新课标2023版高考数学一轮总复习课时质量评价52定点定值探索性问题

1、PAGE PAGE 8课时质量评价(五十二)A组全考点巩固练1椭圆eq f(x2,a2)eq f(y2,b2)1(ab0)的离心率eq f(r(3),2)，则双曲线eq f(x2,a2)eq f(y2,b2)1的离心率为()A2 Beq r(3)Ceq r(2) Deq f(r(5),2)D解析：椭圆离心率e1eq f(c,a)eq f(r(3),2)，所以eeq oal(2,1)1eq f(b2,a2)eq f(3,4)，即eq f(b2,a2)eq f(1,4)，所以双曲线的离心率eeq f(c,a)eq r(1f(b2,a2)eq f(r(5),2)故选D2已知AB是过抛物线y24x焦点

2、F的弦，O是原点，则eq o(OA,sup7()eq o(OB,sup7()()A2 B4 C3 D3D解析：设Aeq blc(rc)(avs4alco1(f(yoal(2,1),4)，y1)，Beq blc(rc)(avs4alco1(f(yoal(2,2),4)，y2)，故eq o(OA,sup7()eq o(OB,sup7()eq f(yoal(2,1)yoal(2,2),16)y1y2易知直线斜率不为0，设AB：xmy1联立方程eq blcrc (avs4alco1(xmy1，,y24x，)得到y24my40，故y1y24，故eq o(OA,sup7()eq o(OB,sup7()eq

3、 f(yoal(2,1)yoal(2,2),16)y1y23故选D3直线l与抛物线C：y22x交于A，B两点，O为坐标原点，若直线OA，OB的斜率分别为k1，k2，且满足k1k2eq f(2,3)，则直线l过定点()A(3,0) B(0，3)C(3,0) D(0,3)A解析：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，因为k1k2eq f(2,3)，所以eq f(y1,x1)eq f(y2,x2)eq f(2,3)又yeq oal(2,1)2x1，yeq oal(2,2)2x2，所以y1y26将直线l：xmyb代入抛物线C：y22x得y22my2b0，所以y1y22b6，得b3，即直线l的方程为xm

4、y3，所以直线l过定点(3,0)4已知直线l过抛物线C：x26y的焦点F，交C于A，B两点，交C的准线于点P，若eq o(AF,sup7()eq o(FP,sup7()，则|AB|()A8 B9 C11 D16A解析：过A作准线的垂线，垂足为H(图略)，则|AF|AH|又eq o(AF,sup7()eq o(FP,sup7()，所以|AH|eq f(1,2)|AP|，所以kAPeq f(r(3),3)又f eq blc(rc)(avs4alco1(0，f(3,2)，所以AB的方程为yeq f(r(3),3)xeq f(3,2)由eq blcrc (avs4alco1(yf(r(3),3)xf(

5、3,2)，,x26y，)得y25yeq f(9,4)0，所以yAyB5，所以|AB|yAyBp538故选A5已知双曲线C：eq f(x2,a2)eq f(y2,b2)1(a0，b0)的右顶点为P，任意一条平行于x轴的直线交C于A，B两点，总有PAPB，则双曲线C的离心率为()Aeq r(2) Beq r(3) Ceq f(r(6),2) Deq f(2r(3),3)A解析：设A(x0，y0)，B(x0，y0)，则yeq oal(2,0)b2eq blc(rc)(avs4alco1(f(xoal(2,0),a2)1)又P(a,0)，eq o(PA,sup7()(x0a，y0)，eq o(PB,s

6、up7()(x0a，y0)由已知PAPB，则eq o(PA,sup7()eq o(PB,sup7()xeq oal(2,0)a2yeq oal(2,0)0，即(a2b2)eq blc(rc)(avs4alco1(f(xoal(2,0),a2)1)0，对于x0a或x0a恒成立，故a2b2，即ab，所以eeq r(1f(b2,a2)eq r(2)故选A6(多选题)(2022青岛调研)在平面直角坐标系xOy中，动点P与两个定点F1(eq r(3)，0)和F2(eq r(3)，0)连线的斜率之积等于eq f(1,3)，记点P的轨迹为曲线E，直线l：yk(x2)与E交于A，B两点，则下列结论中正确的为(

7、)A曲线E的方程为eq f(x2,3)y21(xeq r(3)B曲线E的离心率为eq r(3)C曲线E的渐近线与圆(x2)2y21相切D满足|AB|2eq r(3)的直线l仅有1条AC解析：设点P(x，y)，由已知得eq f(y,xr(3)eq f(y,xr(3)eq f(1,3)，整理得eq f(x2,3)y21，所以点P的轨迹即曲线E的方程为eq f(x2,3)y21(xeq r(3)，故A正确；又离心率eeq f(2,r(3)eq f(2r(3),3)，故B错误；圆(x2)2y21的圆心(2,0)到曲线E的渐近线yeq f(r(3),3)x的距离为deq f(2,r(12(r(3)2)1

8、，又圆(x2)2y21的半径为1，故C正确；因为(2,0)为双曲线eq f(x2,3)y21的右焦点，且x2时，yeq f(r(3),3)，所以过右焦点的双曲线最短的弦(通径)为eq f(2r(3),3)，又两顶点间距离为2eq r(3)，所以满足|AB|2eq r(3)的直线有3条，故D错误故选AC7已知双曲线eq f(x2,a2)eq f(y2,b2)1(a0，b0)的左、右顶点分别为A，B，点P是双曲线上一点若PAB为等腰三角形，PAB120，则双曲线的离心率为_eq r(2)解析：如图所示，过点P作PDx轴，垂足为D因为PAB为等腰三角形，所以|PA|AB|2a，又因为PAB120，所

9、以PAD60|PD|PA|sin 60eq r(3)a，|AD|PA|cos 60a，故P(2a，eq r(3)a)因为点P(2a，eq r(3)a)在双曲线eq f(x2,a2)eq f(y2,b2)1上，所以eq f(4a2,a2)eq f(3a2,b2)1，即eq f(a2,b2)1eeq r(f(c2,a2)eq r(f(a2b2,a2)eq r(1f(b2,a2)eq r(2)8已知双曲线eq f(x2,a2)eq f(y2,b2)1(a0，b0)的离心率e2，过双曲线上一点M作直线MA，MB交双曲线于A，B两点，且斜率分别为k1，k2若直线AB过原点，则k1k2的值为_3解析：由题

10、意知，eeq f(c,a)eq r(1f(b2,a2)2b23a2，则双曲线方程可化为3x2y23a2设A(m，n)，M(x，y)(xm)，则B(m，n)，k1k2eq f(yn,xm)eq f(yn,xm)eq f(y2n2,x2m2)eq f(3x23a23m23a2,x2m2)39(2021河北唐山质检)已知椭圆E：eq f(x2,a2)eq f(y2,b2)1(ab0)的离心率为eq f(r(6),3)，直线l：xty1交E于A，B两点当t0时，|AB|eq f(2r(6),3)(1)求椭圆E的方程；(2)设A在直线x3上的射影为D，证明：直线BD过定点，并求定点坐标(1)解：由题意得

11、e2eq f(c2,a2)eq f(a2b2,a2)eq f(2,3)，整理得a23b2，由t0时，|AB|eq f(2r(6),3)，得eq f(1,a2)eq f(2,3b2)1，因此aeq r(3)，b1故椭圆E的方程是eq f(x2,3)y21(2)证明：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则D(3，y1)，将xty1代入eq f(x2,3)y21得(t23)y22ty20，y1y2eq f(2t,t23)，y1y2eq f(2,t23)，从而ty1y2y1y2直线BD：yeq f(y2y1,x23)(x3)y1，设直线BD与x轴的交点为(x0,0)，则eq f(y2y1,x23)(

12、x03)y10，所以x0eq f(y1(3x2),y2y1)3eq f(y1(2ty2),y2y1)3eq f(2y1ty1y2,y2y1)3，将式代入上式可得x02，故直线BD过定点(2,0)B组新高考培优练10已知椭圆和双曲线有共同的焦点F1，F2，P是它们的一个交点，且F1PF2eq f(2,3)，记椭圆和双曲线的离心率分别为e1，e2，则eq f(3,eoal(2,1)eq f(1,eoal(2,2)()A4 B2eq r(3) C2 D3A解析：设椭圆的长半轴长为a1，双曲线的实半轴长为a2，F1，F2分别为左、右焦点，不妨设点P在第一象限，根据椭圆和双曲线的定义，得|PF1|PF2

13、|2a1，|PF1|PF2|2a2，所以|PF1|a1a2，|PF2|a1a2又|F1F2|2c，F1PF2eq f(2,3)，所以在F1PF2中，|F1F2|2|PF1|2|PF2|22|PF1|PF2|cosF1PF2，即4c2(a1a2)2(a1a2)22(a1a2)(a1a2)cos eq f(2,3)，化简得3aeq oal(2,1)aeq oal(2,2)4c2，两边同除以c2，得eq f(3,eoal(2,1)eq f(1,eoal(2,2)4故选A11已知直线xy10与双曲线eq f(x2,a)eq f(y2,b)1(ab0)相交于P，Q两点，且OPOQ(O为坐标原点)，则eq

14、 f(1,a)eq f(1,b)()A1 Beq r(2) C2 Deq r(5)C解析：设P(x1，y1)，Q(x2，y2)联立方程eq blcrc (avs4alco1(xy10，,f(x2,a)f(y2,b)1，)整理得(ab)x22axaab0，所以x1x2eq f(2a,ab)，x1x2eq f(aab,ab)，y1y2(x11)(x21)x1x2(x1x2)1eq f(bab,ab)由OPOQ，得eq o(OP,sup7()eq o(OQ,sup7()0，得x1x2y1y20，所以eq f(aab,ab)eq f(bab,ab)0，即eq f(2ab,ab)1，则eq f(ab,a

15、b)eq f(1,2)，所以eq f(1,a)eq f(1,b)eq f(ba,ab)2故选C12已知F为椭圆C：eq f(x2,25)eq f(y2,16)1的左焦点，O为坐标原点，点P在椭圆C上且位于x轴上方，点A(3,4)若直线OA平分线段PF，则PAF的大小为()A60 B90C120 D无法确定B解析：设椭圆的上顶点为B(0,4)，因为A(3,4)，F(3,0)故AFx轴，ABy轴则四边形ABOF为矩形，所以当P在点B处时满足直线OA平分线段PF故PAFBAF9013已知椭圆C：eq f(x2,a2)eq f(y2,b2)1(ab0)的左、右焦点分别为F1，F2，点A，B分别为椭圆的

16、上、下顶点，直线AF1与椭圆C的另一个交点为E若F1AF260，则直线BE的斜率为_eq f(r(3),4)解析：由F1AF260，得a2c，beq r(a2c2)eq r(3)c设E(m，n)，则有eq f(m2,a2)eq f(n2,b2)1，则eq f(n2b2,m2)eq f(b2,a2)因为A(0，b)，B(0，b)，所以kEAkEBeq f(nb,m)eq f(nb,m)eq f(n2b2,m2)eq f(b2,a2)eq f(3,4)又kEAkAF1eq f(b,c)eq r(3)，所以kEBeq f(r(3),4)14直线l与抛物线y24x交于不同两点A，B，其中A(x1，y1

17、)，B(x2，y2)若y1y236，则直线l恒过点的坐标是_(9,0)解析：设直线l的方程为xmyn，则由eq blcrc (avs4alco1(xmyn，,y24x，)得y24my4n0，所以eq blcrc (avs4alco1(y1y24m，,y1y24n.)又y1y236，所以4n36，所以n9，所以直线l的方程为xmy9，恒过点(9,0)15已知椭圆C的方程为eq f(x2,4)eq f(y2,2)1，A是椭圆上的一点，且A在第一象限内，过A且斜率等于1的直线与椭圆C交于另一点B，点A关于原点的对称点为D(1)证明：直线BD的斜率为定值；(2)求ABD面积的最大值(1)证明：设D(x

18、1，y1)，B(x2，y2)，则A(x1，y1)，直线BD的斜率keq f(y2y1,x2x1)，由eq blcrc (avs4alco1(f(xoal(2,1),4)f(yoal(2,1),2)1，,f(xoal(2,2),4)f(yoal(2,2),2)1，)两式相减得eq f(y2y1,x2x1)eq f(1,2)eq f(x1x2,y1y2)因为kABeq f(y1y2,x1x2)1，所以keq f(y2y1,x2x1)eq f(1,2)，故直线BD的斜率为定值eq f(1,2)(2)解：连接OB(图略)，因为A，D关于原点对称，所以SABD2SOBD，由(1)可知BD的斜率keq f

19、(1,2)，设BD的方程为yeq f(1,2)xt因为D在第三象限，所以eq r(2)t1且t0，O到BD的距离deq f(|t|,r(1f(1,4)eq f(2|t|,r(5)由eq blcrc (avs4alco1(yf(1,2)xt，,f(x2,4)f(y2,2)1，)整理得3x24tx4t280，(4t)243(4t28)0(eq r(2)t1且t0)，所以x1x2eq f(4t,3)，x1x2eq f(4(t22),3)，所以SABD2SOBD2eq f(1,2)|BD|deq f(r(5),2)eq r(x1x2)24x1x2)eq f(2|t|,r(5)|t|eq r(x1x2)24x1x2)|t|eq f(r(9632t2),3)eq f(4r(2),3)eq r(t2(3t2)2eq r(2)所以当且仅当teq f(r(6),2)时，SABD取得最大值2eq r(2)16已知曲线C1：x2y2r2(r0)和C2：eq f(x2,a2)eq f(y2,b2)1(ab0)都过点P(0，2)，且曲线C2的离心率为eq f(r(3),2)(1)求曲线C1和曲线C2的方程；(2)设点A，B分别在曲线C1，C2上，PA，PB的