把一元二次方程通过配方转化为(x+m)n(n0)的形式

6、一学前准备1用直接开平方法解方程2-8=0 -9=02完全平方公式是什么？3填上适当的数，使下列等式成立：（1）x2+12x+ = (x+6)2（2）x212x+= (x )2（3）x2+8x+ = (x+ )2（4）x2+x+ = （x+ ）2（5）x2+px+ = （x+ ）2观察并思考填的数与一次项的系数有怎样的关系？二、探究活动问题：下列方程能否用直接开平方法解？x2+8x9=0 x一l0 x十257； 是否先把它变成(x+m)2=n （n0）的形式再用直接开平方法求解？问题： 要使一块矩形场地的长比宽多6m，并且面积为16， 场地的长和宽应各是多少？解：设场地宽为x米，则长为（x+6

7、）米.根据题意,得（ ）整理得( )怎样解方程自学教材.1什么叫配方法？例1: 用配方法解下列方程x2-8x+1=0 2x21=3x 总结用配方法解方程的一般步骤 (1)化二次项系数为1，即方程两边同时除以二次项系数 (2)移项，使方程左边为二次项和一次项，右边为常数项 (3)要在方程两边各加上一次项系数一半的平方(注：一次项系数是带符号的) (4)方程变形为(x+m)2=n的形式(5)如果右边是非负实数，就用直接开平方法解这个一元二次方程；如果右边是一个负数，那么方程在实数范围内无解三自我测试1配方：填上适当的数，使下列等式成立：（1）x2+12x+=(x+6)2（2）x212x+=(x )

8、2（3）x2+8x+=(x+ )22解下列方程3x2+3x3=0 3x2 9x2=0 2x26=7x 3将二次三项式x2-4x+1配方后得（ ） A（x-2）2+3 B（x-2）2-3 C（x+2）2+3 D（x+2）2-3 4已知x2-8x+15=0，左边化成含有x的完全平方形式，其中正确的是（ ） Ax2-8x+（-4）2=31 Bx2-8x+（-4）2=1 Cx2+8x+42=1 Dx2-4x+4=-11 5如果mx2+2（3-2m）x+3m-2=0（m0）的左边是一个关于x的完全平方式，则m等于（ ） A1 B-1 C1或9 D-1或9 6下列方程，一定有实数解的是（ ） Ax2+1=

9、0 B（2x+1）2=0 C（2x+1）2+3=0 D（x-a）2=a 7方程x2+4x-5=0的解是_ 8代数式的值为0，则x的值为_ 9已知（x+y）（x+y+2）-8=0，求x+y的值，若设x+y=z，则原方程可变为_，所以求出z的值即为x+y的值，所以x+y的值为_.10.已知一个三角形的两边长分别为2和4，第三边是方程x2-4x+3=0的解，求这个三角形的周长11如果x2-4x+y2+6y+13=0，求（xy）z的值12新华商场销售某种冰箱，每台进货价为2500元，市场调研表明：当销售价为2900元时，平均每天能售出8台；而当销售价每降50元时，平均每天就能多售出4台，商场要想使这种

10、冰箱的销售利润平均每天达5000元，每台冰箱的定价应为多少元？四. 学习体会本节课你有什么收获?还有什么疑问？五. 应用与拓展已知x2+4x+y2-6y+13=0，求的值第3课时 用配方法解二次项系数不为1的一元二次方程教学目标 1、理解用配方法解一元二次方程的基本步骤.2、会用配方法解二次项系数为1的一元二次方程. 3、进一步体会化归的思想方法.重点、难点重点：会用配方法解一元二次方程难点：使一元二次方程中含未知数的项在一个完全平方式里.教学过程（一）复习引入1、用配方法解方程x2+x-1=0，学生练习后再完成课本P32的“做一做”2、用配方法解二次项系数为1的一元二次方程的基本步骤是什么?

11、（二）创设情境 现在我们已经会用配方法解二次项系数为1的一元二次方程，而对于二次项系数不为1的一元二次方程能不能用配方法解? 怎样解这类方程：2x2-4x-6=0（三）探究新知 让学生议一议解方程2x2-4x-6=0的方法，然后总结得出：对于二次项系数不为1的一元二次方程，可将方程两边同除以二次项的系数，把二次项系数化为1，然后按上一节课所学的方法来解.让学生进一步体会化归的思想.（四）讲解例题1、展示课本P34例4，按课本方式讲解. 2、归纳用配方法解一元二次方程的基本步骤：首先将方程化为二次项系数是1的一般形式；其次加上一次项系数一半的平方，再减去这个数，使得含未知数的项在一个完全平方式里

12、；最后将配方后的一元二次方程用因式分解法或直接开平方法来解.（五）应用新知课本P35练习.（六）课堂小结 1、用配方法解一元二次方程的基本步骤是什么?2、配方法是一种重要的数学方法，它的重要性不仅仅表现在一元二次方程的解法中，在今后学习二次函数时会经常用到.3、配方法是解一元二次方程的通法，但是由于配方的过程要进行较烦琐的运算，在解一元二次方程时，实际运用较少. 4、按如图的框图小结前面所学解一元二次方程的算法.（七）思考与拓展 不解方程，只通过配方判断下列方程解的情况.(1) 4x2+4x+1=0； (2) x2-2x-5=0；(3) x2+2x-5=0.解 把各方程分别配方得(1) (x+

13、 )2=0；(2) (x-1)2=6；(3) (x-1)2=-4. 由此可得方程(1)有两个相等的实数根，方程(2)有两个不相等的实数根，方程(3)没有实数根. 点评：通过解答这三个问题，使学生能灵活运用“配方法”，并强化学生对一元二次方程解的三种情况的认识.（八）布置作业 2.2.2 公式法教学目标 1、理解求根公式法与配方法的联系. 2、会用求根公式法解一元二次方程. 3、注意培养学生良好的运算习惯.重点、难点重点：会运用求根公式法解一元二次方程.难点：由配方法推导出一元二次方程的求根公式.教学过程 （一）创设情境 由用配方法解一元二次方程的基本步骤知：对于每个具体的一元二次方程，都使用了

14、相同的一些计算步骤，这启发我们思考，能不能对一般形式的一元二次方程ax2+bx+c=0（a0）使用这些步骤，然后求出解x的公式？ 这样做了以后，我们可以运用这个公式来求每一个具体的一元二次方程的解，取得一通百通的效果 （二）探究新知 引导学生用配方法推导出一元二次方程ax2+bx+c=0(a0)，当b2-4ac0时的求根公式为： (b2-4ac0).并让学生知道，运用一元二次方程的求根公式直接求每一个一元二次方程的解，这种解一元二次方程的方法叫公式法. （三）讲解例题 1、展示课本P36P37例5(1)，(2)，按课本方式引导学生用公式法解一元二次方程，并提醒学生注意a，b，c的符号. 2、引

15、导学生完成P37例6. 3、引导学生归纳用公式法解一元二次方程的基本步骤：首先要把原方程化为一般形式，从而正确地确定a，b，c的值；其次要计算b2-4ac的值，当b2-4ac0时，再用求根公式求解.（四）应用新知课本P37练习，第(1)(4)题.（五）课堂小结 1、熟记一元二次方程的求根公式，并注意公式成立的条件：a0，b2-4ac0. 2、熟悉用公式法解一元二次方程的基本步骤. 3、公式法是解一元二次方程的通法，有普遍的适用性，即可以解任何一元二次方程.2.2.3 因式分解法第1课时 因式分解法解一元二次方程教学目标 1、进一步体会因式分解法适用于解一边为0，另一边可分解成两个一次因式乘积的

16、一元二次方程. 2、会用因式分解法解某些一元二次方程. 3、进一步让学生体会“降次”化归的思想.重点难点重点：掌握用因式分解法解某些一元二次方程.难点：用因式分解法将一元二次方程转化为一元一次方程.教学过程（一）复习引入1、提问：(1) 解一元二次方程的基本思路是什么？(2) 现在我们已有了哪几种将一元二次方程“降次”为一元一次方程的方法? 2、用两种方法解方程：9(1-3x)2=25（二）创设情境 说明：可用因式分解法或直接开平方法解此方程.解得x1= ，x2=- . 说一说：因式分解法适用于解什么形式的一元二次方程. 归纳结论：因式分解法适用于解一边为0，另一边可分解成两个一次因式乘积的一

17、元二次方程.（三）探究新知 引导学生探索用因式分解法解方程0.01t2-2t=0. 把方程左边因式分解，得t(0.01t-2)=0，由此得出t=0或0.01t-2=0 解得tl=0，t2=200. （四）讲解例题1、展示课本P38例7.按课本方式引导学生用因式分解法解一元二次方程.2、让学生讨论P38“议一议”栏目中的问题.要使学生明确：解方程时不能把方程两边都同除以一个含未知数的式子，若方程两边同除以含未知数的式子，可能使方程漏根.3、展示课本P39例8.让学生自己尝试着解，然后看书上的解答，交换批改，并说一说在解题时应注意什么.（五）应用新知课本P39练习.（六）课堂小结1、用因式分解法解

18、一元二次方程的基本步骤是：先把一个一元二次方程变形，使它的一边为0，另一边分解成两个一次因式的乘积，然后使每一个一次因式等于0，分别解这两个一元一次方程，得到的两个解就是原一元二次方程的解.2、在解方程时，千万注意两边不能同时除以一个含有未知数的代数式，否则可能丢失方程的一个根.（七）思考与拓展用因式分解法解下列一元二次方程.议一议：对于含括号的方程，应怎样适当变形，再用因式分解法解.(1) 2(3x-2)=(2-3x)(x+1)； (2) (x-1)(x+3)=12.解 (1) 原方程可变形为2 (3x-2)+(3x-2)(x+1)=0， (3x-2)(x+3)=0，3x-2=0，或x+3=

19、0， 所以xl= ，x2=-3. (2) 去括号、整理得x2+2x-3=12，x2+2x-15=0， (x+5)(x-3)=0，x+5=0或x-3=0， 所以x1=-5，x2=3. 先让学生动手解方程，然后交流自己的解题经验，教师引导学生归纳：对于含括号的一元二次方程，若能把括号看成一个整体变形，把方程化成一边为0，另一边为两个一次式的积，就不用去括号，如上述(1)；否则先去括号，把方程整理成一般形式，再看是否能将左边分解成两个一次式的积，如上述(2).布置作业教学后记第2课时 选择合适的方法解一元二次方程教学目标能掌握解一元二次方程的四种方法以及各种解法的要点，会根据不同的方程特点选用恰当的方法,使解题过程简单合理,通过揭示各种解法的本质联系,渗透降次化归的思想方法.重难点1. 重点:会根据不同的方程特点选用恰当的方法,使解题过程简单合理.2. 难点:通过揭示各种解法的本质联系,渗透降次化归的思想.教学过程一、用不同的方法解一元二次方程 (配方法,公式法,因式分解法)教师点评:三种不同的解法体现了同样的解题思路：把一元二次方程降次转化为一元一次方程求解.二