多自由度机械臂控制算法设计说明

1、 .DOC资料. 多自由度机械臂控制算法设计作者：日期：摘 要机器人是一种能够进行编程并在自动控制下执行某些操作和移动作业任务的机械装置。而机械臂作为机器人最主要的执行机构，是一个十分复杂的多输入多输出非线性系统,它具有时变、强耦合和非线性的动力学特征，因其控制的复杂性引起了相关从业人员的广泛关注。随着时代的进步，像军事制造、工业生产、日常生活及教育娱乐等各个领域对机器臂控制技术应用需求逐渐加大，从而使得设计一套工作空间大，运动灵活的多自由度机器臂尤为重要。机械手臂运行轨迹追踪控制技术有包括：adaptive control(自适应控制)、smvsc(滑模变结构控制)、Robust adapt

2、ive control(鲁棒自适应控制)、Fuzzy adaptive(模糊自适应）等四大类。本文主要运用模糊PID控制设计二自由度机械臂控制算法，该控制方法具有模糊控制灵活和适应性强的优点，也具有经典PID控制精度高的特点。本文围绕二自由度机械臂控制算法设计，首先建立二自由度关节型机械臂的数学模型，即二自由度机械臂输入驱动力矢量和输出转动角度矢量之间的函数关系。然后运用模糊PID控制设计一套机械臂轨迹规划算法，能够根据使用者的作业任务要求，求出二自由度机械臂终端执行器的轨迹。并研究如何对于给定的系统设计出PID控制器，实现控制系统的输出对参考输入跟踪，以及对扰动输入响应具有较小的振幅，且能够

3、衰减到零即无稳态误差。最后给出了基于MATLAB/SIMULINK软件的案例分析,阐释模糊PID控制算法行之有效性。关键词:多自由度，机械臂，PID算法控制，数学模型Abstract Robot is a kind of programming and perform certain operations and mobile task mechanism in automatic control. And robot arm as the main executive body, is a very complex multi input and multi output nonlinear

4、 system, it has a time-varying, strong coupling and nonlinear dynamic characteristics, due to the complexity of the control caused wide attention of practitioners. With the progress of the times, like military manufacturing, industrial production, daily life and entertainment, education and other fi

5、elds of a robot arm control technology application requirements gradually increase, from the design a large working space, the flexible movement of the multi degree of freedom robot arm is particularly important. Mechanical arm trajectory tracking control technology including: adaptive control, SMVS

6、C, robust adaptive control, fuzzy adaptive etc. In this paper, the use of fuzzy PID control design for two degree of freedom manipulator control algorithm, the control method with fuzzy control of a flexible and adaptable advantages, also has the classic PID control the characteristics of high preci

7、sion. This paper focuses on the design of control algorithm of two degrees of freedom manipulator, a mathematical model of two-DOF Manipulator, namely two-DOF Manipulator driving force and rotation angle between the output function. Then use the control to design a manipulator trajectory planning ar

8、ithmetic of fuzzy PID method, according to the users task requirements and for two degrees of freedom manipulator end effector trajectory. And study how to design a system for PID controller is given, to achieve the output of the control system of the reference input tracking, and disturbance input

9、response amplitude is smaller, and can decay to zero no steady state error. Finally, a case analysis based on MATLAB/SIMULINK software is presented to illustrate the effective of PID fuzzy control algorithm.Key Words: Multi degree of freedom, manipulator, control, PID algorithm, mathematical mode目录摘

10、要 = 1 * ROMAN * MERGEFORMAT IAbstract = 2 * ROMAN * MERGEFORMAT IITOC o 1-3 h u HYPERLINK l _Toc13774 1 绪论 PAGEREF _Toc13774 III HYPERLINK l _Toc19794 1.1 本文研究的目的与意义 PAGEREF _Toc19794 1 HYPERLINK l _Toc31828 1.2 机械臂控制算法研究现状 PAGEREF _Toc31828 1 HYPERLINK l _Toc29458 1.3 本论文的工作总结 PAGEREF _Toc29458 3 H

11、YPERLINK l _Toc5690 2 机械臂控制系统概述 PAGEREF _Toc5690 4 HYPERLINK l _Toc7821 2.1 二自由度机械臂的动力学控制模型 PAGEREF _Toc7821 4 HYPERLINK l _Toc22624 2.2 二自由度机械臂运动学正解 PAGEREF _Toc22624 5 HYPERLINK l _Toc31221 2.3 二自由度机械臂运动学中的反解 PAGEREF _Toc31221 7 HYPERLINK l _Toc4538 2.3.1 运动学反解的不唯一性 PAGEREF _Toc4538 8 HYPERLINK l

12、_Toc22479 2.3.2 在运动学反解中出现的个别情形 PAGEREF _Toc22479 9 HYPERLINK l _Toc5268 3 控制算法设计 PAGEREF _Toc5268 10 HYPERLINK l _Toc19369 3.1 PID的概述 PAGEREF _Toc19369 10 HYPERLINK l _Toc20206 3.2 模糊PID控制 PAGEREF _Toc20206 12 HYPERLINK l _Toc14725 3.3 二自由度运动路径规划 PAGEREF _Toc14725 13 HYPERLINK l _Toc4792 3.3.1 直角坐标空

13、间中规划算法 PAGEREF _Toc4792 13 HYPERLINK l _Toc6566 3.3.2 直线插补和圆弧插补算法 PAGEREF _Toc6566 16 HYPERLINK l _Toc29945 3.4 模糊PID控制算法设计 PAGEREF _Toc29945 17 HYPERLINK l _Toc23447 4 算例分析 PAGEREF _Toc23447 20 HYPERLINK l _Toc8999 4.1 二自由度机械臂PID模糊控制器的建模 PAGEREF _Toc8999 20 HYPERLINK l _Toc27307 4.1.1 模糊PID控制 PAGER

14、EF _Toc27307 20 HYPERLINK l _Toc18485 4.1.2 PID模糊建模 PAGEREF _Toc18485 21 HYPERLINK l _Toc10056 4.1.3 PID模糊控制 PAGEREF _Toc10056 22 HYPERLINK l _Toc10022 4.2 设计模糊控制器规则以及其仿真分析 PAGEREF _Toc10022 22 HYPERLINK l _Toc954 4.2.1 模糊控制器规则 PAGEREF _Toc954 22 HYPERLINK l _Toc32550 4.2.2 PID参数的模糊整定 PAGEREF _Toc32

15、550 25 HYPERLINK l _Toc10334 4.3 仿真结果分析 PAGEREF _Toc10334 30 HYPERLINK l _Toc11636 总结 PAGEREF _Toc11636 32 HYPERLINK l _Toc25187 致谢 PAGEREF _Toc25187 33 HYPERLINK l _Toc25516 参考文献 PAGEREF _Toc25516 341 绪论1.1 本文研究的目的与意义机器人是一种能够进行编程并在自动控制下执行某些操作和移动作业任务的机械装置。机械臂作为机器人最主要的执行机构，对它的研究越来越受到工程技术人员的关注。它涉及的学科有

16、材料科学、控制技术、传感器技术、计算机技术、微电子技术、通讯技术、人工智能、仿生学等等很多学科。 一个机械臂系统主要包括机械、硬件和软件、算法这四个部分。到具体设计需要考虑结构设计、控制系统设计、运动学分析、动力学分析、轨迹规划研究、路径规划研究、运动学动力学仿真等部分。对于一套轻便型机械臂的研发，需要把各个部分紧密联系，互相协调设计。随着时代的进步，机器臂技术的应用越来越普及，已逐渐渗透到军事、航天、医疗、日常生活及教育娱乐等各个领域。目前实际应用的绝大多数机器臂都是固定在基座上的，它们只能固定在某一位置上进行操作，因而其应用范围多限于工业生产中的重复性工作。于是实际生产生活中迫切需要一种活

17、动空间大，能适用于各种复杂环境和任务的可移动机器人。由于移动机器人工作空间大、运动灵活等优点，对它们的研究也是越来越多，但是这种机器人很多都是实现移动的，并没有可控制的手臂，所以没有抓取物体的功能。为了让移动机器人能够完成简单的作业，在它上面安装两只轻型服务型机械臂显的尤其必要。1.2 机械臂控制算法研究现状最早的机械臂是1962年美国联合公司制造的名为Unimate的机械臂，该系统的设计参照坦克塔台，其应用于将一些配件传送到生产线，其控制系统是一个大型计算机7。在文献8中，Liu Xinjun等人对二自由度并联机器人的运动学和动力学进行建模分析，并对二自由度并联机器人的综合性能做了深刻探讨，

18、并提出新的研究方法。Kim J Y对二自由度五连杆机械臂进行运动学的研究分析9。在对机械臂实现控制时，控制器的设计过程采用无模型的控制思想，例如可以通过神经网络滑模变结构控制(NN-SMVSC)等方法实现，即能够保障控制器的效率，同时，又能避免惯量矩阵或逆矩阵的计算10。 在文献11中，Su考虑了在执行器约束的情况下，针对两关节机械臂，研究了机械臂的全局输出反馈整定问题，并结合PID控制与补偿措施方法，通过Lyapunov方法证明了闭环系统的全局渐近稳定性。Liuzzo等I2提出了一种不依赖于模型的控制器，该控制器在对机械臂实现控制时，仅依赖于输入的周期信号值及机械臂的动力学的常数界限。通过对

19、每个关节的输入信号进行傅立叶级数展开，判断控制系统的全局稳定性和局部稳定性。当给定的输入信号的傅立叶级数展开有界时，可以获得全局稳定和局部指数稳定的误差动力学，使跟踪轨迹的误差达到任意精度。同时，自适应PID瓜控制器通过辨识输入信号的傅立叶系数来学习输入信号。Purwar等13超出了Chebyshev自适应神经元控制器，该控制器的设计主要考虑了机械臂执行器的约束，并估计系统负载变化、未知非线性LJ及带干扰的输入力矩等结构化或非结构化的不确定性。该方法设计的控制器避免了速度信号通过位置微分获得而容易掺入噪声的缺点，只依赖于关节位置信息，能够实现神经网络逼近与动态滤波器的融合。文献14主要针对系统

20、在具有结构不确定性和非结构不确定性时，提出一种模糊自适应控制方法，并对机械臂的轨迹跟踪控制进行实验。当机械臂的关节速度不可测时，引入速度观测器，设计了自适应输出反馈控制器。通过研究机械臂的动力学特性，并对不确定性项进行解稱，就能够降低模糊控制器模糊规则的数目，简化控制器。当机械臂的关节速度可测时，通过设计全状态模糊自适应反馈控制器，可保证系统闭环动力学稳定。国内的许多单位自从上世纪80年代开始，也开始重点研究机械臂的控制系统。例如，清华大学、浙江大学、沈阳自动化研究所及上海交通大学等学校或研究所在国家高新技术计划自动化领域智能机器人专题中做了很好的带头作用，且收获颇多15-16，促进了国内对机

21、械臂的研究。 在文献17中，王启明和汪劲松对二自由度的并联机器人操作臂进行了运动学和动力学建模，并进行仿真。在文献18中，北京工业大学的刘善增对平面二自由度并联机器人进行了动力学设计研究，但是并没有对并联机器人作控制研究。陈国栋等19，在对机器人的研究中，采用经过滤波器作用的位置误差信号作为反馈信号，并用参考速度来替代非线性部分输出端的实际速度信号，仿真结果中取得了满意的跟踪效果，该文献的缺点是该方法必须基于精确的动力学模型。目前国内已提出很多抑制抖振的方法20，例如，滑模控制通常与模糊控制、神经网络控制等方法相结合，来消除机械臂控制输入的抖振现象。新的滑模面及控制方式也被不断提出并应用到机械

22、臂轨迹跟踪控制领域。1.3 本文主要工作内容 本论文第二章主要就是构建二自由度机械臂动力学控制模型，首先详细分析二阶机械臂运动学解，定义各个目标变量，然后寻找输入机械臂驱动力矩矢量和输出机械臂转动矢量的数学约束关系。第三章主要就是介绍二自由度机械臂控制算法设计，详细介绍了控制和模糊控制的基本理论，比较二者优缺点，以及各自适宜的情况和约束条件。第四章主要就是叙述基于MATLAB/SIMULINK软件的案例分析,在Simulink仿真环境下搭建完整控制系统得到给定轨迹曲线、跟踪轨迹曲线、以及误差轨迹曲线。对仿真结果和误差来源进行分析，得出结论，并阐释模糊控制方法的有效性和可行性。 2 机械臂控制系

23、统概述 因为机械臂随着自由度个数的增大，控制系统的复杂程度加大，但是其基本原理类似，所以本文主要以二自由度机械臂为例阐释多自由度的基本原理，2.1 二自由度机械臂的动力学控制模型 机械臂的运动方式在运动空间上来分一般而言有两大类，即关节型和直角型。各个关节的的运动直接取决于它的运动坐标，把全部的关节变量设为一个关节矢量，全部的关节矢量组成的集合则为它的关节空间。通过控制所有关节的移动来控制机器人的移动便为关节空间运动模式。机械臂终端对象的具体地点和角度一般在直角坐标空间中表现出来，这种模式就是称为直角坐标运动模式，在这种运动模式中，机械臂用户规定的任务是由机械臂末端对象在直角坐标空间中的移动来

24、实现的。 就操作者而言，直角坐标空间更为人们接受，故而在直角坐标空间中进行对机械臂的操作。因此我们就要在关节坐标和直角坐标之间建立一一对应的数学约束关系。换言之，如知道机械臂每一个关节的坐标常数，就需要求解它的终端在直角坐标空间中的具体位置坐标，这个被叫做为运动学正解;反之，如知道它末端在直角坐标空间的坐标就需要求解各个运动关节的坐标参数，这个则被称为运动学反向解。 设为机械臂在关节坐标空间中的变量， 为它的终端对象在直角坐标空间中的具体位置坐标，那么它们两个之间的关系为: (2.1)上式是一个隐式方程，若能够从中求解出: (2.2)那么直角坐标变量由关节坐标变量来定量表达，就能够得到机械臂的

25、运动学正解。通常而言，可以从式(2.1)得到它的的惟一正解，得到的正解为: （2.3）然而一般情况下，我们不容易获得它的运动学反解，是因为它的反解通常就是多解，所以在现实情况下，通常运用几何机械臂的运动学解。2.2 二自由度机械臂运动学正解 已知:关节1连杆长度，关节的值为(如下图所示);关节2连杆长度，关节的值为(角度如下图所示)求解:记下图中关节连杆末端对象固定点的直角空间坐标:图2.1 机械臂运动学的正解 机械臂操作端的位置方程为: （2.4） （2.5）上述方程的Jacobian矩阵为机械臂的动力学方程为 （2.6）其中，为总的驱动力矩矢量，为转动角度矢量；为转动惯量矩阵，为Corio

26、lis离心转矩，为重力矢量。、的数学表达式如下：（2.7）（2.8）（2.9）其中定义状态变量（2.10）设（2.11）则机械臂模型的状态方程可以写成 （2.12）系统输出方程为（2.13）2.3 二自由度机械臂运动学中的反解已知:记关节1连杆长度为，关节2连杆长度为，关节连杆末端的点在平面坐标空间的坐标为： 求解:记关节值为(角度如下图所示)，关节值为(角度如下图所示)。图2.2 机械臂运动学的反解如上图所示，在不考虑奇异点的情况下，得到如下公式: （2.14） （2.15） （2.16） （2.17） （2.18） （2.19） (2.20) (2.21)求解可知运动学的反解计算公式: （

27、2.22）是用来计算的反正切值(单位为弧度)的数学函数。从得知的运动学反解上来看，可以获得是非线性系统。2.3.1 运动学反解的不唯一性图2.3 机械臂的两个反解它的运动学反解一般多解，会存在有好几组关节变量终端在用户要求的位置点。图2-3很好的反应二自由度机械臂会在工作空间中运动时有两组运动学反解这一情况。 综上所述，在实际操作中从反解中的多解问题找到一组最优解是一个重要问题。通常情形下可以用优化算法来处理这种多组反解问题。当设置此算法的优化准则时，可以选取的优化准则有两种情况: = 1 * GB3 * MERGEFORMAT 当没有障碍物的时候，就用“最短”原理。由于机械臂的动作是持续存在

28、的而非间断的，可以根据之前机械臂运动反解获得的关节坐标值，能够得到机械臂关节运动最短的解确定为反解，所以使之保持连续。 = 2 * GB3 * MERGEFORMAT 当有障碍物的时候，沿“最短”轨迹原则会发生碰撞，那么就综合选用机械臂的有障碍路径轨迹，算法等方法来得到反解。2.3.2 在运动学反解中出现的个别情形 当目标点位置在机械臂运动空间范围之外，就用下面的公式判断: （2.7）如果满足： （2.8）就能够判断特定地点在机械臂的运动空间范畴之外，换句话就是说运动学反解无解，式（2.8）为一无穷小正分数，譬如选取 （2.9） 有一个特殊情况就是目标位置正好落在机械臂工作空间边界上，在这种情

29、况下（奇异位置），机械臂的移动情况就变得差了，控制的轴移动也许会发生跳变的情况。这种情况下奇异情况的判别条件为: （2.10）图2.4 反解中的特殊情况根据以上可得到在特殊情况的反解为: （2.11）3. 控制算法设计3.1 PID的概述从还有提出参数整定概念起，把控制器的自动和手动整定的思想理念用在诸多科学技术之上。并且控制为目前最常用的方法，被用于很多反馈控制亦或是其不大的变形控制。调节器跟它的优化型在工业的控制中最普遍。迄今为止，百分之八十四的依旧是单纯的 调节器，然而优化型就包括在其中的就在百分之九十以上。控制器作为使用最广泛的控制器，为微分、比例、积分并联控制器。控制器的数学模型可以

30、用下式表示: （3.1）其中:一控制器的输出一控制器输入，即误差信号。一控制器的比例系数。一控制器的积分时间。一控制器的微分时间。在控制器中，其数学模型由微分（D）、比例（P）、积分（I）三部分组成。这三部分分别是: = 1 * GB3 * MERGEFORMAT 比例部分数学式表示如下: （3.2）控制器的功能随着偏差的出现而出现，并且让其偏差朝向减小的方向变动。控制功能的程度由比例系数决定。随着比例系数增大，那么过渡过程就会减短，伴随着控制结果的稳态误差也减小；然而愈大，其超调量愈大，产生振荡的可能性加大，致使动态性能变坏的劣势，更有甚者会令其闭环系统不稳定。为了达到过渡时间少和稳态误差小

31、的良好实验结果，比例系数的择取是一定要非常合适。 = 2 * GB3 * MERGEFORMAT 积分部分数学表达式表示如下式所示: (3.3)根据式（3.3）可知，只要存在误差，控制功能一直积累，输出控制量是很难去消除误差当存在误差的时候。可知积分部分的功能是可以消除系统的误差。但因为它具有滞后性，会使得积分控制功能很强将使系统超调不能够往变小的方向变化，其动态机能变弱，甚至会造成闭环系统不稳定的情况。对积分部分有着极大的控制能力，愈大积分功能愈弱。这种情况下对于变小系统超调有着极大的优势，过渡过程很难产生振荡。却会使得消除误差所需时间增长。当愈小积分功能愈强。这种情况下系统过渡过程中会产生

32、振荡，使得消除误差所需的时间减少。 = 3 * GB3 * MERGEFORMAT 微分部分数学表达式表示如下: （3.4） 微分部分能够有效掌控误差的变动趋向，加大其控制功能能使系统更快地反应，震荡不变大，系统的稳定性增强，其劣势就是降低了系统抵制外界扰动的功能。微分时间长短决定微分部分的功能强弱。愈大它抑制变化的能力愈强；否则，愈小它反抗变化的能力愈弱。在数字控制的计算机系统中，计算机控制算法程序可以达到计算机数字控制器的掌控。通常而言，这种控制系统就是一种采样数据系统。并且在处理数字信号的问题中，均需要用数值计算来无限逼近。因此，控制规律的实现，一定要数值逼近的方法。若只有很短的采样周期

33、，则利用积分被求和取代，差商取代微分，让 算法使其离散化。表述连续时间算法的微分方程，替换成表述离散时间 算法的差分方程式，便是数字位置型算式，即式（3.5）： （3.5）式中:一 采样周期时的输出一 采样周期时的误差一采样周期其中 （3.6） 即为 （3.7）其中为比例系数，为积分系数，为微分系数3.2 模糊PID控制在常规的二维模糊控制器中，其输入变量是偏差和输入变量的变化量。所以通常而言，就把这种控制器认为拥有比例和微分两种控制功能，但是缺乏积分控制功能。然而，线性控制理论的积分控制功能是抵消稳定偏差，可是动态运行反应缓慢；比例控制功能动态响应快速；然而高的稳态精度以及快速的动态响应可由

34、比例积分控制功能来获取。所以模糊控制器中增添了()控制策略，从而组成(或)复合型控制，除了让动静态性均能有可观的提高外，也有有动态响应的速度快、超调小、稳扰动偏差小的优点。确定参数是控制的重点部分，这种方法就是通过模糊控制来确定参数，即利用误差变化率和系统误差。在线修改参数并且运用模糊控制规则。实现思想就是找到各个参数与误差变化率和误差之间的联系，从实验之中一直检测误差变化率和误差。进行在线修改各个物理参数，从而可以符合在不同和时满足对控制参数的不同用户要求。因此可以让控制对象有良好的动性能、静态性能、计算量小，易于用单片机实现的多种优势等。其原理框图如图3.1所示：模糊化模糊推理de/dt常

35、规PID调节器控制对象 图3.1 模糊控制算法流程图3.3 二自由度运动路径规划 在得到机械臂的运动学解的情况下，当它向目标轨迹运动时，需要设计一下它的运动路径。这里有直角坐标空间中的和关节空间中的路径规划这两种路径规划算法。3.3.1 直角坐标空间中规划算法关节值是终极控制着机械臂终端的移动，要是可以设计关节空间中的轨迹，那么就能有效阻止发生雅可比矩阵的奇异所造成的速度不受控制的情况，还可以大大减少计算的时间。然而多数情况下，关节坐标空间跟直角坐标空间这两者非线性关系。因此能在关节空间中进行直接规划的就只能够是对路径没有要求的作业，像是连续弧焊的对运动路径要求较高的作业，就一定只能在直角坐标

36、空间中设计。之后便是将设计获得的直角坐标空间中的轨迹序列，利用所对应反解算法换算解得，如下图所示。 图3.2 路径规划控制流程图有必要的话在用运动学求反解得到的关节变量空间序列来进行关节坐标空间中的路径插补。通常而言，运动控制器在执行运动轴伺服控制时，会进而对关节指定变量作插补，插补速率曲线采用的方式有两种，分别是梯形图形方式、S形图形方式。 记在直角坐标空间中，二自由度机械臂终端对象路径空间曲线方程为: （3.8）上式中，记x,y,z分别表示机械臂在三维直角坐标空间中的位置坐标值，记t为时间。为方便实际当中的控制，通常会选择弧长参数表示的曲线表达式，则知道起点的初始值为的曲线函数为: （3.

37、9）上式中S表示为弧长参数，由积分公式: （3.10）得到，然后代入式(2.12)就可以得到式(2.13)所示曲线函数。 记为运动轨迹的更新时间，即每隔时间就会有一个插值点生成， 为轨迹期望的运动时间，那么所得轨迹插补序列的长度为: （3.11） 当弧长给出的速率移动曲线段，每个插补弧长的增量已知，就能够获得轨迹插补序列表达式: （3.12） 若在梯形速度曲线模式下（路径段是由减速、等速和加速构成），则使得加速度和减速度大小相等，加速和减速时间相同，如图2-6所示，取为加速和减速的时间。便能够得到的路径长度表达式为: （3.13）图3.3 梯形模式的路径规划时间点不同时，遵循式子（3.13）路

38、径的不同分段，将结果代入式(3.9),就能解出轨迹插补位置后序列的坐标值。 在解出轨迹插补位置序列的坐标值后，会由于轨迹更新周期短暂的原因在实际操作可能使用相邻位置序列点的差分近似来进行轨迹插补速度。3.3.2 直线插补和圆弧插补算法 在平面直角坐标系之中，二自由度机械臂只有的两维参数值。直线插补和圆弧插补这两种方法技巧在运动控制系统中采用最广泛，一些繁杂曲面可以由直线段和圆弧段近似逼近。本文会给出直线插补和圆弧插补技术在二自由度机械臂平面直角坐标内的一个简单运用。 = 1 * GB3 * MERGEFORMAT 直线插补算法 在平面二维直角坐标中，为轨迹校正时间周期， 为轨迹理想的的运动时间

39、，为起始点， 为指定点。 在等速度规则之下，每一次插补弧长的进给量为，直线插补序列的长度为，对于直线规划，等弧长进给等效于等的进给，每一次插补方向的变化量: (3.10) 直线位置插补序列为: (3.11) = 2 * GB3 * MERGEFORMAT 圆弧插补算法 如图2-7所示，需要在平面X-Y内作出一个从到、圆心角为的圆弧、r为半径、以为圆心。求圆弧插补位置序列。图3.4 圆弧插补算法记为起点，它所对应的圆心角为，当插值序列长度为n，每个插值圆心角的增加值为，则圆弧插值序列的方程式为: （3.12）3.4 模糊PID控制算法设计 控制器发展到现在已有五六十年的时间，由于很好理解，不需要

40、详细的系统模型等条件，并且仍然是使用最广泛。使用积分(I)，微分(D)和比例(P)通过线性结合来组成控制量对被控对象进行操控的方法，就称之为控制。当计算机开始用在控制部分时，拥有用系统软件的方法达到完成控制算法，和计算机的逻辑计算作用，从而让控制算法越发灵活适于用户需要，便是数字控制。假定值r(t)与输出反馈值C(t)的误差按积分(I)、比例(P)、微分(D)运算后，经过线性组合组成控制量，对控制对象进行操控。如图3.2所示： 图3.5 PID控制原理记给定值与现实中输出值组成控制误差公式为: (3.13)的控制规律为: （3.14）写成传递函数的形式: （3.15）控制器的校正情况的功能如下

41、: = 1 * GB3 * MERGEFORMAT 比例环节:按照比例地反映控制系统的误差信号，控制器的控制功能随误差的出现而出现，从而能够减小误差。 = 2 * GB3 * MERGEFORMAT 积分环节:用于抵消静差带来的影响，从而能够使得系统的准确度上升。积分时间常数的长短被积分功能的性能好坏决定，越大积分功能越弱，倒过来就越强。 = 3 * GB3 * MERGEFORMAT 微分环节:用来表示误差信号的变动，还会在误差信号变化很大时，在系统中添加有用的提前修正信号，用来使系统的响应速率大大变得快速，那么会使调节时间大大减少。 下面用典型二阶系统单位阶跃响应的误差曲线进行分析如下:

42、图3.6 二阶单位阶跃响应从误差曲线看出： = 1 * GB3 * MERGEFORMAT 当误差的值较大时,即误差的绝对值较大,不管误差的变化方向是怎样,应该让取值较大,从而来增加响应速度;但是为了防止由于瞬时过大,的取值会比较小;为了方便控制超调，使取值很小。 = 2 * GB3 * MERGEFORMAT 当误差的值为一般时，需要确保系统的响应速率以及超调的操控， 的值不增大，并且值应不减少，恰好的值是有必要的。 = 3 * GB3 * MERGEFORMAT 误差不大时，为了确保系统的稳定性好，可以变大, 的取值，并且的取值应和联系起来阻止发生振荡现象,。控制器的优点有：非常简单并且容

43、易理解、没有精确的系统模型约束。然而它在控制非线性，时变，藕合及参数和结构不知道的情况下，控制效果不好。若是控制器功能过于繁杂的话，也许会出现不管怎样调整参数都不能够做到我们想要的控制程度。另外，为了得到的值时，若是没有其他一些对应的辅助技术，通常是运用试凑法来做，那么我们必须进行大量的实验，直到拼凑出最优参数，这样不仅造成浪费而且耗费精力和时间。4 算例分析4.1 二自由度机械臂PID模糊控制器的建模4.1.1 模糊PID控制 模糊控制就是算法跟模糊控制理论二者相联合的新型控制理论。模拟控制系统控制方程式如下式(4.1)所示，让计算机进行控制，一定要将模拟数字化即控制离散化。因为计算机只能够

44、依照离散采样每个时刻的误差值知道控制量，却不会跟模拟控制器 会一直不断的输出一些控制量，所以式(3.4)中的微分(D)和积分(I)项便只可以以间接的方法计算准，唯有通过用取微元计算的数学方法来无限靠近。 (4.1) 如果为采样周期，用和式来替换积分，用增量替换微分，用离散采样时刻点描述连续时间，就能够得到以下近似变换: （4.2）由上可知,得到（4.3）: (4.3)式中为第个采样时刻的输出值;为第个采样时刻的系统的一个输出偏差，即控制器的一个输入值;为第个采样时刻的系统输出误差;为开始进行控制时的原始值。复频域中，传递函数为： (4.4)替换成绝对式数字控制器为: (4.5)其中有系统采用步

45、进电机等增长型操作机构，该系统就只要的是控制量的增大量，而非位置的正值。故此对上式进行改写和替换，因此有以下增量等量关式: (4.6) 增长式的计算方法，仅仅只要计算到现时之前三个时刻的误差即行，这会使大大削减控制算法计算过程中的工作量，最重要是这样的方式可以在一定限度内阻止控制器造成积分饱和的现象。4.1.2 PID模糊建模 模糊控制的系统结构图如下4.1所示。图4.1 模糊控制系统结构图在通常规模的基础上，y就是给定值的偏差变化率和偏差跟被控对象的反馈值，利用模糊推理，在线自整定值的大小。进而满足不同e和ec。若其参数有不一样用户规定的话，会让被控制对象拥有很好的静态（statics）性能

46、和动态(dynamic)性能。模糊控制的基本论域,即、的实际变动界限。对于模糊控制理论，输入变量跟输出变量被用模糊概念来理解，和即变量输入，即变量输出。模糊集合就是语言变量，它的值即为语言变量的值。用户的疑难就是唯一证实确保语言变量值，它就是模糊子集。语言变量的词集由语言变量值来形成，然而，、在基本论域内的一个现实值，被施加了模糊控制。我们需要把输入,转变成语言变量值。并且，该转变过程就叫做模糊化，还要取决于该语言变量一个从属度函数。4.1.3 PID模糊控制 由4.1图，来建模模糊PID控制器。因为系统受控时，对照不一样的,，将参数整定的规则一起总结归纳: = 1 * GB3 * MERGE

47、FORMAT 当愈大时，表示其误差的绝对值愈大，那么取较大值，来增加响应的迅速性;防止瞬时值太大，取较小的值;对积分给予一定的约束范围，一般取来避免出现较大的超调。 = 2 * GB3 * MERGEFORMAT 当一般数值时，由于取不大些从而使系统相应超调不大;那么在这样情形下，对造成系统输出结果扰动较大，所以取值很关键，要得当，因而的也要得当。 = 3 * GB3 * MERGEFORMAT 当较小时，、取一般大值使系统具有合适的不变性，与此同时，考虑抗干扰性能，适当地选取值避免系统在固定点附近泛起不稳定的情况。的取值与取值规律是反向变化的，一般而言为中等大小。4.2 设计模糊控制器规则以

48、及其仿真分析4.2.1 模糊控制器规则 模糊控制器设计的重点在于它的算法，通常来说有三个组成部门，即界说各个模糊子集，创设模糊控制器的控制规则及择取描写输入变量、输出变量的词集。描写输入变量、输出变量能够由较多的语句来表达，那么能够简易拟定控制规则，相反的是控制规则相应也繁杂和麻烦；要是择取表达的语句不多，就会让描写变量单一，致使控制器的工能变弱。通常而言是几个个词语，但也能够按照现实情形下的要求来择取三四个措辞变量。要尽可能减小稳态误差被控对象，使其稳定是提高模糊控制输出的目的有效方法。因此，采取负偏向大值，负偏向中值，负偏向小值，不变，正偏向小值，正篇向中值，正偏向大值来对应于控制器输入之

49、一的扰动：用英文字头缩写为：GN，MN，SN，CON，SP，MP，GP然后便是构造模糊子集，本质上等于是要模糊子集在函数曲线。构成了一个相应的模糊变量的模糊子集。从概念上来说，在浩繁从属函数图中，来描写人举行控制活动时的模糊理论最合适的是正态型模糊变量。然而工程的现实运作中，机械正态型散布的模糊变量的运算是极其迟钝和非常繁杂的，而三角型散布的模糊变量的运算过程简易、反应敏捷。所以控制系统中很多的控制器大都选择三角型分布，最后就是创建模糊控制器的控制规则。 选择输入语言变量为误差变化率和误差，模糊变量值取GN，MN，SN，CON，SP，MP，GP这几个模糊值，对应着负偏向大值，负偏向中值，负偏向

50、小值，不变，正偏向小值，正篇向中值，正偏向大值;选择输出语言变量为,，模糊变量值取GN，MN，SN，CON，SP，MP，GP这几个模糊值，建立,的模糊规则表如下表4-1、表4-2、表4-3。表4-1的模糊规则表GNMNSNCONSPMPGPGNGPGPMPMPSPCONCONMNGPGPMPSPSPCONSNSNMPMPMPSPCONSNSNCONMPMPSPCONSNMNMNSPSPSPCONSNSNMNMNMPSPCONSNMNMNMNGNGPCONCONMNMNMNGNGN 表4-2的模糊规则表GNMNSNCONSPMPGPGNGNGNMNMNSNCONCONMNGNGNMNSNSNCO

51、NCONSNGNMNSNSNCONSPSPCONMNMNSNCONSPMPMPSPMNSNCONSPSPMPGPMPCONCONSPSPMPGPGPGPCONCONSPMPMPGPGP 表4-3 的模糊规则表GNMNSNCONSPMPGPGNSPSNGNGNGNMNSPMNSPSNGNMNMNSNCONSNCONSNMNMNSNSNCONCONCONSNSNSNSNSNCONSPCONCONCONCONCONCONCONMPGPSNSPSPSPSPGPGPGPMPMPMPSPSPGP定义e和ec的论域：为各模糊子集的隶属度的值,按照各参数模糊控制模型和各模糊子集的从属度对应表,应用模糊规则设定

52、参数取值表,代入式（4.7） (4.7)其中是之前默认好的初始PID参数,为模糊控制器的这些输出值,控制系统在对模糊逻辑规则的对表和计算、结果的处理,从而达到对参数的在线更正。其工作流程如图4-2所示。图4.2 模糊在线校正参数流程4.2.2 PID参数的模糊整定 按照上文中对二自由度运动学解的分析和数学建模，已经清晰的知道机械臂从直角坐标到极坐标的对应关系，就能够架构一个基本的二自由度机械手臂的模糊控制算法模型。 （4.8）在Simulink仿真环境下搭建完整控制系统，如下4.3所示： 图4.3 Simulink仿真图选择期望输入信号为 （4.9）输入信号给定的理想输出轨迹线设定为长半轴为0

53、.7，短半轴为0.3，焦点在轴上的椭圆形轨迹。利用上面搭建的Simulink仿真图运行程序，可得到给定轨迹曲线、跟踪轨迹曲线、误差轨迹曲线。二自由度机械臂是双输入双输出系统，一定要成立两组模糊控制函数，来各自调节Ll,L2臂的参数。在MATLAB软件中编写相应的程序按表4-1、表4-2、表4-3建立PID模糊自整定变量调整系统。每次采选取样的间隔为，选取模糊PID控制螺旋曲线追踪。进行如下操作：(1)在第和第对跟踪的轨迹增添正误差。(2)在第和第对模糊控制器增添负干扰。(3)在第和第对系统输出增添负干扰。控制结果如图: 图4.4控制器的输出u 图4.5 的调整图4.6 Ki的调整 图4.7 K

54、d的调整 图4.8 轨迹跟踪曲线图 SEQ 图 * ARABIC 1.9 跟踪误差曲线4.3 仿真结果分析 通过以上图形的对比,我们观察到： （1）对于控制系统的输出而言，就只是单纯会被输出干扰所影响； （2）这三个外界的误差干扰对控制器的输出均有干扰,并且输出有累加效应； （3）均对第二个扰动无影响,轨迹跟踪算法与控制器的输出的扰动没有很大关系。 (4)第二个和第三个扰动即使其中一个是正干扰,另外一个是负干扰,但是的对这两个干扰的反映均是正的,而的反映均是负的。 （5）图4.8中青色粗线为期望轨迹，红色带方块虚线为机械臂实际运动轨迹；图4.9中红色实线为方向跟踪误差，蓝色点划线为方向跟踪误差

55、。由图4.8、图4.9的轨迹跟踪曲线和跟踪误差曲线可以看出，实际输出很接近理想输出，而且在响应速度上也很快。跟踪误差曲线的幅值很小（平稳运行阶段），能够满足性能指标要求。 按照以上的仿真结果可知，模糊控制不仅能够把控制系统中的各种扰动处理好，而且还能让控制系统以一种更加稳定的状态来运行下去。因此，应用模糊PID控制方法可以达到很好的控制效果。总结实际生活生产中，所面临的系统极少会是纯粹的线性系统，可以肯定地说，任何投入实际生产运行的系统都会或多或少地具有非线性因素。所谓的线性系统只是为了研究对象的控制问题所作的合理简化。因此，对非线性系统理论的了解和学习，有助于培养正确的认识观，同时掌握一些实

56、际有效的处理非线性问题的方法。通过对机械臂控制系统的全面研究与学习，讨论了经典PID控制的与模糊PID控制理论的差异，特别是对机械臂的控制情况，理论与原理进行了多方面的研究，得出了它在空间运动的轨迹表达式是一个非线性的函数，就只能用模糊控制理论的对其建模，研究以及控制，在MATLAB仿真软件的环境下，用PID模糊控制来研究此次非线性的多自由度的机械臂，更加深刻的区别了两种理论下的使用情况，一切从实际出发，理论联系实际，并将仿真与实践相结合，使得对控制的学习有一个更高的认识！致谢 衷心感谢赵熙临老师的耐心指导，还有赵老师实验室所有的师哥师姐们的耐心答疑，给了我很大的帮助。感谢我身边的朋友和同学尤

57、其是要感谢这么多年支持我的室友何晶晶，姚亮同学，不论在生活还是学习中都给了我非常大的鼓励和支持，向他们表达诚挚的谢意。其实我最应该感谢的是我的爸爸妈妈，从小到大他们就一直对我抱有殷切希望，一直在我身后给予我不仅仅是物质上更是精神上的支持，让我勇敢走到现在。参考文献1 L.A.Zadeh. Fuzzy SetsJ.Information and Control, 1965, 8。2窦振中，模糊逻辑控制技术及其应用。北京航空航天大学出版社，2001. 10。3丛爽、李泽湘，实用运动控制技术。电子工业出版社，2006.10。4美Saeed B. Niku编著，孙富春、朱纪洪、刘国栋等译。机器人学导论，电子工业出版社，2004年1月。5刘金馄，先进PID控制MATLAB仿真。电子工业出版社，2005年8月。6连瑞敬、林百福，机械手臂运动控制的自组织模糊控制器。夏北科技大学学报，第三十八之一期。7谢存禧 机器人技术及其应用M，北京:机械工业出版社，2012, 29-55.8Liu X J, Wang Q M. Kine