高中数学必修二 6.3.2-6.3.4 平面向量数乘运算的坐标表示（第1课时）学案

1、 6.3.2 平面向量的正交分解及坐标表示6.3.3 平面向量加、减运算的坐标表示6.3.4 平面向量数乘运算的坐标表示（第1课时）【学习目标】素 养 目 标学 科 素 养1.理解向量正交分解以及坐标表示的意义。（重点）2.掌握两个向量的和、差及向量数乘的坐标运算法则。（重点）3.应用向量运算解决相关问题。1.数学运算;2.直观想象;3.数学抽象。【自主学习】一平面向量的正交分解把一个向量分解为 的向量，叫做把向量正交分解二平面向量的坐标表示在平面直角坐标系中，分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i，j作为基底，对于平面内的一个向量a，有且只有一对实数x，y使axiyj，我们把有序实数对

2、叫做向量a的坐标，记作a ，其中x叫做a在x轴上的坐标，y叫做a在y轴上的坐标在向量的直角坐标中i，j，0的坐标分别为i(1,0)，j(0,1)，0(0,0)三平面向量的坐标运算(1)若a(x1，y1)，b(x2，y2)，R，则ab ；ab ；a (2)一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的 坐标减去 坐标注意：(1)向量的坐标只与起点、终点的相对位置有关，而与它们的具体位置无关(2)已知向量eq o(AB,sup6()的起点A(x1，y1)，终点B(x2，y2)，则eq o(AB,sup6()(x2x1，y2y1)【小试牛刀】1.思维辨析(对的打“”，错的打“”)(1)存在唯一的一对实数x

3、，y，使得a(x，y)()(2)若x1，x2，y1，y2R，a(x1，y1)(x2，y2)，则x1x2，且y1y2.()(3)若x，yR，a(x，y)，且a0，则a的始点是原点O.()(4)若x，yR，a0，且a的终点坐标是(x，y)，则a(x，y)()2.已知A(3，1)，B(2，1)，则eq o(BA,sup6()的坐标是()A(2，1)B(2，1)C(1，2) D(1，2)【经典例题】题型一 平面向量的坐标表示点拨： (1)求一个点的坐标，可以转化为求该点相对于坐标原点的位置的坐标(2)求一个向量的坐标时，可以首先求出这个向量的始点坐标和终点坐标，再运用终点坐标减去始点坐标得到该向量的坐

4、标例1 分别用基底 i，j 表示向量a，b，c，d，并求出它们的坐标。【跟踪训练】1 已知O是坐标原点，点A在第一象限，|eq o(OA,sup6()|4eq r(3)，xOA60，（1）求向量eq o(OA,sup6()的坐标；（2）若B(eq r(3)，1)，求eq o(BA,sup6()的坐标 【跟踪训练】3题型二 平面向量的坐标运算点拨： (1)若已知向量的坐标，则直接应用两个向量和、差及向量数乘的运算法则进行(2)若已知有向线段两端点的坐标，则必须先求出向量的坐标，然后再进行向量的坐标运算(3)向量的线性坐标运算可类比数的运算进行例2 已知a(2,1)，b(3，4)，求ab， ab，

5、3a4b坐标。【跟踪训练】2（1）已知A，B，C的坐标分别为(2，4)，(0，6)，(8，10)，则eq o(AB,sup6()2eq o(BC,sup6()_，eq o(BC,sup6()eq f(1,2)eq o(AC,sup6()_题型三 向量坐标运算的综合应用例3.已知ABCD的三个顶点A，B，C的坐标分别为(2,1)，(1,3)，(3,4)，求顶点D的坐标分析：教材P30例，解法1利用向量相等(即eq o(AB,sup6()eq o(DC,sup6()求解，解法2利用向量的加法求解想一想还有别的方法吗？ 【跟踪训练】3已知点O(0，0)，A(1，2)，B(4，5)，及eq o(OP,

6、sup6()eq o(OA,sup6()teq o(AB,sup6().(1)t为何值时，点P在x轴上？点P在y轴上？点P在第二象限？(2)四边形OABP能为平行四边形吗？若能，求出t的值；若不能，请说明理由【当堂达标】1.设i，j是平面直角坐标系内分别与x轴、y轴正方向相同的两个单位向量，O为坐标原点，若eq o(OA,sup6()4i2j，eq o(OB,sup6()3i4j，则2eq o(OA,sup6()eq o(OB,sup6()的坐标是()A(1，2)B(7,6) C(5,0) D(11,8)2.已知向量a(1,2)，2ab(3,2)，则b()A(1，2) B(1,2) C(5,6

7、) D(2,0)3已知eq o(MA,sup6()(2，4)，eq o(MB,sup6()(2，6)，则eq f(1,2)eq o(AB,sup6()等于()A(0，5) B(0，1) C(2，5) D(2，1)4.在ABCD中，A(1,2)，B(3,5)，eq o(AD,sup6()(1,2)，则eq o(AC,sup6()eq o(BD,sup6()()A(2,4) B(4,6) C(6，2) D(1,9)5.已知A(1，2)，B(2，3)，C(2，0)，D(x，y)，且eq o(AC,sup6()2eq o(BD,sup6()，则xy_6.已知A(2，4)，B(3，1)，C(3，4)设e

8、q o(AB,sup6()a，eq o(BC,sup6()b，eq o(CA,sup6()c.(1)求3ab3c；(2)求满足ambnc的实数m，n的值【课堂小结】平面向量坐标运算的技巧:(1)若已知向量的坐标，则直接应用两个向量和、差及向量数乘的运算法则进行(2)若已知有向线段两端点的坐标，则可先求出向量的坐标，然后再进行向量的坐标运算(3)向量的线性坐标运算可完全类比数的运算进行【参考答案】【自主学习】两个互相垂直 (x，y) (x，y) (x1x2，y1y2) (x1x2，y1y2) (x1，y1) 终点 起点【小试牛刀】1. (1)(2)(3)(4)2.C【经典例题】例1 解：由图可知

9、a2i3j(2，3)，b2i3j(2，3)，c2i3j(2，3)，d2i3j(2，3).【跟踪训练】1解：(1)设点A(x，y)，则x4eq r(3)cos 602eq r(3)，y4eq r(3)sin 606，即A(2eq r(3)，6)，eq o(OA,sup6()(2eq r(3)，6)(2) eq o(BA,sup6()eq o(OA,sup6()eq o(OB,sup6()(2eq r(3)，6)(eq r(3)，1)(eq r(3)，7).例2解：a(2,1)，b(3，4)，ab(2,1) (3，4)(1，5)，ab(2,1) (3，4)(5，3)，3a4b3(2,1) 4(3，

10、4)(6,3) (12，16)(6,19)。【跟踪训练】2（1）(18，18)(3，3) 解析：因为A(2，4)，B(0，6)，C(8，10)，所以eq o(AB,sup6()(2，10)，eq o(BC,sup6()(8，4)，eq o(AC,sup6()(10，14)，所以eq o(AB,sup6()2eq o(BC,sup6()(18，18)，eq o(BC,sup6()eq f(1,2)eq o(AC,sup6()(3，3)（2）已知A(2,4)，B(3，1)，C(3，4)，且eq o(CM,sup6()3eq o(CA,sup6()，eq o(CN,sup6()2eq o(CB,su

11、p6()，求点M，N的坐标（2）解解法一：A(2,4)，B(3，1)，C(3，4)，eq o(CA,sup6()(2,4)(3，4)(1,8)，eq o(CB,sup6()(3，1)(3，4)(6,3)eq o(CM,sup6()3eq o(CA,sup6()，eq o(CN,sup6()2eq o(CB,sup6()，eq o(CM,sup6()3(1,8)(3,24)，eq o(CN,sup6()2(6,3)(12,6)设M(x1，y1)，N(x2，y2)，eq o(CM,sup6()(x13，y14)(3,24)，eq o(CN,sup6()(x23，y24)(12,6)，eq blcr

12、c (avs4alco1(x133，,y1424，)eq blcrc (avs4alco1(x2312，,y246.)解得eq blcrc (avs4alco1(x10，,y120，)eq blcrc (avs4alco1(x29，,y22.)M(0,20)，N(9,2)解法二：设O为坐标原点，则由eq o(CM,sup6()3eq o(CA,sup6()，eq o(CN,sup6()2eq o(CB,sup6()，可得eq o(OM,sup6()eq o(OC,sup6()3(eq o(OA,sup6()eq o(OC,sup6()，eq o(ON,sup6()eq o(OC,sup6()2

13、(eq o(OB,sup6()eq o(OC,sup6()，eq o(OM,sup6()3eq o(OA,sup6()2eq o(OC,sup6()，eq o(ON,sup6()2eq o(OB,sup6()eq o(OC,sup6().eq o(OM,sup6()3(2,4)2(3，4)(0,20)，eq o(ON,sup6()2(3，1)(3，4)(9,2)M(0,20)，N(9,2)例3 解：方法1(利用平行四边形对边对应的向量相等，即eq o(AD,sup6()eq o(BC,sup6()如图，设顶点D的坐标为(x，y)，在ABCD中，eq o(AD,sup6()eq o(BC,sup

14、6()，又eq o(AD,sup6()(x2，y1)，eq o(BC,sup6()(4,1)，(x2，y1)(4,1)，即eq blcrc (avs4alco1(x24，,y11，)解得eq blcrc (avs4alco1(x2，,y2，)顶点D的坐标为(2,2)方法2(利用向量加法)如图，设顶点D的坐标为(x，y)，并连接OA，OD，则eq o(OD,sup6()eq o(OA,sup6()eq o(AD,sup6().eq o(AD,sup6()eq o(BC,sup6()，eq o(OD,sup6()eq o(OA,sup6()eq o(BC,sup6()，(x，y)(2,1)(4,1

15、)(2,2)顶点D的坐标为(2,2)方法3(利用向量减法)如图，设顶点D的坐标为(x，y)，并连接OA，OD，则eq o(OD,sup6()eq o(AD,sup6()eq o(AO,sup6()，eq o(AD,sup6()eq o(BC,sup6()，eq o(OD,sup6()eq o(BC,sup6()eq o(AO,sup6()，(x，y)(4,1)(2，1)(2,2)，顶点D的坐标为(2,2)方法4(利用中点的向量表达式)如图，在ABCD中，设AC的中点为M，则点M也是BD的中点eq o(OM,sup6()eq f(1,2)(eq o(OA,sup6()eq o(OC,sup6()

16、eq f(1,2)(eq o(OB,sup6()eq o(OD,sup6()，eq o(OA,sup6()eq o(OC,sup6()eq o(OB,sup6()eq o(OD,sup6()，eq o(OD,sup6()eq o(OA,sup6()eq o(OC,sup6()eq o(OB,sup6()(2,1)(3,4)(1,3)(2,2)顶点D的坐标为(2,2)【跟踪训练】3【解】(1)eq o(OP,sup6()eq o(OA,sup6()teq o(AB,sup6()(1，2)t(3，3)(13t，23t)若点P在x轴上，则23t0，所以teq f(2,3).若点P在y轴上，则13t0

17、，所以teq f(1,3).若点P在第二象限，则eq blc(avs4alco1(13t0，,23t0，)所以eq f(2,3)teq f(1,3).(2)eq o(OA,sup6()(1，2)，eq o(PB,sup6()(33t，33t)若四边形OABP为平行四边形，则eq o(OA,sup6()eq o(PB,sup6()，所以eq blc(avs4alco1(33t1，,33t2，)该方程组无解故四边形OABP不能为平行四边形【当堂达标】1.D 解析：选D因为eq o(OA,sup6()(4,2)，eq o(OB,sup6()(3,4)，所以2eq o(OA,sup6()eq o(OB

18、,sup6()(8,4)(3,4)(11,8)故选D.2.A 解析：选Ab(3,2)2a(3,2)(2,4)(1，2)故选A3.D解析：选D.eq f(1,2)eq o(AB,sup6()eq f(1,2)(eq o(MB,sup6()eq o(MA,sup6()eq f(1,2)(2，6)eq f(1,2)(2，4)(2，1)4.A 解析：在ABCD中，因为A(1,2)，B(3,5)，所以eq o(AB,sup6()(2,3)又eq o(AD,sup6()(1,2)，所以eq o(AC,sup6()eq o(AB,sup6()eq o(AD,sup6()(1,5)，eq o(BD,sup6()eq o(AD,sup6()eq o(AB,sup6()(3，1)，所以eq o(AC,sup6()eq o(BD,sup6()(2,4)，故选A5. eq f(11,2) 解析：因为eq o(AC,sup6()(2，0)(1，2)(1，2)，eq o(BD,sup6()(x