数列求和的各种方法

1、精选优质文档-倾情为你奉上精选优质文档-倾情为你奉上专心-专注-专业专心-专注-专业精选优质文档-倾情为你奉上专心-专注-专业 数列求和的方法教学目标1熟练掌握等差、等比数列的前n项和公式2掌握非等差、等比数列求和的几种常见方法3能在具体的问题情境中识别数列的等差关系或等比关系，并能用相关知识解决相应的问题教学内容知识梳理1求数列的前n项和的方法(1)公式法等差数列的前n项和公式Snna1.等比数列的前n项和公式()当q1时，Snna1；()当q1时，Sneq f(a1anq,1q).常见的数列的前n项和：， 1+3+5+(2n1)=，等(2)分组转化法把数列的每一项分成两项或几项，使其转化为

2、几个等差、等比数列，再求解(3)裂项相消法把数列的通项拆成两项之差求和，正负相消剩下首尾若干项(4)倒序相加法这是推导等差数列前n项和时所用的方法，将一个数列倒过来排序，如果原数列相加时，若有公因式可提，并且剩余项的和易于求得，则这样的数列可用倒序相加法求和(5)错位相减法这是推导等比数列的前n项和公式时所用的方法，主要用于求anbn的前n项和，其中an和bn分别是等差数列和等比数列(6)并项求和法一个数列的前n项和中，可两两结合求解，则称之为并项求和形如an(1)nf(n)类型，可采用两项合并求解例如，Sn10029929829722212(10099)(9897)(21)5 050.2.

3、常见的裂项公式(1)eq f(1,n)eq f(1,n1)；(2)eq f(1,k)(eq f(1,n)eq f(1,nk)；(3)eq f(1,2)(eq f(1,2n1)eq f(1,2n1)；(4)eq f(1,2)；(5)eq f(1,r(n)r(nk)eq f(1,k)(eq r(nk)eq r(n)(6)设等差数列an的公差为d，则eq f(1,anan1)eq f(1,d)(eq f(1,an)eq f(1,an1)数列求和题型考点一 公式法求和1.(2016新课标全国)已知an是公差为3的等差数列，数列bn满足b11，b2eq f(1,3)，anbn1bn1nbn.(1)求an

4、的通项公式；(2)求bn的前n项和.2.(2013新课标全国，17)已知等差数列an的公差不为零，a125，且a1，a11，a13成等比数列.(1)求an的通项公式；(2)求a1a4a7a3n2.变式训练1.(2015四川，16)设数列an(n1，2，3，)的前n项和Sn满足Sn2ana1，且a1，a21，a3成等差数列. (1)求数列an的通项公式； (2)设数列eq blcrc(avs4alco1(f(1,an)的前n项和为Tn，求Tn.2.(2014福建，17)在等比数列an中，a23，a581.(1)求an；(2)设bnlog3an，求数列bn的前n项和Sn.考点二 错位相减法1.(山

5、东)已知数列 的前n项和Sn=3n2+8n，是等差数列，且 （）求数列的通项公式；（）令 求数列的前n项和Tn.2.(2015天津，18)已知数列an满足an2qan(q为实数，且q1)，nN*，a11，a22，且a2a3，a3a4，a4a5成等差数列.(1)求q的值和an的通项公式；(2)设bneq f(log2a2n,a2n1)，nN*，求数列bn的前n项和.变式训练1.(2014江西，17)已知首项都是1的两个数列an，bn(bn0，nN*)满足anbn1an1bn2bn1bn0.(1)令cneq f(an,bn)，求数列cn的通项公式；(2)若bn3n1，求数列an的前n项和Sn.2.

6、(2014四川，19)设等差数列an的公差为d，点(an，bn)在函数f(x)2x的图象上(nN*).(1)若a12，点(a8，4b7)在函数f(x)的图象上，求数列an的前n项和Sn；(2)若a11，函数f(x)的图象在点(a2，b2)处的切线在x轴上的截距为2eq f(1,ln 2)，求数列eq blcrc(avs4alco1(f(an,bn)的前n项和Tn.3.(2015湖北，18)设等差数列an的公差为d，前n项和为Sn，等比数列bn的公比为q，已知b1a1，b22，qd，S10100.(1)求数列an，bn的通项公式；(2)当d1时，记cneq f(an,bn)，求数列cn的前n项和

7、Tn.4(2015山东，18)设数列an的前n项和为Sn.已知2Sn3n3.(1)求an的通项公式；(2)若数列bn满足anbnlog3an，求bn的前n项和Tn.5.(2015浙江，17)已知数列an和bn满足a12，b11，an12an(nN*)，b1eq f(1,2)b2eq f(1,3)b3eq f(1,n)bnbn11(nN*).(1)求an与bn；(2)记数列anbn的前n项和为Tn，求Tn.6.(2015湖南，19)设数列an的前n项和为Sn，已知a11，a22，且an23SnSn13, nN*.(1)证明：an23an；(2)求Sn.考点三 分组求和法1.(2015福建，17)

8、在等差数列an中，a24，a4a715.(1)求数列an的通项公式；(2)设bnn，求b1b2b3b10的值.2.(2014湖南，16)已知数列an的前n项和Sneq f(n2n,2)，nN*.(1)求数列an的通项公式；(2)设bn(1)nan，求数列bn的前2n项和.变式训练1.(2014北京，15)已知an是等差数列，满足a13，a412，数列bn满足b14，b420，且bnan为等比数列.(1)求数列an和bn的通项公式；(2)求数列bn的前n项和.考点四 裂项相消法1.(2015新课标全国，17)Sn为数列an的前n项和已知an0，aeq oal(2,n)2an4Sn3.(1)求an

9、的通项公式；(2)设bneq f(1,anan1)，求数列bn的前n项和2.(2011新课标全国，17)等比数列an的各项均为正数，且2a13a21，aeq oal(2,3)9a2a6.(1)求数列an的通项公式；(2)设bnlog3a1log3a2log3an，求数列eq blcrc(avs4alco1(f(1,bn)的前n项和3.(2015安徽，18)已知数列an是递增的等比数列，且a1a49，a2a38.(1)求数列an的通项公式；(2)设Sn为数列an的前n项和，bneq f(an1,SnSn1)，求数列bn的前n项和Tn.变式训练1.(2013江西，16)正项数列an满足：aeq o

10、al(2,n)(2n1)an2n0.(1)求数列an的通项公式an；(2)令bneq f(1,（n1）an)，求数列bn的前n项和Tn.2.(2013大纲全国，17)等差数列an中，a74，a192a9.(1)求an的通项公式；(2)设bneq f(1,nan)，求数列bn的前n项和Sn.3.在数列an中，a11，当n2时，其前n项和Sn满足Seq oal(2,n)aneq blc(rc)(avs4alco1(Snf(1,2).(1)求Sn的表达式；(2)设bneq f(Sn,2n1)，求bn的前n项和Tn.考点五 倒序相加法已知函数f(x)eq f(1,4x2)(xR)(1)证明：f(x)f

11、(1x)eq f(1,2)；(2)若Sf(eq f(1,2 015)f(eq f(2,2 015)f(eq f(2 014,2 015)，则S_.变式训练1.设f(x)eq f(4x,4x2)，若Sf(eq f(1,2 015)f(eq f(2,2 015)f(eq f(2 014,2 015)，则S_.考点六 并项求和1.(2012新课标，16)数列an满足an1(1)nan2n1，则an的前60项和为_.2.(2014山东，19)在等差数列an中，已知公差d2，a2是a1与a4的等比中项.(1)求数列an的通项公式；(2)设bn，记Tnb1b2b3b4(1)nbn，求Tn.变式训练1.(2

12、014山东理，19)已知等差数列an的公差为2，前n项和为Sn，且S1，S2，S4成等比数列.(1)求数列an的通项公式；(2)令bn(1)n1eq f(4n,anan1)，求数列bn的前n项和Tn.2.(2013湖南，15)设Sn为数列an的前n项和，Sn(1)naneq f(1,2n)，nN*，则：(1)a3_；(2)S1S2S100_.考点七 数列|an|的前n项和问题1.(2011北京，11)在等比数列an中，若a1eq f(1,2)，a44，则公比q_；|a1|a2|an|_变式训练1.(2013浙江，19)在公差为d的等差数列an中，已知a110，且a1，2a22，5a3成等比数列

13、.(1)求d，an；(2)若d0，求|a1|a2|a3|an|.考点八 周期数列1.已知数列2 008,2 009,1，2 008，2 009，这个数列的特点是从第二项起，每一项都等于它的前后两项之和，则这个数列的前2 014项之和S2 014等于()A2 008 B2 010 C1 D0变式训练1.(2012福建)数列an的通项公式anncoseq f(n,2)，其前n项和为Sn，则S2 012等于()A.1 006 B.2 012 C.503 D.0考点九 数列与不等式的应用 1(2014新课标全国，17)已知数列an满足a11，an13an1.(1)证明eq blcrc(avs4alco

14、1(anf(1,2)是等比数列，并求an的通项公式；(2)证明eq f(1,a1)eq f(1,a2)eq f(1,an)60n800？若存在，求n的最小值；若不存在，说明理由2(2013广东，19)设数列an的前n项和为Sn.已知a11，eq f(2Sn,n)an1eq f(1,3)n2neq f(2,3)，nN*.(1)求a2的值；(2)求数列an的通项公式；(3)证明：对一切正整数n，有eq f(1,a1)eq f(1,a2)eq f(1,an)1时，记cneq f(an,bn)，求数列cn的前n项和Tn.解(1)由题意有，eq blc(avs4alco1(10a145d100，,a1d

15、2，)即eq blc(avs4alco1(2a19d20，,a1d2，)解得eq blc(avs4alco1(a11，,d2)或eq blc(avs4alco1(a19，,df(2,9).)故eq blc(avs4alco1(an2n1，,bn2n1)或eq blc(avs4alco1(anf(1,9)（2n79），,bn9blc(rc)(avs4alco1(f(2,9)sup12(n1).)(2)由d1，知an2n1，bn2n1，故cneq f(2n1,2n1)，于是Tn1eq f(3,2)eq f(5,22)eq f(7,23)eq f(9,24)eq f(2n1,2n1)，eq f(1,

16、2)Tneq f(1,2)eq f(3,22)eq f(5,23)eq f(7,24)eq f(9,25)eq f(2n3,2n1)eq f(2n1,2n).可得eq f(1,2)Tn2eq f(1,2)eq f(1,22)eq f(1,2n2)eq f(2n1,2n)3eq f(2n3,2n)，故Tn6eq f(2n3,2n1).4(2015山东，18)设数列an的前n项和为Sn.已知2Sn3n3.(1)求an的通项公式；(2)若数列bn满足anbnlog3an，求bn的前n项和Tn.解(1)因为2Sn3n3，所以2a133，故a13，当n1时，2Sn13n13，此时2an2Sn2Sn13n

17、3n123n1，即an3n1，所以aneq blc(avs4alco1(3，n1，,3n1，n1.)(2)因为anbnlog3an，所以b1eq f(1,3)，当n1时，bn31nlog33n1(n1)31n.所以T1b1eq f(1,3)；当n1时，Tnb1b2b3bneq f(1,3)(131232(n1)31n)，所以3Tn1(130231(n1)32n)，两式相减，得2Tneq f(2,3)(30313232n)(n1)31neq f(2,3)eq f(131n,131)(n1)31neq f(13,6)eq f(6n3,23n)，所以Tneq f(13,12)eq f(6n3,43n

18、)，经检验，n1时也适合综上可得Tneq f(13,12)eq f(6n3,43n).5.(2015浙江，17)已知数列an和bn满足a12，b11，an12an(nN*)，b1eq f(1,2)b2eq f(1,3)b3eq f(1,n)bnbn11(nN*).(1)求an与bn；(2)记数列anbn的前n项和为Tn，求Tn.解(1)由a12，an12an，得an2n(nN*).由题意知：当n1时，b1b21，故b22.当n2时，eq f(1,n)bnbn1bn，整理得eq f(bn1,n1)eq f(bn,n)，所以bnn(nN*).(2)由(1)知anbnn2n.因此Tn2222323n

19、2n，2Tn22223324n2n1，所以Tn2Tn222232nn2n1.故Tn(n1)2n12(nN*).6.(2015湖南，19)设数列an的前n项和为Sn，已知a11，a22，且an23SnSn13, nN*.(1)证明：an23an；(2)求Sn.(1)证明由条件，对任意nN*，有an23SnSn13，因而对任意nN*，n2，有an13Sn1Sn3.两式相减，得an2an13anan1，即an23an，n2.又a11，a22，所以a33S1S233a1(a1a2)33a1，故对一切nN*，an23an.(2)解由(1)知，an0，所以eq f(an2,an)3.于是数列a2n1是首项

20、a11，公比为3等比数列；数列a2n是首项a22，公比为3的等比数列.因此a2n13n1，a2n23n1.于是S2na1a2a2n(a1a3a2n1)(a2a4a2n)(133n1)2(133n1)3(133n1)eq f(3（3n1）,2).从而S2n1S2na2neq f(3（3n1）,2)23n1eq f(3,2)(53n21).综上所述，Sneq blc(avs4alco1(f(3,2)（53f(n3,2)1），当n是奇数，,f(3,2)（3f(n,2)1），当n是偶数.)考点三 分组求和法1.(2015福建，17)在等差数列an中，a24，a4a715.(1)求数列an的通项公式；(

21、2)设bnn，求b1b2b3b10的值.解(1)设等差数列an的公差为d，由已知得eq blc(avs4alco1(a1d4，,（a13d）（a16d）15，)解得eq blc(avs4alco1(a13，,d1.)所以ana1(n1)dn2.(2)由(1)可得bn2nn，所以b1b2b3b10(21)(222)(233)(21010)(22223210)(12310)eq f(2（1210）,12)eq f(（110）10,2)(2112)55211532 101.2.(2014湖南，16)已知数列an的前n项和Sneq f(n2n,2)，nN*.(1)求数列an的通项公式；(2)设bn(1

22、)nan，求数列bn的前2n项和.解(1)当n1时，a1S11；当n2时，anSnSn1eq f(n2n,2)eq f(（n1）2（n1）,2)n.故数列an的通项公式为ann.(2)由(1)知，bn2n(1)nn.记数列bn的前2n项和为T2n，则T2n(212222n)(12342n).记A212222n，B12342n，则Aeq f(2（122n）,12)22n12，B(12)(34)(2n1)2nn.故数列bn的前2n项和T2nAB22n1n2.变式训练1.(2014北京，15)已知an是等差数列，满足a13，a412，数列bn满足b14，b420，且bnan为等比数列.(1)求数列a

23、n和bn的通项公式；(2)求数列bn的前n项和.解(1)设等差数列an的公差为d，由题意得deq f(a4a1,3)eq f(123,3)3.所以ana1(n1)d3n(n1，2，).设等比数列bnan的公比为q，由题意得q3eq f(b4a4,b1a1)eq f(2012,43)8，解得q2.所以bnan(b1a1)qn12n1.从而bn3n2n1(n1，2，).(2)由(1)知bn3n2n1(n1，2，).数列3n的前n项和为eq f(3,2)n(n1)，数列2n1的前n项和为1eq f(12n,12)2n1.所以，数列bn的前n项和为eq f(3,2)n(n1)2n1.考点四 裂项相消法

24、1.(2015新课标全国，17)Sn为数列an的前n项和已知an0，aeq oal(2,n)2an4Sn3.(1)求an的通项公式；(2)设bneq f(1,anan1)，求数列bn的前n项和解(1)由aeq oal(2,n)2an4Sn3，可知aeq oal(2,n1)2an14Sn13.可得aeq oal(2,n1)aeq oal(2,n)2(an1an)4an1，即2(an1an)aeq oal(2,n1)aeq oal(2,n)(an1an)(an1an)由于an0，可得an1an2.又aeq oal(2,1)2a14a13，解得a11(舍去)，a13.所以an是首项为3，公差为2的等

25、差数列，通项公式为an2n1.(2)由an2n1可知bneq f(1,anan1)eq f(1,（2n1）（2n3）)eq f(1,2)eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,2n1)f(1,2n3).设数列bn的前n项和为Tn，则Tnb1b2bn eq f(1,2)eq blc(avs4alco1(blc(rc)(avs4alco1(f(1,3)f(1,5)blc(rc)(avs4alco1(f(1,5)f(1,7)eq blc rc(avs4alco1(blc(rc)(avs4alco1(f(1,2n1)f(1,2n3) eq f(n,3（2n3）).2.(2011新课标全国，1

26、7)等比数列an的各项均为正数，且2a13a21，aeq oal(2,3)9a2a6.(1)求数列an的通项公式；(2)设bnlog3a1log3a2log3an，求数列eq blcrc(avs4alco1(f(1,bn)的前n项和解(1)设数列an的公比为q.由aeq oal(2,3)9a2a6，得aeq oal(2,3)9aeq oal(2,4)，所以q2eq f(1,9).由条件可知q0，故qeq f(1,3).由2a13a21得2a13a1q1，所以a1eq f(1,3).故数列an的通项公式为aneq f(1,3n).(2)bnlog3a1log3a2log3an(12n)eq f(

27、n（n1）,2)，故eq f(1,bn)eq f(2,n（n1）)2(eq f(1,n)eq f(1,n1)，eq f(1,b1)eq f(1,b2)eq f(1,bn)2eq blc(avs4alco1(blc(rc)(avs4alco1(1f(1,2)blc(rc)(avs4alco1(f(1,2)f(1,3)eq blc rc(avs4alco1(blc(rc)(avs4alco1(f(1,n)f(1,n1)eq f(2n,n1).所以数列eq blcrc(avs4alco1(f(1,bn)的前n项和为eq f(2n,n1).3.(2015安徽，18)已知数列an是递增的等比数列，且a1

28、a49，a2a38.(1)求数列an的通项公式；(2)设Sn为数列an的前n项和，bneq f(an1,SnSn1)，求数列bn的前n项和Tn.解(1)由题设知a1a4a2a38.又a1a49.可解得eq blc(avs4alco1(a11，,a48)或eq blc(avs4alco1(a18，,a41)(舍去).由a4a1q3得公比q2，故ana1qn12n1.(2)Sneq f(a1（1qn）,1q)2n1，又bneq f(an1,SnSn1)eq f(Sn1Sn,SnSn1)eq f(1,Sn)eq f(1,Sn1)，所以Tnb1b2bneq blc(rc)(avs4alco1(f(1,

29、S1)f(1,S2)eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,S2)f(1,S3)eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,Sn)f(1,Sn1)eq f(1,S1)eq f(1,Sn1)1eq f(1,2n11).变式训练1.(2013江西，16)正项数列an满足：aeq oal(2,n)(2n1)an2n0.(1)求数列an的通项公式an；(2)令bneq f(1,（n1）an)，求数列bn的前n项和Tn.解(1)由aeq oal(2,n)(2n1)an2n0，得(an2n)(an1)0.由于an是正项数列，所以an2n.(2)由an2n，bneq f(1,（n1）an)，

30、则bneq f(1,2n（n1）)eq f(1,2)eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,n)f(1,n1)，Tneq f(1,2)eq blc(rc)(avs4alco1(1f(1,2)f(1,2)f(1,3)f(1,n1)f(1,n)f(1,n)f(1,n1)eq f(1,2)eq blc(rc)(avs4alco1(1f(1,n1)eq f(n,2（n1）).2.(2013大纲全国，17)等差数列an中，a74，a192a9.(1)求an的通项公式；(2)设bneq f(1,nan)，求数列bn的前n项和Sn.解(1)设等差数列an的公差为d，则ana1(n1)d.由eq b

31、lc(avs4alco1(a74，,a192a9，)得eq blc(avs4alco1(a16d4，,a118d2（a18d），)解得a11，deq f(1,2).an的通项公式为aneq f(n1,2).(2)bneq f(1,nan)eq f(2,n（n1）)eq f(2,n)eq f(2,n1)，Sneq blc(rc)(avs4alco1(f(2,1)f(2,2)eq blc(rc)(avs4alco1(f(2,2)f(2,3)eq blc(rc)(avs4alco1(f(2,n)f(2,n1)eq f(2n,n1).3.在数列an中，a11，当n2时，其前n项和Sn满足Seq oal

32、(2,n)aneq blc(rc)(avs4alco1(Snf(1,2).(1)求Sn的表达式；(2)设bneq f(Sn,2n1)，求bn的前n项和Tn.答案（1）可求得（2）考点五 倒序相加法1.已知函数f(x)eq f(1,4x2)(xR)证明：f(x)f(1x)eq f(1,2)；变式训练1.设f(x)eq f(4x,4x2)，若Sf(eq f(1,2 015)f(eq f(2,2 015)f(eq f(2 014,2 015)，则S_.考点六 并项求和1.(2012新课标，16)数列an满足an1(1)nan2n1，则an的前60项和为_.理科解析当n2k时，a2k1a2k4k1，当

33、n2k1时，a2ka2k14k3，a2k1a2k12，a2k3a2k12，a2k1a2k3，a1a5a61.a1a2a3a60(a2a3)(a4a5)(a60a61)3711(2601)eq f(30（3119）,2)30611 830.答案1 830文科解析an1(1)nan2n1，a21a1，a32a1，a47a1，a5a1，a69a1，a72a1，a815a1，a9a1，a1017a1，a112a1，a1223a1，a57a1，a58113a1，a592a1，a60119a1，a1a2a60(a1a2a3a4)(a5a6a7a8)(a57a58a59a60)102642234eq f(1

34、5（10234）,2)1 830.答案D2.(2014山东，19)在等差数列an中，已知公差d2，a2是a1与a4的等比中项.(1)求数列an的通项公式；(2)设bn，记Tnb1b2b3b4(1)nbn，求Tn.解(1)由题意知(a1d)2a1(a13d)，即(a12)2a1(a16)，解得a12.所以数列an的通项公式为an2n.(2)由题意知bnaeq f(n（n1）,2)n(n1).所以Tn122334(1)nn(n1).因为bn1bn2(n1)，可得当n为偶数时，Tn(b1b2)(b3b4)(bn1bn)48122neq f(f(n,2)（42n）,2)eq f(n（n2）,2)，当n

35、为奇数时，TnTn1(bn)eq f(（n1）（n1）,2)n(n1)eq f(（n1）2,2).所以Tneq blc(avs4alco1(f(（n1）2,2)，n为奇数，,f(n（n2）,2)，n为偶数.)变式训练1.(2014山东理，19)已知等差数列an的公差为2，前n项和为Sn，且S1，S2，S4成等比数列.(1)求数列an的通项公式；(2)令bn(1)n1eq f(4n,anan1)，求数列bn的前n项和Tn.解(1)因为S1a1，S22a1eq f(21,2)22a12，S44a1eq f(43,2)24a112，由题意得(2a12)2a1(4a112)，解得a11，所以an2n1

36、.(2)bn(1)n1eq f(4n,anan1)(1)n1eq f(4n,（2n1）（2n1）)(1)n1eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,2n1)f(1,2n1).当n为偶数时，Tneq blc(rc)(avs4alco1(1f(1,3)eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,3)f(1,5)eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,2n3)f(1,2n1)eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,2n1)f(1,2n1)1eq f(1,2n1)eq f(2n,2n1).当n为奇数时，Tneq blc(rc)(avs4alco1(1f(1,3)eq

37、 blc(rc)(avs4alco1(f(1,3)f(1,5)eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,2n3)f(1,2n1)eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,2n1)f(1,2n1)1eq f(1,2n1)eq f(2n2,2n1).所以Tneq blc(avs4alco1(f(2n2,2n1)，n为奇数，,f(2n,2n1)，n为偶数.)eq blc(rc)(avs4alco1(或Tnf(2n1（1）n1,2n1)2.(2013湖南，15)设Sn为数列an的前n项和，Sn(1)naneq f(1,2n)，nN*，则：(1)a3_；(2)S1S2S100_.解析(1

38、)Sn(1)naneq f(1,2n).当n3时，a1a2a3a3eq f(1,8)，当n4时，a1a2a3a4a4eq f(1,16)，a1a2a3eq f(1,16)，由知a3eq f(1,16).(2)Sn(1)naneq f(1,2n)当n为奇数时，eq blc(avs4alco1(Sn1an1f(1,2n1)，,Snanf(1,2n)，)两式相减得an1an1aneq f(1,2n1)，aneq f(1,2n1)；当n为偶数时，eq blc(avs4alco1(Sn1an1f(1,2n1)，,Snanf(1,2n)，)两式相减得an1an1aneq f(1,2n1)，即an2an1e

39、q f(1,2n1)eq f(1,2n)，故aneq blc(avs4alco1(blc(rc)(avs4alco1(f(1,2)sup12(n1)，n为奇数，,blc(rc)(avs4alco1(f(1,2)sup12(n)，n为偶数.)Sneq blc(avs4alco1(f(1,2n1)，n为奇数，,0，n为偶数.)S1S2S100eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,22)f(1,24)f(1,26)f(1,2100)eq f(f(1,4)blc(rc)(avs4alco1(1f(1,2100),1f(1,4)eq f(1,3)eq blc(rc)(avs4alco1(1f

40、(1,2100)eq f(1,3)eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,2100)1).答案(1)eq f(1,16)(2)eq f(1,3)eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,2100)1)考点七 数列|an|的前n项和问题1.(2011北京，11)在等比数列an中，若a1eq f(1,2)，a44，则公比q_；|a1|a2|an|_解析q3eq f(a4,a1)8，q2，则aneq f(1,2)(2)n1，|a1|a2|a3|an|eq f(1,2)122n2eq f(f(1,2)（12n）,12)2n1eq f(1,2).答案22n1eq f(1,2)变式训练1

41、.(2013浙江，19)在公差为d的等差数列an中，已知a110，且a1，2a22，5a3成等比数列.(1)求d，an；(2)若d0，求|a1|a2|a3|an|.解(1)由题意得5a3a1(2a22)2，即d23d40.故d1或d4，ann11，nN*或an4n6，nN*.(2)设数列an的前n项和为Sn，d0，由(1)得d1，ann11，则当n11时，|a1|a2|a3|an|Sneq f(1,2)n2eq f(21,2)n.当n12时，|a1|a2|a3|an|Sn2S11eq f(1,2)n2eq f(21,2)n110，综上所述：|a1|a2|a3|an|eq blc(avs4alc

42、o1(f(1,2)n2f(21,2)n，n11，,f(1,2)n2f(21,2)n110，n12.)考点八 周期数列1.已知数列2 008,2 009,1，2 008，2 009，这个数列的特点是从第二项起，每一项都等于它的前后两项之和，则这个数列的前2 014项之和S2 014等于()A2 008 B2 010 C1 D0答案 B变式训练1.(2012福建)数列an的通项公式anncoseq f(n,2)，其前n项和为Sn，则S2 012等于()A.1 006 B.2 012 C.503 D.0答案 A考点九 数列与不等式的应用 1(2014新课标全国，17)已知数列an满足a11，an13

43、an1.(1)证明eq blcrc(avs4alco1(anf(1,2)是等比数列，并求an的通项公式；(2)证明eq f(1,a1)eq f(1,a2)eq f(1,an)eq f(3,2).证明(1)由an13an1得an1eq f(1,2)3eq blc(rc)(avs4alco1(anf(1,2)又a1eq f(1,2)eq f(3,2)，所以eq blcrc(avs4alco1(anf(1,2)是首项为eq f(3,2)，公比为3的等比数列aneq f(1,2)eq f(3n,2)，因此an的通项公式为aneq f(3n1,2).(2)由(1)知eq f(1,an)eq f(2,3n

44、1).因为当n1时，3n123n1，所以eq f(1,3n1)eq f(1,23n1).于是eq f(1,a1)eq f(1,a2)eq f(1,an)1eq f(1,3)eq f(1,3n1)eq f(3,2)eq blc(rc)(avs4alco1(1f(1,3n)eq f(3,2).所以eq f(1,a1)eq f(1,a2)eq f(1,an)60n800？若存在，求n的最小值；若不存在，说明理由解(1)设数列an的公差为d，依题意，2，2d，24d成等比数列，故有(2d)22(24d)，化简得d24d0，解得d0或d4.当d0时，an2；当d4时，an2(n1)44n2，从而得数列a

45、n的通项公式为an2或an4n2.(2)当an2时，Sn2n.显然2n60n800成立当an4n2时，Sneq f(n2（4n2）,2)2n2.令2n260n800，即n230n4000，解得n40或n60n800成立，n的最小值为41.综上，当an2时，不存在满足题意的n；当an4n2时，存在满足题意的n，其最小值为41.2(2013广东，19)设数列an的前n项和为Sn.已知a11，eq f(2Sn,n)an1eq f(1,3)n2neq f(2,3)，nN*.(1)求a2的值；(2)求数列an的通项公式；(3)证明：对一切正整数n，有eq f(1,a1)eq f(1,a2)eq f(1,

46、an)eq f(7,4).(1)解依题意，2S1a2eq f(1,3)1eq f(2,3)，又S1a11，所以a24.(2)解由题意2Snnan1eq f(1,3)n3n2eq f(2,3)n，当n2时，2Sn1(n1)aneq f(1,3)(n1)3(n1)2eq f(2,3)(n1)，两式相减得2annan1(n1)aneq f(1,3)(3n23n1)(2n1)eq f(2,3)，整理得(n1)annan1n(n1)，即eq f(an1,n1)eq f(an,n)1.又eq f(a2,2)eq f(a1,1)1，故数列eq f(an,n)是首项为eq f(a1,1)1，公差为1的等差数列

47、，所以eq f(an,n)1(n1)1n.所以ann2.(3)证明当n1时，eq f(1,a1)1eq f(7,4)；当n2时，eq f(1,a1)eq f(1,a2)1eq f(1,4)eq f(5,4)eq f(7,4)；当n3时，eq f(1,an)eq f(1,n2)eq f(1,（n1）n)eq f(1,n1)eq f(1,n)，此时eq f(1,a1)eq f(1,a2)eq f(1,an)1eq f(1,4)eq f(1,32)eq f(1,42)eq f(1,n2)1eq f(1,4)eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,2)f(1,3)eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,3)f(1,4)eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,n1)f(1,n)1eq f(1,4)eq f(1,2)eq f(1,n)eq f(7,4