量子力学第二版第六章散射习题答案周世勋

1、 第六章散射U(r)=1粒子受到势能为r2的场的散射，求S分波的微分散射截面。解为了应用分波法，求微分散射截面，首先必须找出相角位移。注意到第l个分波的相角位移51是表示在辏力场中的矢径波函数Ri和在没有散射势时的矢径波函数ji在r时的位相差。因此要找出相角位移，必须从矢径的波动方程出发。矢径的波动方程是:1dr2drdR)r2卜dr丿其中Ri是波函数的径向部分，而V(r)=譽U(r)，k2=薯ER=4令1r，不难把矢径波动方程化为x+k2-i,再作变换X1=刁(厂)，得八r)+1f(r)+r1e+2丿r2f(r)=0这是一个贝塞尔方程，它的解是f(r)=AJ(kr)+BN(kr)pp其中注意

2、到N(kr)在rT0时发散，因而当rT0时波函数N=&TgJr，不符合波函数的标准条件。所以必须有B=0R=A丄J(kr)1vrp现在考虑波函数Rl在r处的渐近行为，以便和jl在r时的渐近行为比较，而求得相角位移51，由于:TOC o 1-5 h zR(rta)t1sin(kr兀+)=sin(kr兀+5)r24r21QTIt15=p+1=|1+12422C当51很小时，即a较小时，把上式展开，略去高次项得到51=-又因e2i511=2i52il1=0注意到2il1=0才(21+1)-i兀一P(cose)21+1丿r12一2rrcose1212vr2+r21艺r11=0丄艺rJ21=0（、r卡（

3、丿（、r1p(cose)1r2丿1p(cose)1如果取单位半径的球面上的两点来看=乞p(cose)=P2(1cose)1=012sin2微分散射截面为的场的散射，若E0，求散射截面。f(e如晋蛊样將csc22de2由此可见，粒子能量E愈小，贝时较小的波对微分散射截面的贡献愈大；势能常妒愈大,微分散射截面也愈大。U,当raJ解慢速粒子的德布罗意波长很长，所以只需要考虑S分波。1(1+1)在ra处，方程为k2二2卩E其中在ra的情况下，只故虑S分波，即/=0的情况，上面两个方程变为x+k2x=000 x-k2x=000其解分别为当ra时,x=Bsin(kr+6)00当r1当rt0A=0 x=As

4、hkr(ra)0在r=a处，波函数R0及其微商必须连续，因此得出Ashka=Bsin(ka+5)0AABBkchkashka=kcot(ka+5)sin(ka+5)aa2a用前式除后式可得kcothka=kcot(ka+5)0ktghka=tg(ka+5)即k050二tg-1(k,)tghkakaIk丿因此S分波的辐射截面是Q=竺sin25=竺sin2tg0k20k2-1tghkaka丿当速度较小时，kT0，可以近似地认为这时有tghka=tghk0a5=Ltghka-ka0k00/tghka.1,ka/0假如U0，相当于在受到球形无限深势阱散射的情况，这时由于/tghka1、ka)0Q=4兀

5、a20(tghka)2tg方ka”+120ka00k2a203.只考虑S分波,求慢速粒子受到势能U(r)=r4的场散射时的散射截面。aR二一解当只考虑1=0，即S分波时，令r，则x满足的方程是:x-丝丄=0h2r4为了解此方程，作如下代换，令x(r)=rf(r)，由于iiX=：rf(r)+-f(r)2弋rX=rfr)+-f(r)-r-32可将原方程化为2卩D1十1方2r724r32丿为了化简方程，再作变换，令注意到Df=DfDg=Df.1=.Df力gDrDgDrDg力r2DgD2f=DDf舟g2、Dg(DgJ2pa丿Dr2方程可以化为D2f,1Df十Dg2gDgDg=.方D2f_.戸方DfDg

6、I十2lgDrv2paDg22paDgDrDf方DglJ2叫丿这是2阶的贝塞尔方程，它的解是/(R)二H12式中H表示第一类汉克尔函数，按定义为H(1)(g)=-psinp-时,J(g)2pr(p十1)H化)12f3r当rT8g-sm2x=Jrf(r)=yjrHi当r很大时,X=常数另一方面、丄22r2-2rfJ2卩x、hr丿、丄fh2、4114、2四丿r(h2丿h2丿R=凹=常数r=常数TR_C血(kr一)+C1kr:,cos(kr-0)_常数sin(kr-5)2当kr1时其中_C2k_1散射截面上述解的条件是1g_唾11kr1,即hr百度文库-让每个人平等地提升自我2 巫r1亦即要求hk4

7、.用玻恩近似法求粒子在势能U(r)=Uoe-a2r2场中散射时的散射截面。解按玻恩近似法计算微分散射截面的公式f(0)=-fgrsinkre-ar2dr而Kh20见教材(55-23)式K2二4k2sin2-其中2，g为入射粒子方向和散射粒子方向之间的夹角。在本题中U(r)=Ue-a2r2of(0)=-2PUofgrsinKre-ar2dr=iKh20gr(e-a2r2+iKre-a2r2-iKr)dr0=叱e-蔦fgre2Kh20dK-r-2a22dr-叱e-蔦fgre-a2Kh20-LK-r-2a22drre-a2注意到0iKr-2a2drJ-a2eiKr-2a22dr+竺fge-a22a2

8、0iKr2a2iK历2a22a2a24a3=fgxe-a2x2dx+1=_20-re0dr=-fiK)r+2a2丿-a21r+eIiK2a2dr-竺e-a21r+盂2a202dr1iK沅4a3=+2a2pU、.沉占0e4a22h2a3ipU-KLiK、兀/(g)二oe4a2-Kh22a3gK2=4K2sin2q(0)=f(0)|2=:;:6e-2a2百度文库-让每个人平等地提升自我 rb场中散射的微分散射截面,b=式中Ze2解由势能U（厂）的形状容易看出，计算f（）时只需计算由0a的积分即可。(、ze2rrsinKrdrIrb丿=21Jaze2sinKrdr+21Jar2sinKrdrKh20

9、Kh2b0a2|+a(*cosKrr2JacosKadr0K2h2b00化丄cosKrKh2K=KE(coska-1)+爲2a2f-a2cosKa+sinKa-JasinKrdrkk0=-止(1-cosKa)-王K2h2K2h2bq(e)=f()卩=4|!2K4h4ze2(1-cosKa)+b其中K=2ksin2a2cosKa-sinKa+-(1-cosKa)KK2a2cosKa-sinKa+-(1-cosKa)KK2r_6用玻恩近似法求在势能U（r）=-Uoea（a0）场中散射时的微分散射截面，并讨论在什么条件下，可以应用玻恩近似法。解（1）求微分散射截面f()=-盏Jorsink-U、ea

10、0丿dr5.利用玻恩近似法求粒子在势能Ze2sr0,2IIU/rr=就JoN(eikr-e-ikr)e-adraU二0ik方2J8-:rDrJ08re-ik+A”Dr0aU=0ik力2(12(12|ik+ik1a丿Ja丿0ik力2(1+a2k2)2a2卩U(1+ika)2(1-ika)4a3aU=0力2(1+a2k2)2二Q(0)曰F(0)l2=6+X16a2U2a600力4(1+4a2k2sin2)4(2)讨论玻恩近似法可以应用的条件。显然，这个条件是()卩1。由教材(55-25)式和(55-26)式U(0)|二丄pv(R)(e2ikr1)Dr二2k丄J8V(r)(e2ikr1)Drk方20U(0)|2二斗J