比例、黄金分割、平行线分线段成比例定理

1、黄金分割及平行线分线段成比例一、黄金分割 罚金分割AC BC如图，点C把线段AB分成两条线段 AC和BG如果AB AC，那么称线段AB被点C黄金 分割，点C叫做线段AB的黄金分割点.AC与AB的比叫做黄金比.黄金比黄金比值的求法:AC BCAC AB AC因为 AB AC ,且 BC= AB- AC,所以 AB AC解得AC=51 ADAB,或 AO 0.618AB,即得黄金比ACAB. 5 12 或 0.618求作黄金分割点求已知线段AB的黄金分割点。方法一：如图1、经过点B作BD)AB,且BD=2、连接 AD,在DA上截取 D已DB.3、在AB上截取AC= AE,所以点C是线段AB的黄金分

2、割点.、.5.5 13. 5理由：设 AB= 1 ,贝U BD= 1/2,AD= 2 , AC= 2, BC=2AC BC : 5 1所以AB AC 2,所以点方法二如图1、在线段AB上作正方形ADCB 23、延长 DA至 F,使 EF= EB.4所以点H是线段AB的黄金分割点.C是线段AB的黄金分割点.、取AD的中点E,连接EB.、以线段AF为边作正方形AFGH理由：设AB= 1,则AE= 2 ,所以5BE EF2 一 AFAH HB 5 1所以AB AH,所以点H是线段AB的黄金分割点.方法三：如图1、以AB为腰作等腰 AB口使/ A= 362、作/ ADB的角平分线交 AB于点C所以，点

3、C是线段AB的黄金分割点.理由：作图的理由在本章学完就知道，对这做黄金三角形基本图形我们将会非常熟悉，此等腰三角形叫例1:如图所示，矩形AB .5 1ABCD黄金矩形(即 BC =2=0.618),如果在其内作正方形CDEF得到一个小矩形 ABFE试问矩形ABFE是否也是黄金矩形?例2:以长为2的线段AB为边作正方形 ABCD取AB的中点P,连接PR在BA的延长线上 取点F,使PF= PD,以AF为边作正方形 AMEF点M在AD上，如图所示，(1)求AM DM的长，(2)试说明 aM=ad- DM(3)根据(2)的结论，你能找出图中的黄金分割点吗？练习题一、请你填一填(1)如图，若点P是AB的

4、黄金分割点，则线段 AP、PB AB满足一机关系式,即AP是 与 的比例中项.(2)黄金矩形的宽与长的比大约为 (精确到0.001 ).(3)如果线段d是线段a、b、c的第四比例项，其中 a=2 cm, b=4 cm, c=5 cm,则 d=cm.(4)已知O点是正方形 ABCD勺两条对角线白交点，则 A。AB： AG.二、认真选一选1、有以下命题：如果线段d是线段a,b,c的第四比例项，则有_a 9 b d如果点C是线段AB的中点，那么 AC是AB BC的比例中项如果点C是线段AB的黄金分割点，且 A3BC那么AC是AB与BC的比例中项如果点C是线段AB的黄金分割点，AOBC且AB=2,则A

5、C=5 - 1 TOC o 1-5 h z 其中正确的判断有（）A.1个B.2个 C.3个D.4个2、已知P为线段AB的黄金分割点，且 APV PB,则（）A、AP2AB PB；日 AB2AP PB;C、PB2AP AB;D、AP2BP2AB23、.已知点M将线段AB黄金分割（AMBM）,则下列各式中不正确的是 （）A.AM : BM=AB : AMAM= 1 AB2BM = 1 AB D. AM = 0.618AB 2A.1个B.2个C.3个4、已知P、Q是线段AB的两个黄金分割点，且D.4个AB=10cm,则 PQ 长为（A、5（4专 1） B 5（75 1）C、105 2）D、5（3 疾

6、）三、好好想一想1、已知点C是线段AB的黄金分割点AC= 5，55 ,且AC BC,求线段AB与BC的长。2、E、F为线段AB的黄金分割点，已知 AB=10 cm,求EF的长度. AB5 13、如果一个矩形 ABCD（ABv BC）中， =0.618,那么这个矩BC 2形称为黄金矩形，黄金矩形给人以美感.在黄金矩形 ABCD内作正方形CDEF ,得至IJ一个小矩形 ABFE（如图1）,请问矩形ABFE是否是黄金矩形？ 请说明你的结论的正确性.、平行线分线段成比例知识梳理平行线分线段成比例定理及其推论.平行线分线段成比例定理如下图，如果-2,则ifDE AB ACDF 5 DE dFAD AEA

7、B ACEF ABDF，AC.平行线分线段成比例定理的推论：如图，在三角形中，如果DE / BC ,则DEBC.平行的判定定理:如上图，如果有CADAEAB ACDE ,那么 DE / BC。 BC专题讲解专题一、平行线分线段成比例定理及其推论基本应用【例1】如图，DE / BC ,且DB AE,若AB 5, AC10 ,求AE的长。【例2】如图，已知AB/EF/CD ,若AB a , CD b , EF c ,求证：-. cabD , AC和BD相交于点E ,【巩固】如图，AB BD , CD BD ,垂足分别为B、 ef町垂足为f.证明：焉CD EF.【巩固】如图，找出Sabd、Sbed、

8、S BCD之间的关系，并证明你的结论【例3】如图，在梯形ABCD中，AB / CD ,AB 12 , CD 9 ,过对角线交点。作EF / CD 交 AD , BC 于 E , F ,求 EF 的长。【巩固】（上海市数学竞赛题）如图，在梯形ABCD中，AD / BC ,AD a, BCb, E, F分别是AD , BC的中点,AF交BE于P, CE交DF于Q,求PQ的长。专题二、定理及推论与中点有关的问题【例4】（2007年北师大附中期末试题）（1）如图（1）,在 ABC中，M是AC的中点，E是AB上一点，且AE连接EM并延长，交BC的延长线于D ,则BC（2）如图（2）,已知 ABC 中，A

9、E：EBBD : DC 2:1 , AD 与 CE 相交于 F ,则 EC AFA. 5的值为（）B.1C.【例5】（2001年河北省中考试题）如图，在ABC中，D为BC边的中点，E为AC边上的任意一点,(1)当JAEAC(3)试猜想2时,AEACBE交AD于点O .求处的值。（2）AD,时也n 1 AD当JAEAC3、4时，求AO的值;AD的值，并证明你的猜想.【例6】（2003年湖北恩施中考题）如图,AD是 ABC的中线，点E在AD上，F是BE延长线与AC的交点.AFFC（1）如果E是AD的中点，求证:（2）由（1）知，当E是AD中点时，”-成立，若E是AD上任意一点 FC 2 ED（与八

10、、D不重合），上述结论是否仍然成立，若成立请写出证明，若不成立， 请说明理由.【巩固】（天津市竞赛题）如图，已知 ABC中，AD是BC边上的中线，E是AD 上的一点，且 BE AC ,延长BE交AC于F 。求证：AF EF 。【例7】（宁德市中考题）如图， ABC中，D为BC边的中点，延长AD至E,延长AB交CE的延长线于P。若AD 2DE ,求证：AP 3AB 0【巩固】（济南市中考题；安徽省中考题）如图, 别是AB, AC的中点，贝IJ DE -a;若D2、E2分别是D-B、E-C的中点,则D2E2ABC 中，BC a ,若 D- , EI分1 a一一 a2 2a- -a若D3、E3分别是

11、D2B、E2c的中点，则D3E3若Dn、巳分别是DnjB、的中点，则口口2 专题三、利用平行线转化比例【例8】如图，在四边形ABCD中，AC与BD相交于点O ,直线l平行于BD ,且 与AB、DC、BC、AD及AC的延长线分别相交于点 M、N、R、S和P .求证：PM PN PR PS【巩固】已知，如图，四边形ABCD，两组对边延长后交于E、F，对角线BD II EF , AC的延长线交 EF于G .求证：EG GF .【例9】已知：P为ABC的中位线MN上任意一点,FBP、CP的延长线分别交对边AC、AB于D、E,求证：股延1 DC EB【例10在ABC中，底边BC上的两点E、F把BC三等分

12、，BM是AC上的中线，AE、AF分别交BM于G、H 两点，求证： BG:GH:HM 5:3: 2BEFC【例11 如图，M、N为ABC边BC上的两点，且满足BM MN NC , 一条 平行于AC的直线分别交AB、AM和AN的延长线于点D、E和F .求证：EF 3DE .【例12已知：如图，在梯形ABCD中，AB/CD , M是AB的中点，分别连接AC、BD、MD、MC ,且AC与MD交于点E , DB与MC交于F .(1)求证：EF / /CD (2)若 AB a , CD b ,求 EF 的长【巩固】 如图，在梯形 ABCD中，AD / BC , AD 3, BC 9, AB 6, CD 4,若EF / BC ,且梯形AEFD与梯形EBCF的周长相等，求EF的长。【例13(山东省竞赛题)如图，YABCD的对角线相交于点O,在AB的延长线上任取一点E ,连接OE交BC于点F ,若AB a , AD c, BE b ,求BF的值。【例14】已知等腰直角 ABC中，E、D分别为直角边BC、AC上的点，且CE CD，过E、D分别