高中数学必修二 8.6.1直线与直线垂直

1、数学人教版 必修二8.6 空间直线、平面的垂直新知导入前面我们认识了空间直线的平行关系，那么空间中的垂直又是什么样的呢?ADCBADCBYOUR SITE HERE探究：如图在正方体ABCD-ABCD中，直线AC与直线AB,直线AD与直线AB都是异面直线，直线AC与AD相对于直线AB的位置关系相同吗？新知讲解不同异面直线夹角：已知两条异面直线a,b,经过空间任意一点O分别作a/a，b/b,我们把a与b所成角叫做异面直线a与b所成角（或夹角）如果两条异面直线夹角为90，那我们就说这两条异面直线互相垂直。记作ab当两条直线平行时规定所成角为0。所以异面直线所成角范围090想一想：在平面几何中，垂直

2、于同一直线的两直线互相平行，在空间中这个结论还成立吗？不成立反例如图。练习一1.异面直线所成的角的大小与O点的位置有关，即O点位置不同时，这一角的大小也不同.( )2.异面直线a与b所成角可以是0.( )3.如果两条平行直线中的一条与某一条直线垂直，那么另一条直线也与这条直线垂直.( )XX注意： 1.异面直线所成的角的大小与O点的位置无关.2.当直线a与b所成角是0时，两直线平行，即共面.例一：如图，已知正方体ABCD-ABCD（1）哪些棱所在直线与直线AA垂直？（2）求直线BA与CC所成角的大小（3）求直线BA与AC所成角的大小解（1）棱AB,BC,CD,DA,AB,BC,CD,DA所在直

3、线分别与AA垂直。（2）因为ABCD-ABCD是正方体，所以BB/CC,因此ABB为直线BA与CC所成的角。又因为ABB=45，所以直线BA与CC所成角等于45。（3）如图，连接AC,因为ABCD-ABCD是正方体，所以AA/CC且AA=CC,从而四边形AACC是平行四边形，所以AC/AC。于是BAC为异面直线BA与AC所成的角。连接BC,易知ABC是等边三角形，所以BAC=60。从而异面直线BA与AC所成角等于60。求两条异面直线所成的角的一般步骤(1)构造角：根据异面直线的定义，通过作平行线或平移平行线，作出异面直线夹角的相关角.(2)计算角：求角度，常利用三角形.(3)确定角：若求出的角

4、是锐角或是直角，则它就是所求异面直线所成的角；若求出的角是钝角，则它的补角就是所求异面直线所成的角.例二：如图在正方体ABCD-ABCD中，O为底面ABCD的中心，求证：AOBD 证明：如图，连接BD,ABCD-ABCD是正方体BB/DD,BB=DD四边形BBDD是平行四边形BD/BD直线AO与BD所成角即为直线AO与BD所成角连接AB,AD易证AB=AD又O为底面ABCD的中心O为BD的中点AOBD,AOBD，O例三如图所示，四面体ABCD中，E，F分别是AB，CD的中点.若BD，AC所成的角为60，且BDAC2.求EF的长度.解：取BC中点O,连接OE,OF，如图。E,F分别是AB,CD的

5、中点，OE/AC且OE=1/2AC,OF/AC且OF=1/2BD,OE与OF所成的锐角就是AC与BD所成的角BD,AC所成角为60，EOF=60或120BD=AC=2,OE=OF=1当EOF=60时，EF=OE=OF=1,当EOF=120时，取EF的中点M,连接OM,则OMEF,且EOM=60EM= ,EF=2EM=练习二如图是正方体的平面展开图，则在这个正方体中AB与CD的位置关系为（ ）A相交B平行C既不相交，也不平行D不能确定解：由题,则正方体的直观图如图所示,易知, AB与CD既不平行,也不相交,故选:C练习三四边形ABCD和ADPQ均为正方形，它们所在的平面互相垂直，则异面直线AP与

6、BD所成的角为_解：画出图如图所示，将AP平移到BE的位置，连接DE，则角DBE即是两条异面直线所成的角.由于三角形BDE为等边三角形，故两条异面直线所成的角为60 。利用勾股定理证直线与直线垂直在棱长为4的正四面体ABCD中，求异面直线AB和CD所成的角解：取BC中点E,AC中点M,AD中点F,连接EM,MF,FE,FB,FC.MF/CD,EM/ABEMF即异面直线AB和CD所成的角或其补角MF=ME=2，EF=MF+ME=EFEMF=90异面直线AB和CD的夹角是90。练习四如图，在正方体中，N,M,P分别是A1B1 ,CC1，AD的中点，则异面直线D1N 与MP所成角的大小是（ ）A 9

7、0 B 60 C 45 D 30解：取BB1中点K,连接A1K,则A1K/D1N,取B1K的中点Q,连接MQ,PQ,则MQ/A1K,所以MQ/D1N,所以PMQ即为所求夹角。如图，设正方体棱长为4，由勾股定理易知，PQ=PB+BQ=29，PM=24，MQ=5，所以PQ=PM+MQ，所以PMQ=90。一、已知长方体ABCD- A1B1C1D1,AB=1,AD=2, AA1=1则异面直线A1B1 与AC1所 成 角 的 余 弦 值 为_课堂小验二、已知点M、N分别为正方体ABCD-ABCD的棱AB与AA的中点，平面DNM与平面ABCD的交线记为l,则l与CM所成角的大小为_0三、在正方体ABCD-ABCD中，直线AC与BD的夹角是多少？解：连接AC与BD交于点E,取AA中点F,连接EF,FE.在AAC中，EF/ACFED即为异面直线AC和BD所成的角或其补角，设正方体棱长为a,则EF=1/2AC= ,ED= ,FD= EF+ED=FD，FED=90直线AC和BD的夹角是90FEY