高考数学资料-立体几何综合-高考理数母题题源系列（全国Ⅰ专版）（解析版）

1、第PAGE 页码34页/总NUMPAGES 总页数34页Evaluation Warning: The document was created with Spire.Doc for .NET.专题18 立体几何综合【母题来源一】【2019年高考全国卷理数】如图，直四棱柱ABCDA1B1C1D1的底面是菱形，AA1=4，AB=2，BAD=60，E，M，N分别是BC，BB1，A1D的中点（1）证明：MN平面C1DE；（2）求二面角AMA1N的正弦值【答案】（1）见解析；（2）.【解析】（1）连结B1C，ME因为M，E分别为BB1，BC的中点，所以MEB1C，且ME=B1C又因为N为A1D的中点，

2、所以ND=A1D由题设知A1B1DC，可得B1CA1D，故MEND，因此四边形MNDE为平行四边形，MNED又MN平面EDC1，所以MN平面C1DE（2）由已知可得DEDA以D为坐标原点，的方向为x轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz， 则，A1(2，0，4)，设为平面A1MA的法向量，则，所以可取设为平面A1MN的法向量，则所以可取于是，所以二面角的正弦值为【名师点睛】本题考查线面平行关系的证明、空间向量法求解二面角的问题.求解二面角的关键是能够利用垂直关系建立空间直角坐标系，从而通过求解法向量夹角的余弦值来得到二面角的正弦值，属于常规题型.【母题来源二】【2018年高考全国卷理数

3、】如图，四边形为正方形，分别为的中点，以为折痕把折起，使点到达点的位置，且.（1）证明：平面平面；（2）求与平面所成角的正弦值.【答案】（1）见解析；（2）.【解析】方法一：（1）由已知可得，BFPF，BFEF，所以BF平面PEF.又平面ABFD，所以平面PEF平面ABFD.（2）在平面DEF中，过P作PHEF于点H，连接DH，如图，由于EF为平面ABCD和平面PEF的交线，PHEF，则PH平面ABFD，故PHDH.则与平面所成的角为.在三棱锥P-DEF中，可以利用等体积法求PH.因为DEBF且PFBF，所以PFDE，又，所以FPD=FCD=90，所以PFPD，由于DEPD=D，则PF平面PD

4、E，故，因为BFDA且BF平面PEF，所以DA平面PEF，所以DEEP.设正方形的边长为2a，则PD=2a，DE=a，在中，所以，故，又，所以，所以在中，故与平面所成角的正弦值为.方法二：（1）由已知可得，BFPF，BFEF，所以BF平面PEF.又平面ABFD，所以平面PEF平面ABFD.（2）作PHEF，垂足为H.由（1）得，PH平面ABFD.以H为坐标原点，的方向为y轴正方向，为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系Hxyz.由（1）可得，DEPE.又DP=2，DE=1，所以PE=.又PF=1，EF=2，故PEPF.可得.则为平面ABFD的法向量.设DP与平面ABFD所成角为，则.所以DP与

5、平面ABFD所成角的正弦值为.【名师点睛】该题考查的是有关立体几何的问题，涉及到的知识点有面面垂直的证明以及线面角的正弦值的求解，属于常规题目，在解题的过程中，需要明确面面垂直的判定定理的条件，这里需要先证明线面垂直，所以要明确线线垂直、线面垂直和面面垂直的关系，从而证得结果；对于线面角的正弦值可以借助于平面的法向量来完成，注意相对应的等量关系即可.【母题来源三】【2017年高考全国卷理数】如图，在四棱锥PABCD中，AB/CD，且.（1）证明：平面PAB平面PAD；（2）若PA=PD=AB=DC，求二面角APBC的余弦值.【答案】（1）见解析；（2）.【解析】（1）由已知，得ABAP，CDP

6、D.由于AB/CD ，故ABPD ，从而AB平面PAD.又AB 平面PAB，所以平面PAB平面PAD.（2）在平面内作，垂足为，由（1）可知，平面，故，可得平面.以为坐标原点，的方向为轴正方向，为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系.由（1）及已知可得，.所以，.设是平面的法向量，则即可取.设是平面的法向量， 则即可取.则，所以二面角的余弦值为.【思路点拨】（1）根据题设条件可以得出ABAP，CDPD.而AB/CD，就可证明出AB平面PAD，进而证明出平面PAB平面PAD.（2）先找出AD中点，找出相互垂直的线，建立以为坐标原点，的方向为轴正方向，为单位长的空间直角坐标系，列出所需要的点的坐标

7、，设是平面的法向量，是平面的法向量，根据垂直关系，求出和，利用数量积公式可求出二面角的平面角.【名师点睛】高考对空间向量与立体几何的考查主要体现在以下几个方面：求异面直线所成的角，关键是转化为两直线的方向向量的夹角；求直线与平面所成的角，关键是转化为直线的方向向量和平面的法向量的夹角；求二面角，关键是转化为两平面的法向量的夹角.建立空间直角坐标系和表示出所需点的坐标是解题的关键.【命题意图】高考对本部分内容的考查以能力为主，重点考查线面关系、面面关系、线面角及二面角的求解，考查数形结合的思想，空间想象能力及运算求解能力等【命题规律】高考对该部分内容的考查主要有两种形式：一是利用立体几何的知识证

8、明线面关系、面面关系；二是考查学生利用空间向量解决立体几何的能力，考查空间向量的坐标运算，以及平面的法向量等，难度属于中等偏上，解题时应熟练掌握空间向量的坐标表示和坐标运算，把空间立体几何问题转化为空间向量问题.【答题模板】运用空间向量坐标运算求空间角的一般步骤：（1）建立恰当的空间直角坐标系；（2）求出相关点的坐标；（3）写出向量坐标；（4）结合公式进行论证、计算；（5）转化为几何结论【方法总结】1.直线与平面、平面与平面的平行与垂直的向量判定方法设直线l的方向向量为a=(a1，b1，c1)，平面，的法向量分别为=(a2，b2，c2)，v=(a3，b3，c3)，则（1）线面平行：laa=0a

9、1a2b1b2c1c2=0；（2）线面垂直：laa=ka1=ka2，b1=kb2，c1=kc2；（3）面面平行：v=va2=a3，b2=b3，c2=c3；（4）面面垂直：vv=0a2a3b2b3c2c3=0.注意：用向量知识证明立体几何问题，仍然离不开立体几何中的定理.如要证明线面平行，只需要证明平面外的一条直线和平面内的一条直线平行，即化归为证明线线平行，用向量方法证明直线ab，只需证明向量a=b（R）即可.若用直线的方向向量与平面的法向量垂直来证明线面平行，仍需强调直线在平面外.2.利用向量求异面直线所成的角把角的求解转化为向量运算，“转化”是求异面直线所成角的关键，一般地，异面直线AC，

10、BD的夹角的余弦值为cos =.注意：两条异面直线所成的角不一定是两直线的方向向量的夹角，即cos =|cos |.3.利用向量求直线与平面所成的角（1）分别求出斜线和它所在平面内的射影直线的方向向量，转化为求两个方向向量的夹角(或其补角)；（2）通过平面的法向量来求，即求出斜线的方向向量与平面的法向量所夹的锐角，取其余角就是斜线和平面所成的角注意：直线和平面所成的角的正弦值等于平面法向量与直线方向向量夹角的余弦值的绝对值，即注意函数名称的变化设直线l的方向向量为a=(a1，b1，c1)，平面的法向量为=(a3，b3，c3)，直线l与平面的夹角为，则.4.利用向量求二面角求二面角最常用的方法就

11、是分别求出二面角的两个面所在平面的法向量，然后通过两个平面的法向量的夹角得到二面角的大小，但要注意结合实际图形判断所求角是锐角还是钝角注意：两平面的法向量的夹角不一定是所求的二面角，有可能为两法向量夹角的补角设平面，的法向量分别为=(a3，b3，c3)，v=(a4，b4，c4)，平面，的夹角为(0)，则.5.用向量解决探索性问题的方法（1）确定点在线段上的位置时，通常利用向量共线来求（2）确定点在平面内的位置时，充分利用平面向量基本定理表示出有关向量的坐标而不是直接设出点的坐标（3）解题时，把要成立的结论当作条件，据此列方程或方程组，把“是否存在”问题转化为“点的坐标是否有解，是否有规定范围内

12、的解”等，所以为使问题的解决更简单、有效，应善于运用这一方法解题1【陕西省汉中市2019届高三全真模拟考试数学】如图，四边形为矩形，平面平面，点在线段上.（1）求证：平面；（2）若二面角的余弦值为，求的长度.【答案】（1）见解析；（2）.【解析】（1），又平面平面，平面平面，平面，平面.（2）以为原点，以，所在直线分别为，轴建立如图所示的空间直角坐标系，则，由题知，平面，为平面的一个法向量，设，则，设平面的法向量为，则，令，可得，解得或（舍去），.【名师点睛】本题主要考查空间垂直关系的证明，考查二面角的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.2【广东省肇庆市2019届高中毕业

13、班第三次统一检测数学】如图，在三棱柱中，侧面是菱形，是棱的中点，在线段上，且.（1）证明：平面；（2）若，平面平面，求二面角的余弦值【答案】（1）见解析；（2）.【解析】（1）连接，交于点，连接因为，所以，又因为，所以，所以，又平面，平面，所以平面.（2）过作于，因为，所以是线段的中点因为平面平面，平面平面，所以平面，连接，因为是等边三角形，是线段的中点，所以.如图，以为原点，所在直线分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标，不妨设，则，由，得，则的中点，从而，.设平面的法向量为，则，即，得一组解为，即.易知平面的一个法向量为，则，所以二面角的余弦值为.【名师点睛】本题考查直线与平面平行的证明，二面角

14、的余弦值的求解，考查空间想象能力以及推理计算能力3【湖南省师范大学附属中学2019届高三考前演练（五）】在五边形AEBCD中，（如图）.将沿AB折起，使平面ABE平面ABCD，线段AB的中点为O(如图）.（1）求证：平面ABE平面DOE；（2）求平面EAB与平面ECD所成的锐二面角的大小.【答案】（1）见解析；（2）45.【解析】（1）由题意，O是线段AB的中点，则.又，则四边形OBCD为平行四边形，又，则，由，得.又，则AB平面EOD又平面ABE，故平面ABE平面EOD （2）由（1）易知OB，OD，OE两两垂直，以O为坐标原点，OB，OD，OE所在直线分别为轴建立如图所示的空间直角坐标系，

15、为等腰直角三角形，且AB=2CD=2BC，则，取，则O（0，0，0），A（-1，0，0），B（1，0，0），C（1，1，0），D（0，1，0），E（0，0，1），则，设平面ECD的法向量为，则即，取，得平面ECD的一个法向量，因为OD平面ABE，所以平面ABE的一个法向量为，设平面ECD与平面ABE所成的锐二面角为，则，因为，所以，故平面ECD与平面ABE所成的锐二面角为45. 【名师点睛】本题考查了面面垂直的判定与证明，以及空间角的求解问题，意在考查学生的空间想象能力和逻辑推理能力，解答本题的关键在于熟练掌握直线与直线、直线与平面、平面与平面关系的相互转化，同时对于立体几何中角的计算问题，往

16、往可以利用空间向量法，通过求解平面的法向量，利用向量的夹角公式求解.4【河南省百校联盟2019届高三考前仿真试卷数学】如图，在几何体中，四边形，为矩形，平面平面，平面，为棱的中点.（1）证明：平面；（2）求直线与平面所成角的正弦值.【答案】（1）见解析；（2）.【解析】（1）因为平面，所以，又，所以平面，又因为，所以平面，又平面，所以，因为平面平面，平面平面，所以平面，经计算可得，从而，所以在中，又平面，所以平面.（2）如图，以点为原点，所在的直线分别为轴，建立空间直角坐标系，依题意得，.则，设平面的法向量为，则即消去，得，不妨设，可得，又，设直线与平面所成的角为，于是，故直线与平面所成角的正

17、弦值为.【名师点睛】本题主要考查了直线与平面垂直的判定与性质，平面与平面垂直的性质，直线与平面所成角的向量求法，属于中档题.解题的关键是认真审题，注意合理转化，计算准确.5【安徽省1号卷A10联盟2019届高考最后一卷数学】如图，在四棱锥中，为等边三角形，.（1）若点分别是线段的中点，求证：平面平面；（2）若二面角为直二面角，求直线与平面所成角的正弦值.【答案】（1）见解析；（2）.【解析】（1）为等边三角形，且是线段的中点，平面，平面，平面，点分别是线段的中点，平面，平面，平面，平面平面.（2）如图，设交于点，连接，由对称性知，为的中点，且，二面角为直二面角，平面，不妨设，则，以为坐标原点，

18、所在直线分别为轴，建立如图所示空间直角坐标系则，设平面的法向量为，则，即，令，得，直线与平面所成角的正弦值为.【名师点睛】本题考查面面平行关系的证明、空间向量法求解直线与平面所成角的问题，关键是能够利用面面垂直的性质证得线面垂直，从而建立空间直角坐标系，写出相关点的坐标，利用空间向量法来求解线面角.6【河南省八市重点高中联盟“领军考试”2019届高三第五次测评数学】如图，三棱柱中，平面平面，.（1）求证：平面平面；（2）若与平面所成的线面角为，求二面角的余弦值.【答案】（1）见解析；（2）.【解析】（1）因为平面平面，平面平面，平面，所以平面，因为平面，所以.因为，所以.因为是平行四边形，且，

19、所以四边形是菱形，则.因为，所以平面.又平面，所以平面平面.（2）如图，取的中点，连接，因为四边形是菱形，所以是正三角形，所以，且.令，则.以为坐标原点，以所在直线为轴，所在直线为轴，过点且平行于的直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系.则，.设平面的法向量为，则，所以，得，令，则，所以.由（1）知平面，所以是平面的一个法向量，所以.所以二面角的余弦值为.【名师点睛】本题考查平面与平面垂直的判定，二面角的求解，考查空间想象能力与思维能力，训练了利用空间向量法求解空间角，是中档题7【山东省淄博市部分学校2019届高三5月阶段性检测（三模）数学】已知正方形的边长为分别为的中点，以为棱将正方形折成如

20、图所示的的二面角，点在线段上（1）若为的中点，且直线，由三点所确定平面的交点为，试确定点的位置，并证明直线平面；（2）是否存在点，使得直线与平面所成的角为；若存在，求此时二面角的余弦值，若不存在，说明理由【答案】（1）见解析；（2）见解析.【解析】（1）因为直线平面，故点在平面内也在平面内，所以点在平面与平面的交线上，如图所示，因为，为的中点，所以，所以，所以点在的延长线上，且，连结，交于，因为四边形为矩形，所以是的中点，连结，因为为的中位线，所以，又因为平面，所以直线平面.（2）由已知可得，所以平面，所以平面平面，取的中点为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，所以，所以，设，则，设平面的

21、法向量为，则，取，则，所以平面的一个法向量为，因为与平面所成的角为，所以，所以，所以，解得或，所以存在点，使得直线与平面所成的角为，取的中点，则为平面的法向量，因为，所以，设二面角的大小为，所以，因为当时，平面平面，所以当时，为钝角，所以.当时，为锐角，所以.【名师点睛】此题考查了线面平行的证明，用空间向量法解决线面所成的角，二面角等，综合性较强，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力，难度适中数学二级结论高考的应用第一结论不动点通法 数列通项放缩问题国一各种数列压轴题 通杀不动点的求法：比如X(n+1)=f(Xn)令f(Xn)=Xn 解出Xn=a或者a,b两解那么a,b就为Xn不

22、动点不动点意义是什么呢？ 就是Xn的极限 即Xna高考里你只需要取大根就好，小根忽视比如10年国一22(2) 看解法 你可以选08 07 的国一照套用核心思想：有关数列通项的相关问题，先化简Xn-a(a为不动点)会得到很多Xn的性质题目再现：a1=1 a(n+1)=c-1/an求使不等式anan+13的c的取值范围解an=c-1/an 令an=x 得 x=(c+sqrt(c-4)/2显然就是证xan a2=c-1/a1=c-1c-11 所以c2所以a1-x=1-x0回头看这个：即an+1 - x = c(an-x)-x(an-x)/an=(c-x)/an*(an-x)(c-x)/an 是一个

23、正数 根据【同号性】（极其重要） an+1 - x和an - x同号 a1-x0所以a2-x0an+1-x0即an+1x即题目变成anan+1x3恒成立求x的范围解x3得到答案这是真正的通法 是所有考察数列通项问题的通法，这是高数内容 别忘了是谁出的题大学教授，都带有高数味儿得小结论C:y2=2px过x轴上(a,0)点与C相交，存在x1x2=a2无数小题用此结论减免思维强度连10年解几第一问也可以用这个证明（三点共线那个） 你想想 过(-p/2,0)的直线交C于A(x1,y1)B(x2,y2) B(x2,-y2) 让你证AB过焦点你想想 x1x2只和a2有关，也就是在x1x2相同时 a有两个解

24、 一个解已知是-p/2 另一个解必然是p/2啊极坐标：秒杀焦点弦我们是大纲版 不学极坐标，所以考试小题常出焦点弦问题没学过极坐标的别记专有名词 这样记以下公式椭圆 过F作直线交C于AB，设AF=r1 BF=r2目测谁比较长 如r1比较长则r1=ep/1-ecos日日为过F的直线的倾斜角p为焦准距双曲线单支和椭圆一样交于两支时 r=ep/ecos日 +- 1 比较长的那个取负 短的那个取正抛物线r=p/1 -+ cos日（抛物线e=1）以上三者的焦点弦R=r1+r2长为R=|2ep/1-e2cos2日|这个公式和焦半径公式相辅相成 轮换使用 解几小题任意秒另附 焦半径公式中 双曲线的速记口诀左加

25、右减套绝对值，同边开负，异边开正举例解释比如在双曲线右支 到右焦点的距离r=|a-ex0| （左加右减套绝对值）由于是同边（右支右边） 所以绝对值开负号 r=ex0-a技巧09山东22题告诉我们过原点的两条线段r1 r2相互垂直时，A点可设为A(r1cos日,r1sin日) B(-r2sin日,r2cos日)因为AO BO垂直 这些关系可以用倾斜角表示S(2n-1)=(2n-1)an这种强大的公式不懂你就亏了四面体体积公式V=1/6(abhsin日)a，b是两条对楞的长，h是对棱的异面距离，日是对棱的夹角这个公式异常重要，比如10年国一12题，用这题套公式秒杀有关立体几何中的开放式问题 （极值

26、，交点个数，还有北京卷那个与xyz哪个有关的）近年来的热点 这类题基本出在正方体或者长方体中用退化的 空间解析几何处理 这类题可以秒杀，这个要画图 有需要的童鞋回一下 我就画图还有这个在O-xyz 坐标系中 某条过O的直线和x y z分别成 a b c 度角有cos2 a + cos b + cos2 c =1这个有什么用呢？ 已知两个角 求第三个角 用于有些图形恶心的立几大题中建立坐标系双曲线焦点到渐近线的距离=b过双曲线两顶点作垂直于x轴的直线和渐近线交与四点 形成一个矩形则 斜边为c 另一条直角边为b我们来看看圆锥面是一个三角形旋转一周所得意味着该圆锥母线和底面所成的角恒为定值所以【研究

27、线面成定角问题可以用圆锥面分析】立体几何中解析几何中 凡涉及线段中点问题的 绝大多数和三角形中位线有关遇到排列组合难题 尤其是三个限制条件的 一定要用容斥原理举个例子：P要满足A,B,C，求P的方法数画个韦恩图U是全集 画个大框框 在上面画3个圈 非A 非B 非C （要看看他们是否有交集，一般是有的）看到图你知道该怎么算了吧P=U-(A+B+C)+A交B+A交C+B交C-A交B交C两个条件的我就懒得打字啦有关离心率问题 很多命题点在这里椭圆离心率e2=1-(b/a)2双曲线：e2=1+(b/a)2看到了吧 都和一个参数t=(b/a) 有关双曲线渐近线方程可设为b2x2-a2y2=0看到了么 这

28、可是二次方程形式哟 可以避免讨论一些东西比如有两焦点 可以舍而不求的联立使用韦达定理2画一个双曲线，比如P在右支上 连接PF1 PF21.若PO=F1O=F2O 则F1PF2为902.POOF1 则OF1 则，为锐角导函数为二次函数时 注意原函数有极值的条件是在定义域内0【这是一个你死也要记住的不等式链】sqrt(a2+b2)/2=(a+b)/2=sqrt(ab)=2/(1/a+1/b)注意2/(1/a+1/b) 也就是2ab/a+b这个不等式链 在配凑性消元 正负对消上有很大用途但是均值不等式一定是单向放缩的 一般求双最值问题 一定要涉及到求导平面中任意共起点的两条向量所组成的三角形面积为设

29、向量OA=(a,b)向量OB=(c,d)a b( )c d即 ad-bc证明可用S=1/2absin日 证平行四边形ABCD 中1.若|AB|=|AD| (向量AB+向量AD)(向量AB-向量AD)=02.若ABAD |向量AB+向量AD|=|向量AB-向量AD|用向量构筑不等关系若题目求ac+bd 这类的最大值 可以构筑向量m=(a,c)向量n=(c,d)向量m*向量n=ac+bd=sqrt(a2+c2)sqrt(b2+d2)y=f(a+x)和y=(b-x) 关于 x=(b-a)/2对称y=f(wx+a)和y=f(b-wx)关于x=(b-a)/2w对称切记等差数列Sn=(d/2)n2+(a1

30、-d/2)n 这是二次函数表达式 很多小题就是以这个为基本命题的S(2n-1)=(2n-1)an 你一看到等差数列和，下标又是奇数的 赶紧用啊等比数列Sn=m+mqn 其中m=a1/1-q这个是肯定要记的，很多放缩就是放缩到等比数列 然后选一个小于1的公比q 你观察，Sn的极限不就是a1/1-q可以用来证明(bn是等比)a1+a2+a3+.+anb1+b2+bn（通过单项放缩）a1/1-q=题目要求值cos75=1/sqrt(6)+sqrt(2)sin75=1/sqrt(6)-sqrt(2)自己推15的啊。这个我做数学和物理真题的时候遇到过 物理尤其光学题对于R上的奇函数 如果周期为T 则有f

31、(T/2+nT)=0可以用奇X奇=偶函数 偶X奇=奇 来变幻函数性质比如如果f(x)为偶 则 f(x)/x 为奇注意这种构造法|b2n-bn|=|b2n-b(2n-1)+b(2n-1)-b(2n-2)+b(n+1)-bn| y0/x0 * k = -b2/a22.和l联立消去x,y （别弄走了k)抛物线中利用参数方程很多情况下可以大幅度减少运算y2=2px的参数方程(2pt2,2pt)比例性质专业化简啊！分比性质a/b=c/d (a-b)/b=(c-d)/d合分比性质(a+b)/(a-b)=(c+d)/(c-d)和比差比就不提了 初中公式不懂自己查吧这俩公式 尤其下面的，平时遇到分式类的题可以试着用用就上手了已知过x轴上一点方程 一定要设为my=x-c为什么？ 它包括了斜率不存在的情况，可以避免讨论对存在性问题，可以从特殊条件出发，进而再证明这个值就是一般情况下的值平面上任意一点P(x,y)都可以表示为x=|OP|cosy=|OP|sin有什么用途呢？ 比如有