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1、近世代数第二章 群论 2元素的阶 9/3/2021 18:59元素的指数在群中，由于结合律成立，有意义，据此, 可定义群的元素的指数:设为正整数, 则规定:显然有，其中为任意整数. 9/3/2021 18:59定义1设为群的一个元素，使的最小正整数叫做元素的阶，记作；若不存在这样的，则称的阶显然，群中单位元的阶为1，其他元的阶为无限.都大于1， 9/3/2021 18:59例1关于数的普通乘法做成4次单位根群. 9/3/2021 18:59例2正有理数乘群单位元的阶是1，其他元的阶均为无限.例3 非零有理数乘群1的阶是1，-1的阶是2，其余元的阶均为无限. 9/3/2021 18:59定理1有

2、限群中每个元素的阶均有限.，在中必有相等的. 设则，从而阶有限.证明：设 9/3/2021 18:59注：无限群中元素的阶可能无限，也可能有限，其中是次单位根群关于普通乘法作成无限交换群，甚至可能都有限.例4，则其中每个元素的阶都有限. 9/3/2021 18:59定理2若群中，则证明： 令 ，则.证明中，只需证.（2）若 9/3/2021 18:59定理3若群中，则，其中为任意的整数.设，则证明： 9/3/2021 18:59两个推论：推论1 在群中，若,则，其中s，t 均为正整数. 推论2 在群中，若，则 9/3/2021 18:59定理4在群中，若，则当且时，证明： ，于是若 同理， 9/3/2021 18:59例5 |ab|一定等于|a|b|吗？是有理数域Q上的全体二阶满秩方阵关于矩阵乘法做成的群. 9/3/2021 18:59例5 |ab|一定等于|a|b|吗？是有理数域Q上的全体二阶满秩方阵关于矩阵乘法做成的群. 9/3/2021 18:59思考题：设G是群，且|G|1. 证明：若G中除e外其余

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