大学《概率论与数理统计》课件-第五章大数定律及中心极限定理

1、第五章 大数定律及中心极限定理5.1 大数定律5.2 中心极限定理1本章要解决的问题 大数定律中心极限定理21. 为何能以某事件发生的频率 作为该事件的概率的估计？2. 为何能以样本均值作为总体 期望的估计？3. 为何正态分布在概率论中占 有极其重要的地位？4. 大样本统计推断的理论基础 是什么？随机现象中平均结果的稳定性 大数定律的客观背景大量抛掷硬币正面出现频率字母使用频率生产过程中的废品率5.1 大数定律背景：1. 频率稳定性2. 大量测量结果算术平均值的稳定性 3随机现象的主要研究方法概率分布数字特征研究的问题：随机事件的概率切比雪夫不等式切比雪夫 (1821-1894)4回顾定理证明

2、切比雪夫不等式5切比雪夫不等式12可以在分布未知、只知道期望和方差的情况下，得到3方差的意义6例切比雪夫不等式对事件概率的估计效果不错.解注切比雪夫不等式的应用7例1 一台设备由10个独立工作的元件组成，每一元件在时间T发生故障的概率为0.05设在时间T发生故障的元件数为X. 试用切比雪夫不等式估计随机变量X与其数学期望的偏差：(1)小于2；(2)不小于2的概率由切比雪夫不等式，得89例2 设有一大批种子，其中良种占1/6. 试估计在任选的6000粒种子中，良种所占比例与1/6比较上下小于1%的概率.解：设X表示6000粒种子中的良种数，则由切比雪夫不等式，10例3 设每次试验中，事件A发生的

3、概率为0.75，试用切比雪夫不等式估计，n多大时，才能在n次独立重复试验中，事件A出现的频率在0.74 0.76之间的概率大于0.90？解：设X表示n次独立重复试验中事件A发生的次数，则性质：11依概率收敛分析切比雪夫大数定律12则可用切比雪夫不等式证切比雪夫大数定律13由切比雪夫不等式注：辛钦大数定理不要求随机变量的方差存在. 它为寻找随机变量的期望值提供了一条实际可行的途径.即14 即15注：伯努利大数定律的意义1. 伯努利大数定律以严格的数学形式表达了频率的稳定性.2. 伯努利大数定律提供了通过试验来确定事件概率的方法.在实际应用中，当试验次数很大时，往往用事件发生的频率来代替事件的概率

4、1617许多随机因素所产生的总影响某城市一小时内的耗电量是大量用户耗电量之和.物理实验的测量误差是许多可加的微小误差之和.关注实际背景185.2 中心极限定理注中心极限定理独立同分布19近似n充分大近似n充分大20恒等变形应用林德伯格-莱维定理例1 一盒同型号螺丝钉共100个，已知该型号的螺丝钉的重量是一个随机变量，期望值是100g，标准差是10g，求一盒螺丝钉的重量超过10.2kg的概率. 由中心极限定理21棣莫弗拉普拉斯中心极限定理近似 n充分大近似 n充分大二项分布的正态近似22根据中心极限定理：近似 n充分大23恒等变形应用棣莫弗-拉普拉斯定理例2 某车间有200台车床独立工作，设每台

5、车床的开工率为0.6，开工时耗电1千瓦，问供电所至少要供多少电才能以不小于99.9%的概率保证该车间不会因供电不足而影响生产？至少供电142千瓦，才能保证车间以不小于99.9%的概率正常工作. 由中心极限定理，2425例3 在一家保险公司里有10000个人参加寿命保险，每人每年付12元保险费. 在一年内一个人死亡的概率为0.6%，死亡时其家属可向保险公司领得1000元，问：(1)保险公司亏本的概率有多大？(2)其他条件不变，为使保险公司一年的利润不少于60000元的概率大于等于0.9，赔偿金至多可设为多少？26由中心极限定理(2) 设赔偿金为a元，则令由中心极限定理，上式等价于2728例4 对于一个学生而言，参加家长会的家长人数是一个随机变量. 设一个学生无家长、有1名家长、2名家长的概率分别为0.05、0.8、0.15. 若学校共有400名学生，各学生参加会议的家长人数相互独立，且