大学《概率论与数理统计》课件第五章 大数定律与中心极限定理

1、第五章 大数定律与中心极限定理 5.1 大数定律 5.2 中心极限定理学 习 目 标1.了解切比雪夫不等式.2.了解切比雪夫大数定律、伯努利大数定律和辛钦大数定律.3.掌握棣莫弗-拉普拉斯定理(二项分布以正态分布为极限分布)和列维-林德伯格定理(独立同分布随机变量序列的中心极限定理)的应用.5.1 大数定律 一、切比雪夫Chebyshev不等式二、几个常见的大数定律定义1依概率收敛于a ，记为设随机变量序列有:则称，如果存在常数 a ，使得对于任意注意 以概率收敛比高等数学中的普通意义下的收敛弱一些，它具有某种不确定性.或不等式成立，则称此式为切比雪夫不等式。存在，则对任意证明 设 X 为连续

2、性（离散型类似）其密度为设随机变量X 的数学期望命题 （切比雪夫(Chebyshev)不等式）则注：Chebyshev不等式对随机变量在以的一个邻域外取值的概率给出了一个上界为中心可见D(X) 越小，事件的概率越接近1。X 的值密集在其数学期望附近的概率越大. 据此进行的概率估计虽然精度不是很高（所得结果比较保守），但它的最大优点是这种估计在不知道分布的情况下也可进行，相对而言有较宽的适用面.例如：对未知分布X，取若例1 一电网有1万盏路灯，晚上每盏灯开的概率为0.7.求同时开的灯数在6800至7200之间的概率至少为多少?解 设X 为同时开的灯数.用切比雪夫不等式例2 已知正常男性成人血液中

3、，每一毫升白细胞数解 设每毫升白细胞数为X依题意，E(X )=7300, D(X ) =7002所求为由切比雪夫不等式估计每毫升白细胞数在 52009400 之间的概率.平均是7300，均方差是700， 利用切比雪夫不等式即每毫升白细胞数在5200-9400之间的概率不小于8/9. 大数定律的客观背景大量的随机现象中平均结果的稳定性 大量抛掷硬币正面出现频率字母使用频率生产过程中的废品率几个常见的大数定律定理1（切比雪夫大数定律）则即对任意的0，设 X1 , X2 , 是一列相互独立的随机变量序列，它们都有相同的数学期望证明由切比雪夫不等式得：所以其取值接近于其数学期望的概率接近于1.当n充分

4、大时，差不多不再是随机的了，注：定理2（辛钦大数定律）且具有相同的数学期望辛钦设随机变量序列X1 , X2 , 独立同分布，则辛钦大数定律中，随机变量的方差可以不存在，只要独立同分布就可以了.定理3（伯努利大数定律）P是事件A发生的概率，则对任给的 0，有或 设nA是n重伯努利试验中事件A发生的次数，即证明 引入随机变量试验中A发生，试验中A不发生，显然且又由于各次试验相互独立，所以独立同分布,由辛钦大数定律可得 其中切比雪夫大数定律说明了平均值具有稳定性；伯努利大数定律以严格的数学形式表达了频率稳定于概率的事实；而辛钦大数定律则说明在实际问题中“平均数法则”的合理性.大数定律的本质特征是：大

5、量独立随机变量在变化过程中，它们的算术平均值，在n充分大时将依概率收敛于一个确定的常数. 此外，大数定律是数理统计中参数估计的理论基础，为以样本特征去推断相应总体特征提供了理论依据. 例如要估计某地区的平均亩产量。要收割某些具有代表性的地块，例如n 块，计算其平均亩产量，则当n 较大时，可用它作为整个地区平均亩产量的一个估计. 大数定律为寻找随机变量的数学期望提供了一条实际可行的途径.例3 如何测量某一未知的物理量a ,使得误差较小？解 在相同的条件下测量n 次，其结果为，它们可看成是相互独立、相同分布的随机变量，并且有数学期望为a . 于是由辛钦大数定律可知，当时，有因此我们可取 n 次测量

6、值的算术平均值作为a 得近似值，即,当n充分大时误差很小.例4 如何估计一大批产品的次品率 p ？ 由伯努利大数定律可知，当 n 很大时，可取频率作为次品率 p 的估计值. 大数定律以严格的数学形式表达了随机现象最根本的性质之一：平均结果的稳定性5.2 中心极限定理 中心极限定理:研究在适当的条件下，独立随机变量部分和 的分布收敛于正态分布的问题.中心极限定理的客观背景在实际问题中，常常需要考虑许多随机因素所产生总影响.例如：炮弹射击的落点与目标的偏差，就受到许多随机因素的影响.如：对我们来说重要的是这些随机因素的总影响.瞄准时的误差；空气阻力所产生的误差；炮弹或炮身结构所引起的误差等等. 自

7、从高斯指出测量误差服从正态分布之后，人们发现，正态分布在自然界中极为常见. 观察表明，如果一个随机变量受到大量相互独立的因素共同影响，且没有一个因素起主导作用，那么这种随机变量往往服从或近似服从正态分布. 在概率论中，习惯于把和的分布收敛于正态分布这一类定理都叫做中心极限定理。我们只讨论几种简单情形.定理1（独立同分布的中心极限定理）且具有相同的期望和方差则对任意实数x,有设 为一列独立同分布的随机变量，即，或例1 根据以往经验，某种电器元件的寿命服从均值为100小时的指数分布. 现随机地取16只，设它们的寿命是相互独立的. 求这16只元件的寿命的总和大于1920小时的概率.由题给条件知，诸X

8、i 独立，16只元件的寿命的总和为解 设第i 只元件的寿命为Xi , i=1,2, ,16E( Xi ) =100, D( Xi ) =10000由于 E(Y )=1600,D(Y )=160000由中心极限定理,1-例2 某人要测量甲、乙两地之间的距离.限于测量工具，分成 1200 段独立测量.每段测量误差（单位厘米）服从于(-0.5, 0.5 ) 上的均匀分布. 求总距离误差的绝对值超过20厘米的概率.解 设第k 段的测量误差为且是独立同分布的随机变量. 且累计误差即总距离误差为由定理1可得下面介绍定理1 的特殊情况.定理2（棣莫佛-拉普拉斯定理（De Moivre-Laplace）设随机

9、变量 服从参数为的二项分布则对任意的x ，有即或所以其中相互独立，且都服从（0-1）分布。由独立同分布的中心极限定理可得证 因为推论：设随机变量当n充分大时有：这个公式给出了n 较大时二项分布的概率计算方法.例3 报童沿街向行人兜售报纸，假设每位行人买报的概率为0.2,且他们是否买报是相互独立的.求报童向100位行人兜售之后，卖掉1530份报纸的概率.解 设报童卖掉报纸的份数为X ，例5 某单位有200台电话分机，每台分机有5%的时间要使用外线通话。假定每台分机是否使用外线是相互独立的，问该单位总机要安装多少条外线，才能以90%以上的概率保证分机用外线时不等待？解 设有X 部分机同时使用外线，则有设有N 条外线.由题意有由德莫佛-拉普拉斯定理得其中故 N 应满足条件线.例7 利用 (1) 切比雪夫不等式(2) 中心极限定理分别确定投掷一枚均匀硬币的次数，使得出现“正面向上”的频率在0.4到0.6之间的概率不小于0.9.解设 X 表示正面出