实验二迭代法、初始值和收敛性

1、实验二：迭代法、初始值与收敛性一：实验要求考虑一个简单的代数方程X 2 x 1 = 0,针对上述方程，可以构造多种迭代法，如X= X2 1,X =1 + , X f X + 1等。在实n+1nn+1Xn+1nn轴上取初值，分别用以上迭代做实验，记录各算法的迭代过程。二：实验要求及实验结果（1）取定某个初始值，按如上迭代格式进行计算，它们的收敛性如何？重复选取不同放 入初始值，反复实验。请读者自行设计一种比较形象的记录方式（如何利用Matlab 的图形功能），分析三种迭代法的收敛性与初值的选取关系。（2）对三个迭代法中的某一个，取不同的初值进行迭代，结果如何？试分析对不同的初 值是否有差异？实验

2、内容：i）对X = X 2 1进行迭代运算，选取迭代次数n=20；分别选择初值-0.6，1.6进行 n+1n实验，并画出迭代结果的趋势图。编写MATLAB运算程序如下：%迭代法求解%令 x=xA2-1clearn=30;x=-0.5;x1=xA2-1;for i=1:nx1=x1A2-1;xx（i）=x1;endm=linspace（0,29,n）;plot(m,xx)title(x=-0.5)分析：g (x) = X2 -1, g(x) = 2x，要想在某一邻域上 g(x) = |2x| 1,则 Vx e -1,1 但是g(x)史-1,1，所以不存在某个邻域使得该迭代公式收敛。即迭代公式对任

3、何初值都 是发散的。ii)对x = 1 + 进行迭代运算，选取迭代次数n=30；分别选择初值=-0.7，2.1进 +1xn行实验，并画出迭代结果的趋势图。编写MATLAB运算程序如下：%迭代法求解%令 x=xA2-1clearn=20;x=-0.5;x1=1+1./x;for i=1:nx1=1+1./x1;xx(i)=x1;endm=linspace(0,29,n);plot(m,xx,b)如上图所示，选取初值分别为-0.7、2.1时，结果都是收敛。分 析：g(x) = 1 + ，设g(x) e1.65,+8,Vxe1.65,+8,g(x)= 一一 在xx 2n,、11.65,+8上有界，且

4、g(x) = 一 1.65，此时xn相当于是在1.65,+8范围内的初始值，迭代公式产生的序列收敛。所以初值的选取对数列的收敛性 没有影响。iii)对x =、x +1进行迭代运算，选取迭代次数n=20；分别选择初值=-0.6, 2.1进 n+1* n行实验，并画出迭代结果的趋势图。编写MATLAB运算程序如下：%迭代法求解%令 x=sqrt(1+x)clearn=20;x=-0.5;x1= sqrt(1.+x);for i=1:nx1= sqrt(1+x1);xx(i)=x1;endm=linspace(0,29,n);plot(m,xx,b)分析:g(X) = 气 +1 设 g(x) c 1

5、,+8, Vx e _1,+8, g(x)=:在L+8实数域上有界，g(x)T，此时气相当于是在T，+8范围内的初始值，迭代公式产生的序列收敛。所以初值的选取对数列的收敛性没有影响。线性方程组迭代法的收敛性是不依赖初值的选取的。比较线性与非线性问题迭代的差异，有何结论和问题。对线性方程 f (ax1 + bx2) = af (气)+ bf (气)，设 f (x) = ax + b，则 f(x) = a。若线性方程的迭代是收敛的，则有|f(x)| = |a| 1,-1 a v 1对f (x) = ax + b而言，在-8, +8上，都有x, f (x) e-8, +8，所以，对任何初值，方程的迭代都是收敛的，不受初值的影响。若线性方程的迭代是发散的，则对任何初值都发散，方程迭代的收敛性也不受初值的影响。对非线性方程的迭代，就复杂的多。对于方程迭代发散的方程而言，无论初值如何选择，收敛性是不会改变的。方程的迭代