中心极限定理

1、中心极限定理第1页，共57页，2022年，5月20日，4点44分，星期日4.1 特征函数定义 设 X 是一随机变量，称 (t) = E( eitX ) 为 X 的特征函数. (必定存在)注意：是虚数单位.第2页，共57页，2022年，5月20日，4点44分，星期日注 意 点(1)(1) 当X为离散随机变量时，(2) 当X为连续随机变量时，第3页，共57页，2022年，5月20日，4点44分，星期日特征函数的计算中用到：注 意 点(2)欧拉公式：第4页，共57页，2022年，5月20日，4点44分，星期日常用分布的特征函数1）单点分布：2）Poisson分布：3）二项分布：4）正态分布：第5页，

2、共57页，2022年，5月20日，4点44分，星期日 性质 特征函数的性质|(t)| (0)=1 性质 性质 性质 若 X 与 Y 独立，则 性质 第6页，共57页，2022年，5月20日，4点44分，星期日 定理 特征函数的定理一致连续性. 定理 定理 定理 唯一性. 定理 非负定性.逆转公式.连续场合，第7页，共57页，2022年，5月20日，4点44分，星期日4.2 大数定律 讨论 “概率是频率的稳定值”的确切含义； 给出几种大数定律： 伯努利大数定律、切比雪夫大数定律、 马尔可夫大数定律、辛钦大数定律.第8页，共57页，2022年，5月20日，4点44分，星期日 大量随机试验中大数定律

3、的客观背景大量抛掷硬币正面出现频率字母出现频率生产过程中的废品率第9页，共57页，2022年，5月20日，4点44分，星期日 伯努利大数定律（伯努利大数定律）设 n 是n重伯努利试验中事件A出现的次数，每次试验中 P(A) = p, 则对任意的 0，有第10页，共57页，2022年，5月20日，4点44分，星期日证明 证毕或第11页，共57页，2022年，5月20日，4点44分，星期日注: 贝努里大数定律表明，当重复试验次数n充分大时，事件A发生的频率与事件A的概率p有较大偏差的概率很小.第12页，共57页，2022年，5月20日，4点44分，星期日 大数定律定义 大数定律一般形式： 若随机变

4、量序列Xn满足：则称Xn 服从大数定律.第13页，共57页，2022年，5月20日，4点44分，星期日切比雪夫大数定律 Xn两两不相关，且Xn方差存在，有共同的上界，则 Xn服从大数定律.切比雪夫 特别地，若将条件“两两不相关”改为“独立同分布，结论更有意义.第14页，共57页，2022年，5月20日，4点44分，星期日则对任意的0，有前 n 个随机变量的算术平均分析：第15页，共57页，2022年，5月20日，4点44分，星期日证由切比雪夫不等式上式中令得第16页，共57页，2022年，5月20日，4点44分，星期日说明第17页，共57页，2022年，5月20日，4点44分，星期日马尔可夫大

5、数定律 若随机变量序列Xn满足：则 Xn服从大数定律.(马尔可夫条件)第18页，共57页，2022年，5月20日，4点44分，星期日辛钦大数定律 若随机变量序列Xn独立同分布，且Xn的数学期望存在。则 Xn服从大数定律.第19页，共57页，2022年，5月20日，4点44分，星期日下面给出的独立同分布下的大数定律，不要求随机变量的方差存在. 设随机变量序列X1,X2, 相互独立，服从同一分布，具有数学期E(Xi)=, i=1,2,， 则对于任意正数 ，有（辛钦大数定律）辛钦第20页，共57页，2022年，5月20日，4点44分，星期日 1、辛钦大数定律为寻找随机变量的期望值提供了一条实际可行的

6、途径.注：2、伯努利大数定律是辛钦定理的特殊情况.3、辛钦定理具有广泛的适用性.第21页，共57页，2022年，5月20日，4点44分，星期日三、小结大数定律 大数定律以严格的数学形式表达了随机现象最根本的性质之一：平均值的稳定性第22页，共57页，2022年，5月20日，4点44分，星期日(1) 伯努利大数定律是切比雪夫大数定律的特例.注 意 点(2) 切比雪夫大数定律是马尔可夫大数定律的特例.(3) 伯努利大数定律是辛钦大数定律的特例.第23页，共57页，2022年，5月20日，4点44分，星期日例 在一个罐子中,装有10个编号为0-9的同样的球，从罐中有放回地抽取若干次，每次抽一个，并记

7、下号码. 设，k=1,2, 问对序列Xk能否应用大数定律？即对任意的0,解: k=1,2, E(Xk)=0.1, 诸Xk 独立同分布，且期望存在，故能使用大数定律.第24页，共57页，2022年，5月20日，4点44分，星期日4.3 随机变量序列的两种收敛性两种收敛性： i) 依概率收敛：用于大数定律； ii) 按分布收敛：用于中心极限定理.第25页，共57页，2022年，5月20日，4点44分，星期日 依概率收敛 (依概率收敛)大数定律讨论的就是依概率收敛.若对任意的 0，有则称随机变量序列Yn依概率收敛于Y, 记为第26页，共57页，2022年，5月20日，4点44分，星期日依概率收敛的性

8、质 若则Xn与Yn的加、减、乘、除依概率收敛到 a 与 b 的加、减、乘、除.第27页，共57页，2022年，5月20日，4点44分，星期日理解 :第28页，共57页，2022年，5月20日，4点44分，星期日 按分布收敛弱收敛对分布函数列 Fn(x)而言，点点收敛要求太高. 若在 F(x) 的连续点上都有则称Fn(x) 弱收敛于 F(x) ，记为相应记按分布收敛第29页，共57页，2022年，5月20日，4点44分，星期日依概率收敛与按分布收敛的关系 第30页，共57页，2022年，5月20日，4点44分，星期日 判断弱收敛的方法 第31页，共57页，2022年，5月20日，4点44分，星期

9、日辛钦大数定律的证明思路欲证: 只须证： 第32页，共57页，2022年，5月20日，4点44分，星期日4.4 中心极限定理 讨论独立随机变量和的极限分布, 本节指出其极限分布为正态分布. 独立随机变量和设 Xn 为独立随机变量序列，记其和为第33页，共57页，2022年，5月20日，4点44分，星期日 中心极限定理的客观背景 在实际问题中许多随机变量是由相互独立随机因素的综合叠加影响所形成的.例如：炮弹射击的落点与目标的偏差，就受着许多随机因素（如瞄准，空气阻力，炮弹或炮身结构等）综合影响的.每个随机因素的对弹着点（随机变量和）所起的作用都是很小的.那么弹着点服从怎样分布呢 ？第34页，共5

10、7页，2022年，5月20日，4点44分，星期日 如果一个随机变量是由大量相互独立的随机因素的综合叠加影响所造成的，而每一个别因素对这种综合影响中所起的作用不大. 则这种随机变量一般都服从或近似服从正态分布. 自从高斯指出测量误差服从正态分布之后，人们发现，正态分布在自然界中极为常见. 现在我们就来研究独立随机变量之和所特有的规律性问题.高斯 当n无限增大时，这个和的极限分布是什么呢？第35页，共57页，2022年，5月20日，4点44分，星期日 由于无穷个随机变量之和可能趋于，故我们不研究n个随机变量之和本身而考虑它的标准化的随机变量. 在概率论中，习惯于把和的分布收敛于正态分布这一类定理都

11、叫做中心极限定理.第36页，共57页，2022年，5月20日，4点44分，星期日 独立同分布下的中心极限定理 林德贝格勒维中心极限定理设 Xn 为独立同分布随机变量序列，数学期望为, 方差为 20，则当 n 充分大时，有第37页，共57页，2022年，5月20日，4点44分，星期日注:第38页，共57页，2022年，5月20日，4点44分，星期日 3、虽然在一般情况下，我们很难求出 的分布的确切形式，但当n很大时，可以求出近似分布.第39页，共57页，2022年，5月20日，4点44分，星期日例4.4.1 每袋方便面的净重为随机变量，平均重量为 100克，标准差为10克. 一箱内装200袋方便

12、面，求一箱的净重大于20500克的概率?解:设箱中第 i 袋方便面的净重为 Xi, 则Xi 独立同分布， 且 E(Xi)=100，Var(Xi) =100， 由中心极限定理得，所求概率为：= 0.0002故一箱方便面的净重大于20500克概率为0.0002. (很小)第40页，共57页，2022年，5月20日，4点44分，星期日例4.4.2 设 X 为一次射击中命中的环数，其分布列为求100次射击中命中环数在900环到930环之间的概率.XP10 9 8 7 6 0.8 0.1 0.05 0.02 0.03解: 设 Xi 为第 i 次射击命中的环数，则Xi 独立同分布，且 E(Xi) =9.6

13、2，Var(Xi) =0.82，故= 0.99979第41页，共57页，2022年，5月20日，4点44分，星期日4.4.3 二项分布的正态近似 棣莫弗拉普拉斯中心极限定理设n 为服从二项分布 b(n, p) 的随机变量，则当 n 充分大时，有是林德贝格勒维中心极限定理的特例.第42页，共57页，2022年，5月20日，4点44分，星期日注 意 点 (1)当n较大时，正态分布是二项分布很好近似。通常计算二项分布的概率用下式：第43页，共57页，2022年，5月20日，4点44分，星期日注 意 点 (2) 中心极限定理的应用有三类题型： ii) 已知 n 和概率，求y ； iii) 已知 y 和

14、概率，求 n .i) 已知 n 和 y，求概率； 第44页，共57页，2022年，5月20日，4点44分，星期日一、给定 n 和 y，求概率例4.4.3 100个独立工作的部件组成一个系统，每个部件正常工作的概率为0.9 ，求系统中至少有85个部件正常工作的概率.解：用由此得：Xi=1表示第i个部件正常工作, 反之记为Xi=0.又记Y=X1+X2+X100，则 Y 服从二项分布，即 Y b(100, 0.9).E(Y)=90，Var(Y)=9.第45页，共57页，2022年，5月20日，4点44分，星期日二、给定 n 和概率，求 y例4.4.4 有200台机床独立工作，每台正常工作的概率为0.

15、7，每台机床工作时需15kw电力. 问共需多少电力, 才可有95%的可能性保证正常生产?解：用设供电量为y, 则从Xi=1表示第i台机床正常工作, 反之记为Xi=0.记Y=X1+X200b(200,0.7)，则 E(Y)=140,Var(Y)=42.中解得第46页，共57页，2022年，5月20日，4点44分，星期日三、给定 y 和概率，求 n例4.4.5 用调查观众中的收看比例 k/n 作为某电视节 目的收视率 p 的估计。 要有 90 的把握，使k/n与p 的差异不大于0.05，问至少要调查多少位观众？解：用根据题意Yn表示调查n 个人中收看此节目的人数，则从中解得Yn b(n, p) 分

16、布，k 为Yn的实际取值。又由可解得n = 271第47页，共57页，2022年，5月20日，4点44分，星期日例4.4.6 设每颗炮弹命中目标的概率为0.01， 求500发炮弹中命中 5 发的概率.解: 设 X 表示命中的炮弹数, 则X b(500, 0.01)0.17635(2) 应用正态逼近:P(X=5) = P(4.5 X 1920)设第i只元件的寿命为Xi , i=1,2, ,16例1解答：E(Y)=1600,D(Y)=160000由中心极限定理,近似N(0,1)P(Y1920)=1-P(Y1920) =1-(0.8)1-=1-0.7881=0.2119第50页，共57页，2022年

17、，5月20日，4点44分，星期日例2 在一个罐子中,装有10个编号为0-9的同样的球，从罐中有放回地抽取若干次，每次抽一个，并记下号码. 设，k=1,2, 至少应取球多少次才能使“0”出现的频率在0.09- 0.11之间的概率至少是0.95?(2)用中心极限定理计算在100次抽取中,数码“0”出现次数在7和13之间的概率.第51页，共57页，2022年，5月20日，4点44分，星期日（1)解：设应取球n次，0出现频率为由中心极限定理例2解答：第52页，共57页，2022年，5月20日，4点44分，星期日欲使即查表得从中解得即至少应取球3458次才能使“0”出现的频率在0.09-0.11之间的概率至少是0.95.第53页，共57页，2022年，5月20日，4点44分，星期日（2）解：在100次抽取中, 数码“0”出现次数为由中心极限定理,即其中E(Xk)=0.1, D(Xk)=0.09第54页，共