北师版数学高一1.8最小二乘估计

1、8最小二乘估计一、非标准1.已知回归直线的斜率的估计值是1.23,样本点的中心是(4,5),则线性回归方程是( )A.y=4+1.23x B.y=5+1.23xC.y=0.08+1.23x D.y=1.23+0.08x解析:由已知得b=1.23,=4,=5,于是a=-b=5-1.234=0.08,因此线性回归方程为y=1.23x+0.08.答案:C2.用回归直线方程的系数a,b的最小二乘法估计a,b,使函数Q(a,b)的值最小,则Q函数是指( )A.(yi-a-bxi)2 B.(yi-a-bxi)C.yi-a-bxi D.(yi-a-bxi)2答案:A3.某地区调查了29岁的儿童的身高,由此建

2、立的身高y(cm)与年龄x(岁)的回归模型为y=8.25x+60.13,下列叙述正确的是( )A.该地区一个10岁儿童的身高为142.63 cmB.该地区29岁的儿童每年身高约增加8.25 cmC.该地区9岁儿童的平均身高是134.38 cmD.利用这个模型可以准确地预算该地区每个29岁儿童的身高解析:由y=8.25x+60.13知斜率的估计值为8.25,说明每增加一个单位年龄,约增加8.25个单位身高,故选B.答案:B4.某产品的广告费用x与销售额y的统计数据如下表:广告费用x/万元4235销售额y/万元49263954根据上表可得回归方程y=bx+a中的b为9.4,据此模型预报广告费用为6

3、万元时的销售额为( )A.63.6万元 B.65.5万元C.67.7万元 D.72.0万元解析:=3.5,=42,又y=bx+a必过(),42=3.59.4+a,a=9.1.线性回归方程为y=9.4x+9.1.当x=6时,y=9.46+9.1=65.5(万元).答案:B5.已知x与y之间的几组数据如下表:x123456y021334假设根据上表数据所得线性回归方程为y=bx+a,若某同学根据上表中的前两组数据(1,0)和(2,2)求得的直线方程为y=bx+a,则以下结论正确的是( )A.bb,aa B.bb,aaC.ba D.bb,aa解析:b=2,a=0-21=-2.xiyi=0+4+3+1

4、2+15+24=58,=3.5,=1+4+9+16+25+36=91,b=,a=3.5=-,ba.故选C.答案:C6.下表是某厂1到4月用水量情况(单位:百吨)的一组数据:月份x1234用水量y4.5432.5用水量y与月份x之间具有线性相关关系,其线性回归方程为y=-0.7x+a,则a的值为 .解析:由已知得=2.5,=3.5,因此3.5=-0.72.5+a,解得a=5.25.答案:5.257.在一项关于16艘轮船的研究中,船的吨位区间从192 t3 246 t,船员的人数从5到32,由船员人数y关于吨位x的回归分析得到:y=9.5+0.006 2x,假定两艘轮船的吨位相差1 000 t,船

5、员平均人数相差 ,对于最小的船估计的船员人数是 ,对于最大的船估计的船员人数是 .解析:由线性回归方程知船的吨位每增加1 000 t,则人数增加0.006 21 0006(人),又分别令x=192和3 246,即可估算船员人数.答案:610298.2018年6月22日,某市物价部门对本市的5家商场的一天销售量及其价格进行调查,5家商场的售价和销售量之间的一组数据如下表所示:价格x/元99.5m10.511销售量y/件11n865由数据对应的散点图可知,销售量y与价格x之间有较强的线性相关关系,其线性回归方程是=-3.2x+40,且m+n=20,则其中的n= .解析:(9+9.5+m+10.5+

6、11)=8+(11+n+8+6+5)=6+,线性回归方程一定经过样本中心(),所以6+=-3.2+40,即3.2m+n=42,由解得故n=10.答案:109.某连锁经营公司所属5个零售店某月的销售额和利润额如下表:商店名称ABCDE销售额x/千万元35679利润额y/百万元23345(1)画出散点图,观察散点图,说明两个变量是否线性相关;(2)用最小二乘法计算利润额y对销售额x的线性回归方程;(3)当销售额为4千万元时,估计利润额的大小.解:(1)散点图如下图.由散点图可以看出变量x,y线性相关.(2)设线性回归方程是y=bx+a,=3.4,=6,所以b=0.5,a=-b=3.4-60.5=0

7、.4,即利润额y对销售额x的线性回归方程为y=0.5x+0.4.(3)当销售额为4千万元时,利润额为y=0.54+0.4=2.4(百万元).10.某地最近十年粮食需求量逐年上升,下表是部分统计数据:年份20062008201020122014需求量/万吨236246257276286(1)利用所给数据求年需求量与年份之间的线性回归方程y=bx+a;(2)利用(1)中所求出的直线方程预测该地2015年的粮食需求量.解:(1)由所给数据看出,年需求量与年份之间是近似直线上升的,下面来求线性回归方程,为此对数据预处理如下:年份-2 010-4-2024需求量-257-21-1101929对预处理后的数据,容易算得=0,=3.2.b=6.5,a=-b =3.2.由上述计算结果,知所求线性回归方程为y-257=b(x-2 01