高中数学必修二 8.5.1 直线与直线平行（含答案）

1、 8.5.1直线与直线平行导学案编写：廖云波 初审：谭光垠 终审：谭光垠 廖云波【学习目标】1.能用基本事实4解决一些数学问题2.理解等角定理，能用等角定理解决一些数学问题【自主学习】知识点1 基本事实 4(1)文字表述：平行于同一条直线的两条直线互相平行(2)符号表示：eq blc rc(avs4alco1(ab,bc)ac.知识点2 等角定理空间中如果两个角的两边分别对应平行，则这两个角相等或互补【合作探究】探究一 基本事实4的应用【例1】如图，E、F分别是长方体A1B1C1D1ABCD的棱A1A、C1C的中点，求证：四边形B1EDF是平行四边形分析平行四边形是平面图形，若能证得四边形的一

2、组对边平行且相等，那么这个四边形就是平行四边形证明取DD1的中点点Q，连接EQ、QC1.E是AA1的中点，EQ綉A1D1.又在矩形A1B1C1D1中A1D1綉B1C1.EQ/B1C1(基本事实4)，四边形EQC1B1为平行四边形，B1E/C1Q，又Q、F是矩形DD1C1C的两边中点，QD/C1F，四边形DQC1F为平行四边形，C1Q/DF.又B1E/C1Q，B1E/DF，四边形B1EDF为平行四边形归纳总结：基本事实4表明了平行线的传递性，它可以作为判断两直线平行的依据，同时也给出空间两直线平行的一种证明方法【练习1】如图，已知正方体ABCDABCD中，M、N分别为CD、AD的中点，求证：四边

3、形MNAC是梯形证明：连接AC.M、N为CD、AD的中点，MN=eq f(1,2)AC.由正方体性质可知AC/AC.MN/= eq f(1,2)AC.四边形MNAC是梯形探究二 等角定理的应用【例2】如右图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F，G分别是AB，BB1，BC的中点求证：EFGC1DA1.证明连接B1C.因为G，F分别为BC，BB1的中点，所以GF/=eq f(1,2)B1C.又ABCDA1B1C1D1为正方体，所以CD/AB，A1B1/AB，由基本事实4知CD/A1B1，所以四边形A1B1CD为平行四边形，所以A1D/B1C.又B1CFG，由基本事实4知A1DFG.同理可证

4、：A1C1EG，DC1EF.又DA1C1与EGF，A1DC1与EFG，DC1A1与GEF的两边分别对应平行且均为锐角，所以DA1C1EGF，A1DC1EFG，DC1A1GEF.所以EFGC1DA1.归纳总结：等角定理是由平面图形推广到空间图形而得到的，它是基本事实4的直接应用，并且当这两个角的两边方向分别相同或相反时，它们相等，否则它们互补【练习2】如图，已知线段AA1、BB1、CC1交于O点，且eq f(OA,OA1)eq f(OB,OB1)eq f(OC,OC1)，求证：ABCA1B1C1.证明：AA1与BB1交于点O.且eq f(OA,OA1)eq f(OB,OB1)，A1B1AB.同理

5、A1C1AC，B1C1BC.又A1B1和AB，A1C1和AC方向相反，BACB1A1C1，同理ABCA1B1C1.ABCA1B1C1.课后作业A组 基础题一、选择题1两等角的一组对应边平行，则()A另一组对应边平行B另一组对应边不平行C另一组对应边不可能垂直D以上都不对【答案】D解析：另一组对应边可能平行，也可能不平行，也可能垂直注意和等角定理(若两个角的对应边平行，则这两个角相等或互补)的区别2如图，在三棱柱ABCA1B1C1中，E，F，G分别为棱A1C1，B1C1，B1B的中点，则EFG与ABC1()A相等 B互补C相等或互补 D不确定【答案】B解析：由于E，F，G分别为A1C1，B1C1

6、，BB1的中点，所以EFA1B1AB，FGBC1，所以EFG与ABC1的两组对边分别平行，一组对应边方向相同，一组对应边方向相反，故EFG与ABC1互补3已知ABPQ，BCQR，ABC30，则PQR等于()A30 B30或150C150 D大小无法确定【答案】B解析：ABC的两边与PQR的两边分别平行，但方向不能确定是否相同，PQR30或150.4(多选)下列命题中，正确的结论有()A如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等B如果两条相交直线和另两条相交直线分别平行，那么这两组直线所成的锐角(或直角)相等C如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补D如果

7、两条直线同时平行于第三条直线，那么这两条直线互相平行【答案】BCD解析：由等角定理得B、C正确，A错误，由基本事实4得D正确5如图所示，在长方体木块AC1中，E，F分别是B1O和C1O的中点，则长方体的各棱中与EF平行的有()A3条 B4条C5条 D6条【答案】B解析：由于E、F分别是B1O、C1O的中点，故EFB1C1，因为和棱B1C1平行的棱还有3条：AD、BC、A1D1，所以共有4条6如图，在三棱锥PABC中，E，F，G，H，I，J分别为线段PA，PB，PC，AB，BC，CA的中点，则下列说法正确的是()APHBGBIECPCFHGJDGIJH【答案】C解析：由题意结合三角形中位线的性质

8、，可得FHPA，GJPA，由基本事实4可得FHGJ.二、填空题7已知空间两个角，且与的两边对应平行，60，则为 .【答案】60或120解析：根据“等角定理”可知，与相等或互补，故为60或120.8若ABAB，ACAC，则下列结论：BACBAC；ABCABC180；ACBACB或ACBACB180.一定成立的是 .【答案】解析：ABAB，ACAC，ACBACB或ACBACB180.9已知棱长为a的正方体ABCDABCD中，M，N分别为CD，AD的中点，则MN与AC的位置关系是 【答案】平行解析：因为ANDN，DMMC，所以MNAC，因为ACAC，所以MNAC.三、解答题10如图，在正方体ABCD

9、A1B1C1D1中，E，F，G分别是棱CC1，BB1，DD1的中点求证：(1)GBD1F；(2)BGCFD1E.证明：(1)因为E，F，G分别是正方体的棱CC1，BB1，DD1的中点，所以CE綉GD1，BF綉GD1，所以四边形CED1G与四边形BFD1G均为平行四边形，所以GCD1E，GBD1F.(2)因为BGC与FD1E两边的方向都相同，所以BGCFD1E.11如图，梯形ABCD中，ABCD，E、F分别为BC和AD的中点，将平面DCEF沿EF翻折起来，使CD到CD的位置，G、H分别为AD和BC的中点，求证：四边形EFGH为平行四边形证明：梯形ABCD中，ABCD，E、F分别为BC、AD的中点

10、，EFAB且EFeq f(1,2)(ABCD)又CDEF，EFAB，CDAB.G、H分别为AD、BC的中点，GHAB且GHeq f(1,2)(ABCD)eq f(1,2)(ABCD)，GH綉EF，四边形EFGH为平行四边形B组 能力提升一、选择题1下列结论中正确的是()在空间中，若两条直线不相交，则它们一定平行；平行于同一条直线的两条直线平行；一条直线和两条平行直线的一条相交，那么它也和另一条相交；空间四条直线a，b，c，d，如果ab，cd，且ad，那么bc.A BC D【答案】B解析：错，可以异面；正确，基本事实4；错误，和另一条可以异面；正确，由平行直线的传递性可知二、填空题2在空间四边形

11、ABCD中，如图所示，eq f(AE,AB)eq f(AH,AD)，eq f(CF,CB)eq f(CG,CD)，则EH与FG的位置关系是 【答案】平行解析：如图，连接BD，在ABD中，eq f(AE,AB)eq f(AH,AD)，则EHBD，同理可得FGBD，EHFG.3已知点E，E分别是正方体ABCDABCD的棱AD，AD的中点，则四边形BBEE的形状为 ，BEC与BEC的大小 (填相等或互补)【答案】平行四边形 相等解析：如图所示，因为点E，E分别是AD，AD的中点，所以AEAE，且AEAE.所以四边形AEEA是平行四边形所以AAEE，且AAEE.又因为AABB，且AABB.所以EEBB，且EEBB.所以四边形BBEE是平行四边形所以BEBE，同理可证CECE.又因为BEC与BEC的两边方向相同，所以BECBEC.三、解答题4在平行六面体ABCDA1B1C1D1中，M、N、P分别是CC1、B1C1、C1D1的中