线性代数二次型

1、关于线性代数二次型第一张，PPT共四十二页，创作于2022年6月二次型的概念定义叫做二次型。含有n个自变量 的二次齐次函数如果二次型的系数都为实数，则称二次型为实二次型。例如 是二次型 不是二次型 我们要研究它的什么问题?第二张，PPT共四十二页，创作于2022年6月为平面上一条二次曲线经坐标变换:几 何 背 景第三张，PPT共四十二页，创作于2022年6月为空间上一二次曲面的一般形式经坐标变换:几 何 背 景第四张，PPT共四十二页，创作于2022年6月经坐标变换1、这种结果能否推广到四元，甚至n元二次型上去？2、如果可以，相应的变换如何寻找，结果如何实现？现有两个问题：第五张，PPT共四十

2、二页，创作于2022年6月二次型 f对称矩阵 A对称矩阵 A 的秩定义为二次型 f 的秩一一对应 二次型可表示为 矩阵形式 （其中A为对称矩阵） 二次型的矩阵及其秩第六张，PPT共四十二页，创作于2022年6月例4.14 设二次型求（1）f的矩阵A;（2）当X=时，求f的值。解:（1）（2）第七张，PPT共四十二页，创作于2022年6月例4.15 设B为n阶方阵，因为求证二次型矩阵是 证明 所以由于是一代数式，故则从而二次型矩阵是第八张，PPT共四十二页，创作于2022年6月例4.16求二次型的矩阵A,并求f的秩。解:由例4.15，得到由于故f的秩为2。则由于对称矩阵 A 的秩定义为二次型 f

3、 的秩，如何求二次型的矩阵？第九张，PPT共四十二页，创作于2022年6月例4.17求二次型经过线性变换解:之后的表达式。令有则第十张，PPT共四十二页，创作于2022年6月只含平方项的二次型 对应的矩阵为对角形矩阵 第十一张，PPT共四十二页，创作于2022年6月二次型的标准形定义就称此二次型为原来二次型的标准形。如果二次型 经过可逆线性变换x=Hy变成y的二次型第十二张，PPT共四十二页，创作于2022年6月定理1经过可逆线性变换后，二次型的秩不变。如例4.17 经线性变换 化得标准形 第十三张，PPT共四十二页，创作于2022年6月用配方法把二次型化成标准型作线性变换即 解 可得二次型的

4、标准形 例 第十四张，PPT共四十二页，创作于2022年6月定义设A,B为 n 阶方阵,如果存在 n 阶可逆矩阵C,使得则称矩阵A与B是合同的, 称矩阵C为合同变换矩阵.结论 实对称矩阵一定与对角形矩阵合同。 第十五张，PPT共四十二页，创作于2022年6月 证明 A是对称矩阵，则 AT=A。于是（1）（2）定理4.10对于任意可逆矩阵C, 令如果 A 是对称矩阵,则B也是对称矩阵, 且R(A)=R(B).第十六张，PPT共四十二页，创作于2022年6月将二次型化为标准形的实质问题一般形式 化为标准形式 经可逆变换 本质问题：寻找可逆矩阵P，使得 回顾上一章知识，能否解决？如何解决？ 上一章的

5、结论: 对于实对称阵A, 一定存在正交阵P使得A相似对角阵, 即:第十七张，PPT共四十二页，创作于2022年6月 证：由于A是n阶实对称矩阵，则必有正交矩阵P,使用正交变换化二次型为标准型对 作 正交变换 则有 定理4.11任给二次型总有正交变换x=Py使 f 化为标准形其中为A的所有特征值.第十八张，PPT共四十二页，创作于2022年6月正交变换对称矩阵A正交矩阵P用正交变换化二次型为标准型 第十九张，PPT共四十二页，创作于2022年6月用正交变换化二次型为标准型的具体步骤2.求矩阵A的特征值3. 对每个特征值 ，求对应的特征向量 4. 将特征向量正交化、单位化，得到1. 写出二次型的矩

6、阵A5. 构造正交矩阵，写出相应的正交变换及标准形 正交矩阵 正交变换 标准形 第二十张，PPT共四十二页，创作于2022年6月得特征值可顺次求得单位特征向量例 用正交变换，化下列二次型为标准形 解 二次型的矩阵为 由 令 则经正交变换 ，可得标准形 第二十一张，PPT共四十二页，创作于2022年6月例、试用正交变换化二次型为标准型矩阵A的特征多项式为特征值正交化得线性无关的特征向量 可得特征向量 解:第二十二张，PPT共四十二页，创作于2022年6月单位化作正交变换代入f ，得到标准型第二十三张，PPT共四十二页，创作于2022年6月例求下列平面图形所围图形的面积：解A 的特征值为经过正交变

7、换曲线可化为标准形第二十四张，PPT共四十二页，创作于2022年6月惯性定律 对于同一个二次型的标准形，非零项的个数是固定的(称为二次型的惯性指标），等于二次型的秩，且正项的个数是固定的（称为正惯性指标），负项的个数也是固定的（称为负惯性指标） 。f 的惯性指标 = f 的矩阵 A 的非零特征值的个数 =R(A)f 的正惯性指标 = f 的矩阵 A 的正特征值的个数f 的负惯性指标 = f 的矩阵 A 的负特征值的个数第二十五张，PPT共四十二页，创作于2022年6月二次型的规范形 二次型的标准形是可以不同的，但由惯性定理可知：标准形中正项、负项的项数是固定的，于是，如下形式的标准形是唯一的：

8、以 1 或 -1 为系数的标准形称为二次型的规范形。 结论：二次型的规范形是唯一的。 补充第二十六张，PPT共四十二页，创作于2022年6月4.4.3 二次型的正定性 定义：第二十七张，PPT共四十二页，创作于2022年6月例 判定下列二次型的正定性 正定 负定 半负定 半正定 不定 第二十八张，PPT共四十二页，创作于2022年6月二次型为正定二次型的必要条件是: 所有平方项的系数都大于零 二次型为负定二次型的必要条件是: 所有平方项的系数都小于零 定理4.12 实二次型为正定二次型的充分必要条件是: 二次型的标准形的n个系数都大于零。 第二十九张，PPT共四十二页，创作于2022年6月定理

9、4.12 实二次型为正定二次型的充分必要条件是: 二次型的标准形的n个系数都大于零。 证明设可逆变换使得充分性任给则若故必要性反证.假设某个取而结论与f为正定矛盾。第三十张，PPT共四十二页，创作于2022年6月判定二次型的正定性定理4.13 若A是n阶实对称矩阵，则下列命题是等价的： （1）xTAx是正定二次型（或A是正定矩阵）；（2）A的正惯性指标为n；（3）存在可逆矩阵P，使得A=PTP；（4）A的n个特征值全大于零。第三十一张，PPT共四十二页，创作于2022年6月推论第三十二张，PPT共四十二页，创作于2022年6月例 证明：如果A是正定矩阵，则A1、AT都是正定矩阵。 因为是正定矩

10、阵，所以的特征值全大于零设的特征值为，则而的特征值为所以的特征值全大于零所以为正定矩阵的特征值为证明第三十三张，PPT共四十二页，创作于2022年6月解出特征值故A是正定矩阵，f 是正定二次型。例 判断二次型的正定性 解法1 二次型的矩阵为 第三十四张，PPT共四十二页，创作于2022年6月定理4.14 (hurwitz定理）定义设n阶方阵我们把n个行列式都叫做矩阵的顺序主子式。二次型为正定的充分必要条件是：二次型的矩阵的所有顺序主子式大于第三十五张，PPT共四十二页，创作于2022年6月推论二次型为负定的充分必要条件是：二次型的矩阵的所有奇数阶顺序主子式小于，偶数阶顺序主子式大于第三十六张，PPT共四十二页，创作于2022年6月解出特征值故A是正定矩阵，f 是正定二次型。例 判断二次型的正定性 解法1 二次型的矩阵为 第三十七张，PPT共四十二页，创作于2022年6月A的三个顺序主子式为所以A是正定矩阵，f 是正定二次型。例 判断二次型的正定性 解法2 二次型的矩阵为 第三十八张，PPT共四十二页，创作于2022年6月解 二次型的矩阵A的三个顺序主子式为所以 f 为负定二次型。例 判断二次型的正定性 第三十九张，PPT共四十二页，创作于2022年6月解二次型的矩阵为要使A正定,则