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文档简介

1、0.0 概率空间一、随机事件的公理化定义 回顾初等概率论中引进古典概率、几何概率等定义，有如下问题： 对于随机试验E的样本空间,是否的每一个子集(事件)都能确定概率? 定义 (代数)：设随机试验E 的样本空间为,F 是的子集组成的集族，满足(2)若AF,则 .（对逆运算封闭） (3) 若 则（对可列并运算封闭）可加 称F 为的一个-代数（事件体）, F 中的集合称为事件.(1) F ; Ex.1 在编号为1,2, , n 的 n个元件中取一件.样本空间为构造如下事件:1. 考虑元件的编号，则全体基本事件为可验证集族组成一个代数. 2. 考虑元件是正品或次品，则基本事件为 A1=取到正品, A2

2、=取到次品则 为一个代数. Ex.2 测量一个零件,考虑其测量结果与实际长度的误差. 基本事件为x,样本空间为 则R1的子集全体： ,单点集 x ，一切开的,闭的，半开闭区间等组成的集族F是一个代数.另外，令 =出现正误差=出现负误差则 为一个代数.注：对同一研究对象的同一试验, 试验目的不同, 其样本空间和代数的结构会不同. 定义 (可测空间) 样本空间和代数的二元体(, F) 称为可测空间.可测空间有如下性质： 1.2.对可列交运算封闭. 若 证3. 对有限并,有限交封闭:若 则4.对差运算封闭,即若 则 .二、概率的公理化定义柯氏公理体系是现代概率论的基石. 定义(概率)：设(, F )

3、是一可测空间,对 定义在F上的实值集函数P(A), 满足1) 非负性：对 2) 规范性:P() = 1;3) 完全可加性,对 有 称P是(,F)上的概率(测度),P(A)是事件A的概率. 三元体(, F , P)称为概率空间. Ex.3 设某路口到达的车辆数为m,基本事件为m,样本空间 F是的一切子集组成的集族，则F是一个代数.令 P()=0, 并对AF 令证明P为可测空间(,F)上的概率测度. 证 1) 2) 因3) 设有三、乘积样本空间设A 和 B 是两个集合，称为A与B 的积集. 定义 设随机试验Ei , i=1,2, n的样本空间分别为i ,i=1,2, n,称12n=(1, 2, n) , i i i=1, 2, , n为乘积样本空间. Ex.3 设抛一枚均匀硬币试验E1的样本空间为掷一颗均匀硬币骰子试验E2的样本空间为 先掷一颗均匀硬币骰子,再抛一枚均匀硬币试验的样本空间可设为=12=(1,2) , i i i=1, 2有 =(T, i) , = (H, i) , i=1,2, ,6. Ex.4 n次独立重复抛一枚均匀硬币试验E的样本空间为n=(1, 2, n)

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