高等代数复习提纲(下期)

1、v1.0可编辑可修改 第五章二次型二次型及其矩阵表示二次型的定义、二次型的矩阵(是对称矩阵)及矩阵表示.注：二次型的矩阵表示、内积的矩阵表示、双线性函数的矩阵表示的对比.二次型的非退化线性替换的定义；经非退还线性替换后，新老两个 二次型的矩阵的关系(会推导).矩阵合同的定义.注：为什么要引入该定义.标准形二次型的标准形的定义及存在性(不唯一)，任一对称矩阵都与对角矩 阵合同.配方法化二次型为标准形，合同变换法化对称矩阵为对角阵.唯一性复二次型的规范形.实二次型的规范形，惯性定理说明实二次型的规范形的存在性和唯一 性，实二次型的正惯性指数，负惯性指数以及符号差的定义.实二次型的规范形 的一些应用

2、(书上哪些习题可以用此来解答).复对称矩阵和实对称矩阵分别与怎样的最简单的对角阵合同.正定二次型实二次型和实对称矩阵的分类：正定，半正定，负定，半负定，不定.正定矩阵的一些等价条件：(1)正定矩阵的定义；(2)合同于单位矩阵；(3)所有顺序主子式大于0;(4)所有特征值大于0.正定矩阵的一些必要但不充分条件：（1）|A|0；（2）所有对角线上的元素都大于0; （3）所有主子式都大于0.注：这些等价、必要条件的推导.还要会用实对称矩阵正交相似于对角阵这一 结果来判定实对称矩阵的正定性.列举出一些半正定矩阵的等价条件和必要条件.第六章线性空间.集合映射单射、满射、双射的定义及证明；可逆映射的定义及

3、等价条件（即双射）.线性空间的定义与简单性质线性空间的定义，即非空集合，加法运算和数乘运算（封闭）,8条运算规则.维数、基与坐标维数、基与坐标的定义（会求给定空间的维数、基以及给定向量在给定基 下的坐标）.一些常见空间的基和维数，例如Pn , Pxn , Psn, Pnn中全体对称 （反对称/上三角形）矩阵形成的线性空间，L（V）等.基变换与坐标变换不同基之间的过渡矩阵，一个向量在不同基下的坐标之间的关系（会推导）.注：（1）要联系线性变换在某组基下的矩阵、一个向量在线性变换作用下的像的 坐标;（2） P271 的习题2.线性子空间线性子空间的定义及判定（如何判定）.生成子空间的定义、维数、基

4、（如何求）.扩基定理.与第九章的扩充为正交基进行对比.书上哪些定理的证明和习题的证明用到扩基定理.子空间的交与和交空间、和空间的定义以及这两子空间的元素的特征.会求两个生成子空间的交空间、和空间.维数公式（会证明）及其应用.子空间的直和子空间的直和的定义（为什么要引入该定义）.两个子空间的和是直和的判别条件（列举出4个，并知道哪些是常用的）.如何证明V V V2多个子空间是直和的判别条件（列举出 3个，并会证明）.余子空间的定义和构造,（余子空间是否唯一与正交补进行比较）,线性空间的同构线性空间同构的定义，并会用该定义证明两线性空间同构，会构造V与Pn之间的同构映射，知道两线性空间同构的等价条

5、件为它们的维数相等 .第七章线性变换,线性变换的定义线性变换的定义（熟记），列举出一些线性变换的简单性质并会证明.,线性变换的运算线性变换的加法、减法、数乘、乘法、逆、方幕的定义及运算规律；线性变换的 多项式.注：与矩阵的相应运算进行比较.,线性变换的矩阵任意n个向量可唯一确定一个线性变换（如何确定见P283定理1）.线性变换在某组基下的矩阵的定义，线性变换与矩阵的对应关系：线性 变换的和、差、数乘、乘积、逆对应矩阵的和、差、数乘、乘积、逆，单位变换、 零变换分别对应单位矩阵和零矩阵（会用数学式子表示这种对应，会推导）.向量的坐标与A的坐标之间的关系，同一个线性变换在不同基下的矩 阵之间的关系

6、（会推导）.两个矩阵相似的定义（为什么引入该定义），如何判别两个矩阵相似.特征值与特征向量线性变换和矩阵的特征值和特征向量的定义（为什么要引入该定义）.如何求线性变换和矩阵的特征值和特征向量线性变换和矩阵的特征值和特征向量 之间的关系如何（掌握求特征值和特征向量的步骤）线性变换和矩阵的特征多项式的定义.相似矩阵有哪些相似不变量，例 如：行列式、特征多项式、特征值、最小多项式、不变因子、行列式因子、初等 因子等.哈密顿-凯莱定理及其应用（例如：P309定理12, P326习题3）,矩阵的迹 的定义，列举出一些矩阵迹的性质（例如：.迹是所有特征值的和； tr（AB尸tr（BA）;2、tr（A ）

7、tr（AA）.对角矩阵矩阵特征值特征向量的一些性质（不同特征值的特征向量线性无关；实对称矩阵的属于不同特征值的特征向量正交；属于不同特征值的特征向量的和不是 特征向量）列举出矩阵可对角化的一些充要条件和一些充分条件.充要条件：（1）有n个线性无关的特征向量；（2）所有特征值的重数与其几何重数相等（特征值的几何重数指的是(E A)X 0的基础解系所含解向量的个数)；(3)最小多项式没有重根；(4)初等因子都是1次因式.若矩阵可对角化，如何对角化.线性变换的值域与核线性变换的值域和核的定义,值域和核是子空间，它们中的元素有什么特 征值域如何用生成子空间来表示值域的维数 (线性变换的秩)与线性变换的

8、 矩阵的秩的关系如何，值域的维数与核的维数(线性变换的零度)的和为多少并 会证明这两种关系.,不变子空间不变子空间的定义,线性变换在不变子空间上的限制成为该子空间上的一 个线性变换，该限制与原变换之间的区别是什么举出一些特殊的不变子空间.会用定义证明一个子空间是一个线性变换的不变子空间.不变子空间在矩阵A相似于一个准对角矩阵方面的应用.,若尔当标准形介绍若尔当块、若尔当矩阵的定义，任何方阵都唯一存在若尔当标准形，即相似于一个若尔当矩阵.,最小多项式最小多项式的定义，性质，求法，与不变因子的关系，应用 .第八章-矩阵,矩阵A的特征矩阵及其初等变换，数字矩阵相似的条件,A的不变因子、行列式 因子、

9、初等因子、最小多项式的求法及其关系，以及若尔当标准形的求法.的有理标准形的求法.利用若尔当块、若尔当矩阵的性质以及A相似于一个若尔当矩阵证明某些命题.第九章欧几里得空间.定义及基本性质内积的定义及其简单性质，欧式空间的定义，向量的正交的定义，会求向 量的内积、长度、夹角.柯西-布涅科夫斯基不等式、三角不等式，勾股定理（会推导）.内积的矩阵表示（会推导）基在某内积下的度量矩阵的定义及其性质（正定），不同基在同一内积下的度量矩阵之间的关系（合同）（会推导）.标准正交基标准正交基的定义，如何判定一组基是标准正交基标准正交基的度量矩 阵，内积在标准正交基下的矩阵表示.正交向量组扩充为正交基（或单位正交

10、向量组扩充为标准正交基）的应用 （书上有哪些结论的证明和习题的证明用到了该性质）掌握施密特正交化过程及相应的向量表示，即：（1, 2,HL n） （ 1, 2,Hl n）T其中1, 2,|, n是任一组基，1, 2,|, n是由1, 2, | , n经施密特正交化后得到 的标准正交基，矩阵T是一个对角线上元素都大于0的上三角形矩阵。正交矩阵 的分解（见P394习题14）.两组标准正交基之间的过渡矩阵的性质（即 AA =日（会才t导）.正交矩阵的定义，正交矩阵的性质（例如：两个正交矩阵的乘积还是正交 阵，正交矩阵的逆、转置和伴随矩阵也还是正交矩阵， 正交矩阵的行列式为正负 1,正交矩阵的特征值为

11、正负1）.,同构欧式空间的同构的定义及等价条件（与线性空间同构比较）.正交变换正交变换的定义，正交变换的判定条件，正交变换与正交矩阵之间的对应 关系.正交变换的分类，两类正交变换都有些什么性质（例如奇数维欧几里得空 间的第一类正交变换，必以1为特征值，偶数维欧几里得空间的第二类正交变换， 必以1为特征值）镜面反射的定义.子空间向量与子空间的正交，子空间与子空间的正交 .正交补的定义、表示（正交补中元素的特征）及性质.实对称矩阵的标准形实（反）对称矩阵的性质（例如：实对称矩阵的特征值都是实数； 实对称矩阵不同特征值所对应的特征向量必正交；实对称矩阵必可正交对角化； 实反对称矩阵的特征值都是零或纯虚数）.（反）对称变换的定义，（反）对称变换与（反）对称矩阵之间的对应 关系.对称变换的性质.实对称矩阵的正交相似对角矩阵的求解过程以及运用11A T T TT（或TAT T AT ）证明某些问题，其中T是正交矩阵， 是对角矩阵，其对角线上元素为 A的特 征值.实二次型经正交线性替换化为标准形.向量到子空间的距离、最小二乘法向量到子空间各向量的距离以垂线为最短.最小二乘解的求法.酉空间介绍酉空间里的相关概念