立体几何(空间几何体的结构特征)

1、立体几何第一讲：空间几何体的结构特征一基础知识1多面体的结构特征名称棱柱棱锥棱台图形AABaa结构特征有两个面互相平行且全等，其余各面都是平行四边形.每相邻两个四边形的公共边都互相平行有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形的多面体用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，截面和底面之间的部分侧棱平行且相等相交于一点但不一定相等延长线交于一点侧面形状平行四边形三角形梯形2.旋转体的结构特征3.三视图与直观图名称圆柱圆锥圆台球图形贞1母线互相平行且相等，垂直于底面相交于一点延长线交于一点轴截面全等的矩形全等的等腰三角形全等的等腰梯形圆侧面展开图矩形扇形扇环三视图画法规则：长对正、高平齐、宽

2、相等直观图斜二测画法：(1)原图形中x轴、y轴、z轴两两垂直，直观图中x轴、/轴的夹角为45或135,z轴与x轴和/轴所在平面垂直.(2)原图形中平行于坐标轴的线段在直观图中仍平行于坐标轴，平行于x轴和z轴的线段在直观图中保持原长度不变,平行于y轴的线段在直观图中长度为原来的一半.二经典案例Br案例一：直观图画法（斜二测画法）如图，直观图所表示的平面图形是（）A.正三角形B.锐角三角形CTXC.钝角三角形D.直角三角形则直观图ABCD的面积S=竽舞=瑕解析由直观图中,AC心轴，BC轴，还原后ACy轴，BCx轴.所以ABC是直角三角形故选D.已知等腰梯形ABCD，上底CD=1,腰AD=CB卩，下

3、底AB=3,以下底所在直线为x轴,则由斜二测画法画出的直观图ABCD的面积为解析如图所示，作出等腰梯形ABCD的直观图.因为OE=JGj9）21=1,所以OE=2，EF=，案例二：三视图的识别（2018全国III）中国古建筑借助榫卯将木构件连接起来.构件的凸出部分叫榫头，凹进部分叫卯眼,图中木构件右边的小长方体是榫头若如图摆放的木构件与某一带卯眼的木构件咬合成长方体，则咬合时带卯眼的木构件的俯视图可以是（）解析由题意可知带卯眼的木构件的直观图如图所示，由直观图可知其俯视图应选A.(2019合肥质检)在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E是棱AQ的中点，用过点A,C,E的平面截正方体，则位于截

4、面以下部分的几何体的侧视图为()得的截面，据此可得位于截面以下部分的几何体的侧视图如选项A所示.x（2018济南模拟）如图，在正方体ABCD-ABC1D1中，P为BD、的中点，则APAC在该正方体各个面上的正投影可能是（）A.解析P点在上下底面投影落在AC或A1C1上，所以PAC在上底面或下底面的投影为，在前、后面以及左、右面的投影为.在如图所示的空间直角坐标系O初z中，一个四面体的顶点坐标分别是（0，0，2），（2,2,0）,（1，2,1），（2,2,2）给出编号为，的四个图，贝U该四面体的正视图和俯视图分别为（）2图图图图A和B和C和D和解析在坐标系中标出已知的四个点，根据三视图的画图规则

5、判断三棱锥的正视图为，俯视图为，D正确.案例三：三视图中的几何体识别某四棱锥的三视图如图所示，在此四棱锥的侧面中,直角三角形的个数为（）A.1B.2C.3D.4解析在正方体中作出该几何体的直观图，记为四棱锥PABCD,如图，由图可知在此四棱锥的侧面中，任视图侧桃图俯视图直角三角形的个数为3,分别是PAD，PCD，PAB.（2019西安模拟）某几何体的三视图如图所示，那么这个几何体是（）A三棱锥B四棱锥C四棱台D三棱台侧视图俯视图（2019广州调研）某几何体的正视图和俯视图如图所示，在下列图形中，可能是该几何体侧视图的图形是（写出所有可能的序号）.正视图俯视图解析如图a三棱锥CABD,正视图与俯

6、视图符合题意，侧视图为;如图b四棱锥PABCD，正视图与俯视图符合题意，侧视图为;如图c三棱锥PBCD，正视图与俯视图符合题意，侧视图为.c案例四：三视图中的几何体的应用某几何体的三视图如图所示，则该几何体中最长棱的长度为（A33B26Cj21D2、5解析由三视图得，该几何体为四棱锥PABCD，如图所示.侧面PAB丄底面ABCD，底面ABCD为矩形，过点P作PE丄AB,垂足为点E,则AE=1，BE=2,AD=2，PE=4，则该几何体中最长的棱为PC二j42+22+22=2、/6,故选B.某多面体的三视图如图所示，其中正视图和侧视图都由正方形和等腰直角三角形组成，正方形的边长为2,俯视图为等腰直

7、角三角形，该多面体的各个面中有若干个是梯形，这些梯形的面积之和为（）A.10B.12C.14D.16解析由三视图可画出几何体的直观图，该多面体中只有两个相同的梯形的面，由于S=；X(2+4)X2=6,所以这些梯形的面积之和为S=6X2=12.梯形2全梯如图，网格纸上小正方形的边长为1,粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的表面积为A.8+3nB.8+4nC.8+5nD.8+6n解析由题图可知，该几何体为半圆柱挖去半球体后的几何体，n4n其表面积为2X2X4+n+2X4兀+三=8+6n.（2019浙江卷）祖暅是我国南北朝时代的伟大科学家，他提出的“幂势既同，则积不容异”称为祖暅原理，利用该原

8、理可以得到柱体的体积公式r柱体=恥其中s是柱体的底面积，h是柱体的高若某柱体的三视图如图所示（单位：cm）,则该柱体的体积（单位：。皿3）是（）A.158B.162C.182D.3241正视图6解析由三视图可知，该柱体是一个直五棱柱，如图，棱柱的髙为6,底面可以看作由两个直角梯形组合而成,其中一个上底为4,下底为6,髙为3,另一个的上底为2,下底为6,髙为3.则底面面积S=X3+X3=27.因此，该柱体的体积V=27X6=162.三练习(课后作业)i.如图，在一个正方体内放入两个半径不相等的球q,o2,这两个球外切，且球q与正方体共顶点力的三个面相式产生质疑，为了证实自己的猜测，他引入了一种新

9、的几何体“牟合方盖”：以正方体相邻的两个侧面为底做两次内切圆柱切割，然后剔除外部，剩下的内核部分如果“牟合方盖”的正视图和侧视图都是圆，则其俯视图的形状为()正视图3.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的侧视图中的虚线部分是（）A.圆弧B.抛物线的一部分C.椭圆的一部分D.双曲线的一部分4.如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，点P是上底面A.B.C.D.内一动点，则三棱锥P_ABC的正视图与侧视图的面积的比值为5.如上右图，网格纸上小正方形的边长为1,粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的各条棱中，最长的棱的长度为（）A6J2B.4护C.6D.46.（2015全国II卷）一个正方

10、体被一个平面截去一部分后，剩余部分的三视图如右图，则截去部分体积与剩余部分体积的比值为（）111D.5正视图侧视图俯视图7.（2017石家庄质检）一个三棱锥的正视图和俯视图如图所示，则该三棱锥的侧视图可能为（）ABA.gB.78.如图是一个几何体的三视图，则该几何体任意两个顶点间距离的最大值是（）C3辭D3.J3A.4B.5四参考答案1.解析由题意可以判断出两球在正方体的面上的正投影与正方形相切由于两球球心连线AB】与面ACC1A1不平行,故两球球心射影所连线段的长度小于两球半径的和，即两个投影圆相交，即为图B.2.解析由题意得在正方体内做两次内切圆柱切割，得到的几何体的直观图如图所示，由图易得其俯视图为B,故3.解析根据几何体的三视图，可得侧视图中的虚线部分是由平行于旋转轴的平面截圆锥所得，故侧视图中的虚线部分是双曲线的一部分，故选D.解析如题图所示，设正方体的棱长为q,则三棱锥PABC的正视图与侧视图都是三角形，且面积都是；Q2,故面积的比值为1.解析如图，设辅助正方体的棱长为4,三视图对应的多面体为三棱锥ABCD,最长的棱为AD=J（4述）2+22=6.解析由已知三视图知该几何体是由一个正方体截去了一个“大角”后剩余的部分，如图所