万有引力与曲线运动

1、万有引力与曲线运动第1页，共23页，2022年，5月20日，23点49分，星期六1、开普勒第一定律 （轨道定律） 所有的行星围绕太阳运动的轨道都是椭圆，太阳处在所有椭圆的一个焦点上。2、开普勒第二定律 （面积定律）3、开普勒第三定律 （周期定律） 所有行星的轨道的半长轴的三次方跟公转周期的二次方的比值都相等。 对于每一个行星而言，太阳和行星的联线在相等的时间内扫过相等的面积。一、开普勒定律 要点透析第2页，共23页，2022年，5月20日，23点49分，星期六二.万有引力定律1、内容： 宇宙间的一切物体都是互相吸引的，两个物体间的引力大小，跟它们的质量的乘积成正比，跟它们的距离的平方成反比 2

2、、公式： 3、适用条件： 严格地说公式只适用于质点间的相互作用;当两个物体间的距离远远大于物体本身的大小时，公式也可近似使用，但此时r应为两物体重心间的距离对于均匀的球体,r是两球心间的距离 要点透析第3页，共23页，2022年，5月20日，23点49分，星期六4、万有引力和重力 重力实际上是万有引力的一个分力另一个分力就是物体随地球自转时需要的向心力，如图所示， 地球表面物体的重力随纬度的变化而变化，从赤道到两极物体的重力逐渐增大通常的计算中因重力和万有引力相差不大，而认为两者相等，即 要点透析第4页，共23页，2022年，5月20日，23点49分，星期六 在地球的同一纬度处，物体的重力离地

3、面高度的增大而减小， 即在赤道处，物体的万有引力分解为两个分力F向和mg刚好在一条直线上. 即 FF向mg F向 mR自2 要点透析在地球的两极,万有引力等于地球对物体的重力.即第5页，共23页，2022年，5月20日，23点49分，星期六 要点透析三、人造地球卫星1、卫星的发射：三种宇宙速度第一宇宙速度（环绕速度）： v1=7.9km/s，人造地球卫星的最小发射速度。也是人造卫星绕地球做匀速圆周运动的最大速度。第二宇宙速度（脱离速度）： v2=11.2km/s，使卫星挣脱地球引力束缚的最小发射速度。第三宇宙速度（逃逸速度）： v3=16.7km/s，使卫星挣脱太阳引力束缚的最小发射速度。第6

4、页，共23页，2022年，5月20日，23点49分，星期六第一宇宙速度的推导方法一：地球对卫星的万有引力就是卫星做圆周运动的向心力当h，v 在地球表面附近卫星的速度是它运行的最大速度。其大小为rh（地面附近）时， =7.9103m/s 方法二：地面附近物体的重力近似地等于地球对它的万有引力，重力就是卫星做圆周运动的向心力当rh时ghg 所以v1 =7.9103m/s 要点透析第7页，共23页，2022年，5月20日，23点49分，星期六2、在轨卫星的线速度、角速度、加速度与高度的关系 （1）由 ，得 当h，v （2）由 =m2（r+h），得= 当h， （3）由 ， 得a= 当h，a 要点透析第

5、8页，共23页，2022年，5月20日，23点49分，星期六3、两种最常见的卫星近地卫星。 近地卫星的轨道半径r可以近似地认为等于地球半径R.其线速度大小为v1=7.9103m/s； 周期为T=5.06103s=84min。 它们分别是绕地球做匀速圆周运动的人造卫星的最大线速度和最小周期。 神舟号飞船的运行轨道离地面的高度为340km，线速度约7.6km/s，周期约90min。 要点透析第9页，共23页，2022年，5月20日，23点49分，星期六 同步卫星。 “同步”的含义就是和地球保持相对静止，所以其周期等于地球自转周期，即T=24h。由式 可得， 同步卫星离地面高度为 =358107 m

6、 同步卫星轨道是唯一的,离地面的高度三万六千公里，而且该轨道在地球赤道的正上方，卫星运转方向必跟地球自转方向一致即由西向东。 如果仅与地球自转周期相同而不定点于赤道上空，该卫星就不能与地面保持相对静止。 要点透析第10页，共23页，2022年，5月20日，23点49分，星期六4、卫星的超重和失重（1）卫星进入轨道前加速过程，卫星上物体超重 (2)卫星进入轨道后正常运转时，卫星上物体完全失重5.人造卫星如何变轨 卫星从椭圆轨道变到圆轨道或从圆轨道变到椭圆轨道是卫星技术的一个重要方面，卫星定轨和返回都要用到这个技术 以发射同步卫星例，先进入一个近地的圆轨道，然后在P点点火加速，进入椭圆形转移轨道（

7、该椭圆轨道的近地点为近地圆轨道上的P，远地点为同步轨道上的Q），到达远地点时再次自动点火加速，进入同步轨道。 QPv1第11页，共23页，2022年，5月20日，23点49分，星期六 【例1】某物体在地面上受到的重力为160 N，将它放置在卫星中，在卫星以加速度ag随火箭加速上升的过程中，当物体与卫星中的支持物的相互压力为90 N时，求此时卫星距地球表面有多远？（地球半径R6.4103km,g取10m/s2）解析： 设此时火箭上升到离地球表面的高度为h，火箭上物体受到的支持力为N,物体受到的重力为mg/，据牛顿第二定律Nmg/=ma 在h高处mg/ 在地球表面处mg= 把代入得 =1.9210

8、4 km. 典例精析一、万有引力公式的基本应用第12页，共23页，2022年，5月20日，23点49分，星期六 【例2】有人利用安装在气球载人舱内的单摆来确定气球的高度。已知该单摆在海平面处的周期是T0。当气球停在某一高度时，测得该单摆周期为T。求该气球此时离海平面的高度h。把地球看作质量均匀分布的半径为R的球体。解析： 根据单摆周期公式： 其中L是单摆长度，g0和g分别是两地点的重力加速度。 根据万有引力公式得 其中G是引力常数，M是地球质量。 由以上各式解得 典例精析第13页，共23页，2022年，5月20日，23点49分，星期六二、处理天体问题的基本思路 由于运行中的天体，万有引力全部提

9、供向心力，因此所有天体轨道圆心都在中心天体中心解关于人造卫星问题的基本思路：视天体运动为匀速圆周运动；万有引力充当向心力；根据已知条件选择合适的向心加速度公式，以便于计算；利用代换式gR2=GM推导化简运算过程。注意：人造卫星的轨道半径与它的高度不同离地面不同高度，重力加速度不同， 典例精析第14页，共23页，2022年，5月20日，23点49分，星期六 【例l】设人造地球卫星绕地球做匀速圆周运动，卫星离地面越高，则卫星的（ ）A速度越大 B角速度越大 C向心加速度越大； D周期越长 解析： （1）v与 r的关系： （2）与r的关系： （3）a与r的关系： a=GM/r2，即a1/r2。 卫星

10、绕轨道半径 r运转时的向心加速度与该处的重力加速度g/相等，所以 g/a， g/1/r2， （4）T与r的关系： D 典例精析第15页，共23页，2022年，5月20日，23点49分，星期六 【例2】设地球的半径为R0，质量为m的卫星在距地面R0高处做匀速圆周运动，地面的重力加速度为g0，则以下说法错误的是（ ）A.卫星的线速度为 B.卫星的角速度为 C.卫星的加速度为 D.卫星的周期 解析： 在地面： ;在高空： 此重力加速度即为卫星的向心加速度故C选项错误 g=g0； 典例精析第16页，共23页，2022年，5月20日，23点49分，星期六 【例3】 如图所示，某次发射同步卫星时，先进入一

11、个近地的圆轨道，然后在P点点火加速，进入椭圆形转移轨道（该椭圆轨道的近地点为近地圆轨道上的P，远地点为同步轨道上的Q），到达远地点时再次自动点火加速，进入同步轨道。设卫星在近地圆轨道上运行的速率为v1，在P点短时间加速后的速率为v2，沿转移轨道刚到达远地点Q时的速率为v3，在Q点短时间加速后进入同步轨道后的速率为v4。试比较v1、v2、v3、v4的大小，并用小于号将它们排列起来_。Qv2v3Pv4v1 典例精析第17页，共23页，2022年，5月20日，23点49分，星期六解析：根据题意有v2v1、v4v3,而v1、v4是绕地球做匀速圆周运动的人造卫星的线速度，由式知v1v4,故结论为v2v1

12、v4v3。卫星沿椭圆轨道由PQ运行时，由机械能守恒可知，其重力势能逐渐增大，动能逐渐减小，因此有v2v3。 卫星的回收实际上是卫星发射过程的逆过程。 典例精析Qv2v3Pv4v1第18页，共23页，2022年，5月20日，23点49分，星期六 【例4】在天体运动中，将两颗彼此相距较近的行星称为双星。它们在相互的万有引力作用下间距保持不变，并沿半径不同的同心圆轨道做匀速圆周运动。如果双星间距为L，质量分别为M1和M2，试计算：（1）双星的轨道半径；（2）双星的运行周期；（3）双星的线速度。 典例精析第19页，共23页，2022年，5月20日，23点49分，星期六 解:因为双星受到同样大小的万有引

13、力作用，且保持距离不变，绕同一圆心做匀速圆周运动，所以具有周期、频率和角速度均相同；而轨道半径、线速度不同的特点。（1）根据万有引力定律及可得： 典例精析第20页，共23页，2022年，5月20日，23点49分，星期六（2）同理，还有,所以，周期为（3）根据线速度公式 典例精析第21页，共23页，2022年，5月20日，23点49分，星期六 【例5】2003年10月15日上午9时，我国在酒泉卫星发射中心成功发射“神舟五号”载人航天飞船，这是我国首次实现载人航天飞行，也是全世界第三个具有发射载人航天器能力的国家“神舟五号”飞船长8. 86 m ;质量为7990 kg.飞船在达到预定的椭圆轨道后运行的轨道倾角为42. 4 0，近地点高度200 km，远地点高度约350 km.实行变轨后，进入离地约350 km的圆轨道上运行，飞船运动14圈后，于16日凌晨在内蒙古成功着陆（地球半径Ro=6.4106 m，地球表面重力加速度g=10 m/