高中数学人教A版高中必修5第一章解三角形-《正弦定理》（教学设计刘金燕）

1、正弦定理（第一课时）刘金燕 攀枝花市第七高级中学 一、教材分析本节内容安排在普通高中课程标准实验教科书（人教A版）必修5第一章解三角形正弦定理第一课时，是初中“三角形边角关系”和“解直角三角形”内容的直接延续和拓展，正弦定理揭示了任意三角形的边角之间的一种等量关系，是解决生产、生活实际问题的重要工具。定理本身的应用十分广泛，因此在高考中也是考查的重点！二、学情分析对高一的学生来说，已经学习了解直角三角形，三角函数，向量等知识，有一定观察分析、解决问题的能力，但对前后知识间的联系、理解、应用有一定难度，因此思维灵活性受到制约.根据以上特点，尽量多得设置思维引导点，带领学生一起分析并解决问题；在问

2、题的处理上，更加注重前后知识的串联，用已有知识解决新问题，并得到新知识；学习过程的推进也是逐步实现，环环相扣，循序渐进。三、设计思想本节课，首先课本通过引入实际问题，但没有深入展开下去，而是通过对直角三角形边角关系由特殊到一般去证明正弦定理，设计上显得不太自然。其次对正弦定理的应用是利用计算器算出结果，数据复杂，不够简单。为了处理好这两个问题，我首先确定一个基本原则，从学生的“最近发展区”入手进行设计。在教学中我采用探究发现式课堂教学模式，在学生不知正弦定理内容和证明方法的前提下对正弦定理进行探索发现。在实际教学设计中把正弦定理这部分内容共分为三个层次：第一层次通过引导学生对实际问题的探索与发

3、现，大胆提出猜想；第二层次由猜想入手，带着疑问，在探究得到锐角三角形边角之间存在一种等量关系的基础上，以此作为启发点，首先通过几何画板对任意三角形边角之间的这种等量关系进行验证。其次通过方法类比得到钝角三角形和直角三角形的推导与证明，得到正弦定理；第三层次：解决引例，首尾呼应，并学以致用。学生通过对任意三角形中正弦定理的探索、发现和证明，感受“观察发现猜想验证证明-应用”这一思维方法，养成大胆猜想、善于思考的品质。四、教学目标1、掌握正弦定理的内容及其证明方法；能用正弦定理解决一些简单的三角度量问题；2、让学生从已有的几何知识出发,探究在任意三角形中，边与其对角的关系，引导学生通过观察、猜想、

4、验证，证明，由特殊到一般归纳出正弦定理，培养学生合情推理探索数学规律的数学思想能力。3、通过参与、思考、交流，体验正弦定理的发现及探索过程，逐步学生培养探索精神和创新意识。五、教学重点与难点教学重点：正弦定理的发现和探究教学难点：正弦定理的猜想提出过程.正弦比的探索发现证明过程教学准备：制作多媒体课件六、教学过程：（一）引导创设问题情境师生活动：教师：假如让你在河的两岸B点与C点之间设计建设一座桥， 以解决当地村民出行难的问题。建筑师现以通过皮尺和测角器测得：AB=100m,并在A点处测得A=，在C点测得C=,如何求得两点的距离?教师：你能把它转化成数学问题，写出已知量和要求的量吗？是否可以用

5、初中所学知识来求两点的距离呢？学生：思考，交流，得出过作于,如图，把分为两个直角三角形，解题过程，学生阐述，教师板书.解：过作于在中， 在中，教师：表示对学生赞赏，从两点的距离的求解中是否能探索出在任意锐角三角形中，各边角之间存在某种数量关系？若，能否用、表示呢？教师：引导学生再观察刚才解题过程.学生：发现，教师：引导，在刚才的推理过程中，你能想到什么？你能发现什么？学生：发现即然有，那么也有,教师：引导，我们习惯写成对称形式，因此我们可以发现，是否任意三角形都有这种边角关系呢？设计意图：兴趣是最好的老师，我通过从学生日常生活中的实际问题引入，激发学生思维，激发学生的求知欲，引导学生把解锐角三

6、角形转化为解直角三角形的问题，在解决问题后，对特殊问题一般化，得出一个猜测性的结论猜想，培养学生从特殊到一般思想意识，培学生创造性思维能力.预设：学生可能会出现三种作高可能，不定性。具体可引导探索哪种可能最简单。其它可能表示赞同，可以叫学生下来探讨。（二）师生平等、探索讨论、交流、解决问题教 师：借助多媒体演示随着三角形形状发生变换，、值仍然保持相等.我们猜想：=（三）反思（证明猜想，得出定理）教师：我们虽然通过多媒体技术验证，对任意的三角形都有，那么如何用数学的思想方法证明呢？前面探索过程对我们有没有启发？学生分组讨论，每组派一个代表总结.（以下证明过程，根据学生回答情况进行叙述，用多媒体展

7、示证明过程）学生:思考交流得出,如图,若C为钝角, 在ABC中设BC=a,AC=b,AB=c,过A点作AD垂直于BC交BC的延长线于D，此时有:预设：学生可能会忽视BaACcb学生：思考交流得出，如图，若C为直角,在RtABC中，设BC=a,AC=b,AB=c,则有，又,则从而在直角三角形中，设计意图：经历证明猜想的过程，进一步引导启发学生利用已有的数学知识论证猜想，力图让学生体验数学的学习过程.教师：任意三角形中边角之间存在这样美丽的等量关系，适时把它上升为定理，引导学生将其命名为正弦定理。教师：你能描述正弦定理的特征吗？设计意图：加深学生对正弦定理的理解，同时锻炼学生的语言表达能力。教师：

8、在三角形中任意边与其对角的正弦比相等，正弦比是否具有某种几何意义？学生：在前面的检验中，中，学生：直角三角形的斜边。教师：是否还有其它的几何意义使其在任意三角形中也成立？(学生不容易想到可以通过多媒体教学演示)学生：中，教 师：我们虽然通过多媒体技术验证，对任意的三角形都有，那么如何用数学的思想方法证明呢？学生分组讨论，每组派一个代表总结.（以下证明过程，根据学生回答情况进行叙述，用多媒体展示证明过程）设计意图：通过几何画板对三角形形状发生变化后也满足任意边与其对角的正弦比相等的检验，动态地保持了几何图形中内在的、恒定不变的几何关系及几何规律，将有助于学生们理解并学习，激发学生的好奇心和求知欲

9、望，体会到数学实验的归纳和演绎推理的两个侧面.学生：若证明：连接并延长交圆于FORMTEXT， B在中，即同理可证：，教师：从刚才的证明过程中, ，显示正弦定理的比值等于三角形外接圆的直径。学生：若设计意图：经历证明猜想的过程，进一步引导启发学生利用已有的数学知识论证猜想，力图让学生体验数学的学习过程.学生：正弦定理结构的最大特点是体现了数学的对称美，和谐美。包含3个等式。每个等式里有4个量。教师：正弦定理可以解决三角形中那些类型的问题？（学生说，教师板书黑板）学生：（1）已知两角及任一边，求其他两边和一角（从而进一步求出其他的边和角）（2）已知两边和其中一边对角，求另一边的对角（从而进一步求

10、出其他的边和角）师生：例1的处理，先让学生思考回答解题思路，教师板书，让学生思考主要是突出主体，教师板书的目的是规范解题步骤.例1：开头引例 设计意图：通过用正弦定理的运用使学生体会定理的方便快捷，提高学生学习的热情和动力，使学生体验到成功的愉悦感，变“要我学”为“我要学”，“我要研究”的主动学习.（七）尝试小结：教师：提示引导学生总结本节课的主要内容.学生：思考交流，归纳总结.师生：让学生尝试小结，教师及时补充，要体现：一个定理正弦定理两类应用（1）已知两角及任一边，求其他两边和一角已知两边和其中一边对角，求另一边的对角（从而进一步求出其他的边和角）方法采用多媒体辅助教学手段，按照从特殊到一般，从具体到抽象，利用“旧知识”解决“新问题”的思维发展规律来设置问题，采用问题串的形式来引导学生学习知识。设计意图：通过学生的总结，培养学生的归纳总结能力和语言表达能力.（八）作业设计2.根据下列条件解三角形： （九）课后探究1.请同学们自己证明在钝角三角形中正弦比为2R(R为三角形外接圆