高中数学人教A版高中必修1第四章指数函数与对数函数-3幂函数教案

1、 幂函数教学设计教学目标1能从具体情境中抽象出幂函数概念，提升学生的数学抽象素养2了解幂函数的定义，能识别幂函数；能正确画出幂函数yx，yx2，yx3，y eq r(x)，y eq f(1,x) 的图象，描述它们的变化规律，讨论它们的基本性质，提升学生的直观想象和数学抽象素养3能利用函数的单调性定义证明幂函数的单调性，能利用幂函数的单调性比较大小，提升学生的逻辑推理和数学运算素养教学重难点教学重点：5个幂函数的图象与性质教学难点：画yx3 和 yx的图象，通过5个幂函数的图象概括出它们的性质课前准备用软件制作动画；PPT课件教学过程一、问题导入问题1：观察（1）（5）中的函数解析式，你能发现它

2、们的共同特征吗？（1）如果张红以1元/kg的价格购买了某种蔬菜w kg，那么她需要支付pw元，这里p是w的函数；（2）如果正方形的边长为a，那么正方形的面积Sa2，这里S是a的函数；（3）如果立方体的边长为b，那么立方体的体积Vb3，这里V是b的函数；（4）如果一个正方形场地的面积为S，那么正方形的边长c eq r(S)，这里c是S的函数；（5）如果某人t s内骑车行进1 km，那么他骑车的平均速度v eq f(1,t)，这里v是t的函数师生活动：学生还没有学习指数幂运算，老师可以给出提示： eq r(S)S， eq f(1,t)t1，然后引导学生从解析式的结构特征去思考，发现这5个解析式的共

3、同点追问1：你还能举几个相同结构的函数的例子吗？（yx0，yx4，yx2，yx等）预设的答案：函数解析式是幂的形式，且指数是常数，底数是自变量教师点拨：一般地，函数yx叫做幂函数(power function)，其中x为自变量，为常数（板书：幂函数）对于幂函数，我们只研究1，2，3，eq f(1,2)，1时的图象与性质设计意图：问题1通过学生熟悉的实际问题引出课题，追问1帮助学生进一步熟悉幂函数的结构特征二、新知探究1确定研究思路问题2：（1）对于一类新函数，请你思考我们需要从哪些方面入手去研究？（2）你能类比前面讨论函数性质时的思路，提出研究幂函数性质的方法吗？师生活动：学生回忆函数的概念与

4、性质的探究思路，老师在学生回答的基础上补充预设的答案：（1）函数的对应关系的表示、定义域、值域、单调性和奇偶性等（2）通常先根据函数解析式求出函数的定义域，画出函数的图象；再利用图象和解析式，讨论函数的值域、单调性、奇偶性等问题设计意图：问题（1）帮助学生确立具体的研究目标，问题（2）是帮助学生确立研究方法2幂函数的图象与性质问题3：请你在同一坐标系中画出函数yx，yx2，yx3 ，yx和y eq f(1,x)的图象，结合解析式观察函数图象，将你发现的结论填写在表1内表1yxyx2yx3yxyx-1定义域值域奇偶性单调性师生活动：学生可以顺利画出yx，yx2和y eq f(1,x)的图象，但是

5、在画yx3 和 yx的图象时会遇到困难，老师引导学生通过解析式先得到部分性质，比如定义域，奇偶性，甚至是单调性，然后学生再用描点法画图，最后老师借助画图软件作出图象再加以认识预设的答案：如图1和表2图1表2yxyx2yx3yxy eq f(1,x)定义域RRRx|x0 x|x0值域Ry|y0Ry|y0y|y0奇偶性奇函数偶函数奇函数非奇非偶函数奇函数单调性在(，)上单调递增在(，0)上单调递减，在(0，)上单调递增在(，)上单调递增在0，)上单调递增在(，0)，(0，)上单调递减追问1：结合图1和表2，你能总结出这5个幂函数的共性吗？（图象都过点(1，1)，图象都经过第一象限）追问2：这5个幂

6、函数的图象均过第一象限，如何确定是否过第二或第三象限？（如果定义域为x|x0，则不过第二、三象限，比如yx；如果定义域包含(，0)，可以结合奇偶性判断，如果为偶函数，则过第二象限，比如yx2；如果为奇函数，则过第三象限，比如yx和yx3）追问3：在第一象限中，如何区分这5个函数的图象？（y eq f(1,x)在(0，)上单调递减，图象向上与y轴无限接近，向右与x轴无限接近，其余均单调递增yx的图象是一条直线，其余全是曲线，当0 x1时，yx的图象位于该直线的上方；当x1时，yx的图象位于该直线的下方yx2和yx3的图象与yx的图象的位置关系正好相反（如图2）且当0 x1时，yx2的图象位于yx

7、3的图象的上方，当x1时，yx2的图象位于yx3的图象的下方（如图3）图2图3设计意图：问题3和追问1引导学生体会研究一类函数的方法，其中，让学生先观察函数yx3 和 yx解析式的特点，对函数的定义域、单调性、奇偶性等进行初步判断，这样可以使学生提高取点的目的性，使图象更好地反映函数的特征，而且可以使学生体会高中阶段研究函数性质的新特点追问2，3，4引导学生体会不同幂函数的“个性”，尤其是体会不同幂函数的变化趋势的差异3定量刻画幂函数的性质例1 证明幂函数 f(x) eq r(x)是增函数师生活动：老师引导学生分析证明单调性的方法-定义法，并回忆用定义证明单调性的步骤，学生的难点一般在代数变形

8、上，这里采用分子有理化的方法，老师应给予指导预设答案：证明：函数的定义域是0，+)x1，x20，+)，且x1x2，f(x1)f(x2) eq r(x1) eq r(x2) eq f( eq r(x1) eq r(x2)( eq r(x1) eq r(x2), eq r(x1) eq r(x2) eq f(x1x2, eq r(x1) eq r(x2) 因为x1x20， eq r(x1) eq r(x2)0，所以f(x1)f(x2)，即幂函数f(x) eq r(x)是增函数设计意图：由于之前幂函数的基本性质是由图象观察得来，本题弥补了由图象归纳性质的不严谨，同时也是对刚刚学习的一般函数单调性定义

9、的应用，提升学生的逻辑推理和数学运算素养4幂函数性质的应用例2 利用幂函数的性质，比较下列各题中两个值的大小：（1）(3，(3； （2） eq f(1, ， eq f(1, 师生活动：学生缺乏利用函数的单调性比大小的经验，容易将两个数看成孤立的数值，老师要引导学生用函数的眼光分析问题预设答案：（1）(3和(3可看作函数yx3当x分别取和时所对应的两个函数值yx3在(，)上单调递增，因为 ，所以(3(3（2） eq f(1,和 eq f(1,可看作函数y eq f(1,x)当x分别取和时所对应的两个函数值.y eq f(1,x)在(，0)上单调递减，因为 ，所以 eq f(1, eq f(1,设

10、计意图：通过利用幂函数yx3和yx1的单调性比较大小，加深对幂函数性质的理解，提升学生的逻辑推理素养三、归纳小结，布置作业问题4：回忆本节课的内容，请你回答以下几个问题：（1）什么是幂函数？你能简单说一说本节课所学的5个幂函数的性质吗？（2）你能说说幂函数和正比例函数，反比例函数，二次函数的区别和联系吗？师生活动：师生一起总结预设的答案：（1）概念和性质略；（2）幂函数和正比例函数，反比例函数，二次函数的交集分别是yx，y eq f(1,x)，yx2，除此之外，别无交集设计意图：通过梳理本节课的内容，让学生更加明确幂函数的定义和常见的5个幂函数的性质作业布置：教科书习题第1，2，3题四、目标检测设计1已知幂函数yf(x)的图象过点（2， eq r(2)），求这个函数的解析式设计意图：考查学生对幂函数的定义的理解2根据单调性和奇偶性的定义证明函数f(x)x3的单调性和奇偶性设计意图：考察对幂函数f(x)x3的单调性和奇偶性严格的推理证明，体现了对函数性质的应用参考答案：1yx，x02因为函数f(x)x3定义域为RxR，都有xR，且f(x)(x)3x3f(x) ，函数f(x)x3为奇函数任取x1，x2R，且x1x2，f