借助几何直观 挖掘数学本质

1、借助几何直观 挖掘数学本质今天要探讨的主题是借助几何直观，挖掘数学的本质。几何直观是指利用图形描述和分析问题，它可以把复杂的数学问题变得简明、形象，帮助学生直观地理解数学,有助于学生探索解决问题的思路,在整个数学学习过程中发挥着重要作用。无论是数学概念、法则的学习,还是数学问题的解决,教师都可以借助几何直观发展学生的数学能力。1.借助几何直观发展概念表征能力。信息在人脑中有多种表征方式，而形象性的表征方式能有效促进学生对数学概念的理解。几何直观是一种特殊的、数学的直观,借助几何直观进行概念学习，是学生学习数学的有效途径。例如:教学苏教版二下认识千以内的数)中“认识1000”时，教师一般引导学生

2、认识10个1是10,10个10是100,10个100是1000，但是这样抽象的表述无法让第一学段的学生认识到1000究竟有多大。在教学中，教师应把教学重点放在1000的结构上，可以让学生通过数方格图。在脑中经历10个1是10,10个10是100,10个100是1000的过程。当学生头脑中形成了每层是100个小正方体，10层是1000个小正方体的形象时,让学生通过计数器表示出1000,最后学习如何书写“1000”这个数。小学数学内容中，有相当部分的内容是计算问题，通常注重算法多样化，对算理重视不够。算理就是计算方法的道理，因此在教学时，应以更直观的方法指导学生理解算理，在理解算理的基础上掌握计算

3、方法，正所谓“知其然、知其所以然”。如两位数乘两位数(不进位)教学片段。 首先，借助点子图研究算法。教师出示点子图，在点子图上分一分、算一算，利用它再次寻找计算的道理。其次，学生用点子图汇报解释问题。出现以下情况：1272、1462、1443、1426、1210+124、125+125+122。最后，教师帮助学生梳理方法: 1272、1462、1443、1426都是把12或者14分成了若干个份之后进行计算。1210+124和125+125+122，分别求几个几(份总关系),最后把积相加(整体部分关系)。既有份总关系，又有整体部分关系。不论哪种方式都是先分再合。分的目的就是将大的分成小的，复杂的

4、变成简单的，新知识转化为旧知识来解答，实际上就是把两位数乘两位数转化成两位数乘一位数的乘法。与此同时，还可以多种算法与竖式建立联系，进一步理解算理。如横式与竖式建立联系。请学生思考: 1272、1462、1443、1426、1210+124和125+125+122谁与竖式的计算方法一样？找到答案:1210+124和竖式有关系，竖式中第一个积是124，第二个积是1210，把两个积相加就是168。结合点子图说一说整式计算的每一步依据。教师提问：在进行竖式计算时，用到四句口诀的结果，这四句口诀在图中能找到吗? 学生带着问题在点子图中找答案。(学生边说，课件边演示)学生在图中找到每步计算的依据。每排有

5、2个点，有这样的4排，就是24=8；每行有10个，有这样的4行，就是10 4-40；每行有2个，有这样的10行，就是210=20；每行有10个，有这样的10行就是1010=100, 把他们相加就是8+40+100+20=168。回顾刚才学习的过程，虽然10分钟就认同了计算的结果，但由于大家不满足于只找到计算的结果，而是不断的追问为什么?利用点子图通过多种计算的方式，不仅验证了结果的正确性，还使学生找到了计算方法背后的道理。2.借助几何直观,发展问题描述能力。对小学生而言，以文字形式表述问题比较抽象。如果能把抽象的问题以直观图示的方式表示出来，把静态的文字转化为动态的图画,学生将易于发现条件与问

6、题之间的关系。在教学中,教师可以引导学生合理运用画图策略，启发学生通过画几何图形来描述问题。如苏教版三上有这样一道思维拓展题:有一袋糖果,小红吃了这袋糖果的一半多1颗，小明吃了剩下糖果的一半多1颗,小强吃了剩下的8颗糖果,请问这袋糖果原来有多少颗?在解决这个问题时，如果不使用几何直观，学生很难形成清晰的表象与解题思路。教师可以引导学生通过画图,逐步还原题目中的条件,这将有助于学生快速地找到问题的正确答案。几何直观在小学数学阶段应用很广泛，如使用线段图表示实际问题的数量关系，使用韦恩图。几何直观在小学数学阶段应用很广泛，如使用线段图表示实际问题的数量关系，使用韦恩图（集合圈）表示长方形与正方形的

7、关系，使用矩形图求面积等等。3.借助几何直观,发展分析推理能力。直观推理是数学直观的精髓。在教学中,教师应鼓励学生借助几何图形进行比较、分析和想象让他们进行直观推理，进而探究出数学对象的结构和关系，建构数学结论。为了便于理解,学生可以在纸上画出相关图画和图表,将复杂的数学问题变形象，形成解决问题的思路。如苏教版六下有这样一道题：将一个底面积为9平方厘米，高为6厘米的圆柱体钢块熔铸成一个圆锥体。如果圆锥体和圆柱体的底面积相等，那么圆锥体的高是多少厘米?其实，在等底等高的情况下，圆柱的体积是圆锥体积的三倍。这道题的目的是考查学生能否活学活用知识，虽然难度不大，但是有相当多的学生并不理解此时圆柱与圆

8、锥的高之间的关系，不能理解为什么圆锥体的高应当是18厘米。教师可以引导学生通过画图解决问题。对于正处于从形象思维向抽象逻辑思维过渡的小学生来讲，借助几何图形是比较有效的解决问题的策略。图像直观、形象、概括性强，有利于学生思考，如果学生能将某个问题转化成图像，就整体把握了这一问题。通过尝试画出草图，问题也就水到渠成地解决了。4.避免几何直观的局限性。借助几何直观可以帮助学生深入理解知识内涵，但在具体的运用中，应及时帮助学生从具体形象上升到抽象的数学概念,实现形象的剥离和认识的飞跃。例如:教学三角形、梯形、平行四边形和圆形等图形时,教师往往会让学生用硬纸板剪出这些图形。在这些直观形象的图形的暗示下

9、,学生容易形成错误的认识，三角形就是三角形状这样的“平面”，平行四边形就是平行四边形状这样的“平面”，圆形就是一个圆面。在教学中，教师应及时抽象,将它们逐步过渡到抽象的几何图形。例如:在教学苏教版四下认识三角形时，教师可以先出示三角形实物,然后出示三条线段围成的图形，最终抽象出三角形的概念内涵。在发展学生直观思维的同时，教师应引导学生辩证地看待几何直观这一学习策略，避免将其“神圣化。如解决下面这一问题时，学生将体验到几何直观的局限性:有一个边长为8厘米的正方形纸片,它的面积是64平方厘米。现在把这张纸片按图5所示剪开，把剪出的4个小块按图6所示重新拼合，就得到了一个长为13厘米、宽为5厘米的长

10、方形，而这个长方形的面积是65平方厘米，比之前多出了1平方厘米，这是怎么回事?学生仅靠几何直观无法找出答案。5.解决问题中的直观画图，不仅让学生思维外显，而且让教师了解学生的思维水平，为学生间的相互交流提供了有力的支撑：画图在具体形象和抽象数量关系之间架起了桥梁。鼓励学生画图分析问题和解决问题，发展学生的画图意识。如小明和小萍同时从家出发，相对而行，小明每分钟走70米，小萍每分钟走65米，经过4分钟，他们在学校相遇。他们两家相距多少米?学生初学相遇问题时，初次尝试画线段图来理解题意，分析数量关系。分析：用两点表示小明和小萍的家，用一条线段表示两家的距离，用小红旗所在的位置表示学校；用箭头表示他们行走的方向；把小明的路程平均分成几份呢？每份表示什么呢？把小萍走的路程平均分成4份，表示4分钟，每份是65米，求两家相距多少米?在线段图中表示出来。学生借助线段图直观地找到解决相遇问题的两种方法。方法一：小明的路程+小萍的路程=