三重积分及其计算

1、三重积分及其计算第1页，共41页，2022年，5月20日，0点33分，星期日1. 非均匀分布立体的质量设有空间立体, 当的质量是均匀分布时, 则的质量M= 的体密度 的体积.若的质量不是均匀分布的, 则不能上述方式算质量M . 设空间立体. 其质量非均匀分布, 体密度 (x , y , z)连续, 求的质量 M.一、三重积分的概念及性质第2页，共41页，2022年，5月20日，0点33分，星期日(i) 将分成 n 个小立体 1, 2, n ,记 Vi 表示的i 的体积, i = 1, 2, , n. 由于 (x , y , z)连续, 从而当i很小时, 在 i 上 (x , y , z) 的变

2、化不大.可近似看作不变.第3页，共41页，2022年，5月20日，0点33分，星期日(ii) 取 ( i , i , i) Di , 以 ( i , i , i )作为 i 的体密度. 从而, i的质量mi ( i , i , i) V i(iii) 因此, 的质量(iv) 第4页，共41页，2022年，5月20日，0点33分，星期日2. 三重积分的定义第5页，共41页，2022年，5月20日，0点33分，星期日第6页，共41页，2022年，5月20日，0点33分，星期日三重积分定义的几点说明第7页，共41页，2022年，5月20日，0点33分，星期日第8页，共41页，2022年，5月20日，

3、0点33分，星期日第9页，共41页，2022年，5月20日，0点33分，星期日3. 三重积分的性质性质 1性质 2第10页，共41页，2022年，5月20日，0点33分，星期日性质 3性质 4性质 5第11页，共41页，2022年，5月20日，0点33分，星期日性质 6性质 5第12页，共41页，2022年，5月20日，0点33分，星期日解例第13页，共41页，2022年，5月20日，0点33分，星期日二. 直角坐标系下三重积分的计算第14页，共41页，2022年，5月20日，0点33分，星期日第15页，共41页，2022年，5月20日，0点33分，星期日或其它坐标面上第16页，共41页，20

4、22年，5月20日，0点33分，星期日注意第17页，共41页，2022年，5月20日，0点33分，星期日解例第18页，共41页，2022年，5月20日，0点33分，星期日例解第19页，共41页，2022年，5月20日，0点33分，星期日例解第20页，共41页，2022年，5月20日，0点33分，星期日三重积分也可化为一个二重积分和一个定积分 :(x, y)D(z), z1zz20 xzyz2zz2D(z)注意第21页，共41页，2022年，5月20日，0点33分，星期日计算其中 是由 z=x2+y2 和 z=1所围成的闭区域.xyz01D(z)1解：D(z): x2+y2zz0, 1例第22页

5、，共41页，2022年，5月20日，0点33分，星期日计算zxy0111其中 是由平面 x+y+z=1与三个坐标面所围闭区域.例D(x): 0 y 1x, 解： x : 0 x 1， 0 z 1xy.第23页，共41页，2022年，5月20日，0点33分，星期日三. 三重积分的换元法 雅可比行列式的绝对值第24页，共41页，2022年，5月20日，0点33分，星期日注意! ?第25页，共41页，2022年，5月20日，0点33分，星期日第26页，共41页，2022年，5月20日，0点33分，星期日第27页，共41页，2022年，5月20日，0点33分，星期日例解第28页，共41页，2022年，

6、5月20日，0点33分，星期日例解第29页，共41页，2022年，5月20日，0点33分，星期日第30页，共41页，2022年，5月20日，0点33分，星期日例解第31页，共41页，2022年，5月20日，0点33分，星期日第32页，共41页，2022年，5月20日，0点33分，星期日第33页，共41页，2022年，5月20日，0点33分，星期日第34页，共41页，2022年，5月20日，0点33分，星期日用球面坐标计算其中画 图。确定 r， ， 的上下限。(1) 将 向 xoy 面投影，得(2) 任取一过 z 轴作半平面，得(3) 在半平面上，任取一过原点作射线，得例解第35页，共41页，2022年，5月20日，0点33分，星期日(3) 在半平面上，任取一过原点作射线，得即第36页，共41页，2022年，5月20日，0点33分，星期日第37页，共41页，2022年，5月20日，0点33分，星期日计算其中 由曲面和围成。将 向 xoy 面投影，得 任取一过 z在半平面上，任取一过原点作射线，得轴作半平面，得解例第38页，共41页，2022年，5月20日，0点33分，星期日即在半平面上，任取一