高中数学必修选修全部知识点精华归纳总结

1、高中数学必修+选修知识点概括高三第一轮复习资料序言课程内容：必修课程由5个模块构成：必修1：会集、函数看法与基本初等函数（指、对、幂函数）必修2：立体几何初步、平面分析几何初步。必修3：算法初步、统计、概率。必修4：基本初等函数（三角函数）、平面向量、三角恒等变换。必修5：解三角形、数列、不等式。选修课程有4个系列：系列1：由2个模块构成。选修11：常用逻辑用语、圆锥曲线与方程、导数及其应用。选修12：统计事例、推理与证明、数系的扩充与复数、框图系列2：由3个模块构成。选修21：常用逻辑用语、圆锥曲线与方程、空间向量与立体几何。选修22：导数及其应用，推理与证明、数系的扩大与复数选修23：计数

2、原理、随机变量及其分布列，统计事例。系列3：由6个专题构成。选修31：数学史选讲。选修32：信息安全与密码。选修33：球面上的几何。选修34：对称与群。选修35：欧拉公式与闭曲面分类。选修36：三均分角与数域扩大。系列4：由10个专题构成。选修41：几何证明选讲。选修42：矩阵与变换。选修43：数列与差分。选修44：坐标系与参数方程。选修45：不等式选讲。选修46：初等数论初步。选修47：精选法与试验设计初步。选修48：兼顾法与图论初步。选修49：风险与决策。选修410：开关电路与布尔代数。2重难点及考点：重点：函数，数列，三角函数，平面向量，圆锥曲线，立体几何，导数难点：函数、圆锥曲线高考相

3、关考点：会集与简单逻辑:会集的看法与运算、简单逻辑、充要条件函数：映照与函数、函数分析式与定义域、值域与最值、反函数、三大性质、函数图象、指数与指数函数、对数与对数函数、函数的应用数列：数列的相关看法、等差数列、等比数列、数列乞降、数列的应用三角函数：相关看法、同角关系与引诱公式、和、差、倍、半公式、求值、化简、证明、三角函数的图象与性质、三角函数的应用平面向量：相关看法与初等运算、坐标运算、数目积及其应用不等式：看法与性质、均值不等式、不等式的证明、不等式的解法、绝对值不等式、不等式的应用直线和圆的方程：直线的方程、两直线的地址关系、线性规划、圆、直线与圆的地址关系圆锥曲线方程：椭圆、双曲线

4、、抛物线、直线与圆锥曲线的地址关系、轨迹问题、圆锥曲线的应用直线、平面、简单几何体：空间直线、直线与平面、平面与平面、棱柱、棱锥、球、空间向量摆列、组合和概率：摆列、组合应用题、二项式定理及其应用概率与统计：概率、分布列、希望、方差、抽样、正态分布导数：导数的看法、求导、导数的应用复数：复数的看法与运算必修1数学知识点第一章：会集与函数看法、会集1、把研究的对象统称为元素，把一些元素构成的整体叫做会集。会集三因素：确定性、互异性、无序性。2、只要构成两个会集的元素是相同的，就称这两个会集相等。3、常有会集：正整数会集：N*或N，整数会集：Z，有理数会集：Q，实数会集：R.4、会集的表示方法：列

5、举法、描述法.、会集间的基本关系1、一般地，关于两个会集A、B，假如会集A中任意一个元素都是会集B中的元素，则称会集A是集合B的子集。记作AB.2、假如会集AB，但存在元素xB，且xA，则称会集A是会集B的真子集.记作：AB.3、把不含任何元素的会集叫做空集.记作：.并规定：空会集是任何会集的子集.4、假如会集A中含有n个元素，则会集A有2n个子集，2n1个真子集.、会集间的基本运算1、一般地，由所有属于会集A或会集B的元素构成的会集，称为会集A与B的并集.记作：AB.2、一般地，由属于会集A且属于会集B的所有元素构成的会集，称为A与B的交集.记作：AB.3、全集、补集？CUAx|xU,且xU

6、、函数的看法1、设A、B是非空的数集，假如依据某种确定的对应关系f，使关于会集A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数fx和它对应，那么就称f:AB为会集A到会集B的一个函数，记作：yfx,xA.2、一个函数的构成因素为：定义域、对应关系、值域.假如两个函数的定义域相同，而且对应关系完整一致，则称这两个函数相等.、函数的表示法1、函数的三种表示方法：分析法、图象法、列表法.、单调性与最大（小）值1、注意函数单调性的证明方法：(1)定义法：设x1、x2a,b,x1x2那么f(x1)f(x2)0f(x)在a,b上是增函数；f(x1)f(x2)0f(x)在a,b上是减函数.步骤：取值作差变形定

7、号判断格式：解：设x1,x2a,b且x1x2，则：fx1fx2=导数法：设函数yf(x)在某个区间内可导，若f(x)0，则f(x)为增函数；若f(x)0，则f(x)为减函数.、奇偶性1、一般地，假如关于函数fx的定义域内任意一个x，都有fxfx，那么就称函数fx为偶函数.偶函数图象关于y轴对称.2、一般地，假如关于函数fx的定义域内任意一个x，都有fxfx，那么就称函数fx为奇函数.奇函数图象关于原点对称.知识链接：函数与导数1、函数yf(x)在点x0处的导数的几何意义：函数yf(x)在点x0处的导数是曲线yf(x)在P(x0,f(x0)处的切线的斜率f(x0)，相应的切线方程是yy0f(x0

8、)(xx0).2、几种常有函数的导数C0；(xn)nxn1；(sinx)cosx；(cosx)sinx；(ax)axlna；(ex)ex；(logax)1；(lnx)1xlnax3、导数的运算法规（1）(uv)uv.（2）(uv)uvuv.（3）(u)uvuv(v0).vv24、复合函数求导法规复合函数yf(g(x)的导数和函数yf(u),ug(x)的导数间的关系为yxyuux，即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积.解题步骤:分层层层求导作积还原.5、函数的极值极值定义：极值是在x0周边所有的点，都有f(x)f(x0)，则f(x0)是函数f(x)的极大值；极值是在x0周边所有的点

9、，都有f(x)f(x0)，则f(x0)是函数f(x)的极小值.鉴识方法：假如在x0周边的左边f(x)0，右边f(x)0，a10a1图象(1)定义域：R性（2）值域：（0，+）质（3）过定点（0，1），即x=0时，y=1（4）在R上是增函数（4）在R上是减函数(5)x0,ax1;(5)x0,0ax1;x0,0axxx110,a那么f(x0)是极大值；假如在x0周边的左边f(x)0，右边f(x)0，那么f(x0)是极小值.6、求函数的最值求yf(x)在(a,b)内的极值（极大也许极小值）(2)将yf(x)的各极值点与f(a),f(b)比较，此中最大的一个为最大值，最小的一个为极小值。注：极值是在局

10、部对函数值进行比较（局部性质）；最值是在整体区间上对函数值进行比较(整体性质)。第二章：基本初等函数（）、指数与指数幂的运算1、一般地，假如xna，那么x叫做a的n次方根。此中n1,nN.2、当n为奇数时，nana；当n为偶数时，nana.3、我们规定：nmanama0,m,nN*,m1；an1nn0；a4、运算性质：arasarsa0,r,sQ；ars0,r,sQ；arsaa10a1图象(1)定义域：（0，+）性（2）值域：R质（3）过定点（1，0），即x=1时，y=0（4）在（0，+）上是增函数（4）在（0，+）上是减函数(5)x1,logax0；(5)x1,logax0；0 x1,log

11、ax00 x1,logax0abrarbra0,b0,rQ.、指数函数及其性质1、记着图象：yaxa0,a12、性质：、对数与对数运算1、指数与对数互化式：axNxlogaN；2、对数恒等式：alogaNN.3、基天性质：loga10，logaa1.4、运算性质：当a0,a1,M0,N0时：logaMNlogaMlogaN；logaMlogaMlogaN；NlogaMnnlogaM.5、换底公式：logablogcblogcaa0,a1,c0,c1,b0.6、重要公式：loganbmmlogabn7、倒数关系：logab1a0,a1,b0,b1.logba2.、对数函数及其性质1、记着图象：y

12、logaxa0,a12、性质：、幂函数1、几种幂函数的图象：第三章：函数的应用、方程的根与函数的零点1、方程fx0有实根函数yfx的图象与x轴有交点函数yfx有零点.2、零点存在性定理：假如函数yfx在区间a,b上的图象是连续不断的一条曲线，而且有fafb0，那么函数yfx在区间a,b内有零点，即存在ca,b，使得fc0，这个c也就是方程fx0的根.、用二分法求方程的近似解1、掌握二分法.、几类不一样增加的函数模型、函数模型的应用举例1、解决问题的常例方法：先画散点图，再用合适的函数拟合，最后检验.必修2数学知识点第一章：空间几何体1、空间几何体的构造常有的多面体有：棱柱、棱锥、棱台；常有的旋

13、转体有：圆柱、圆锥、圆台、球。棱柱：有两个面相互平行，其余各面都是四边形，而且每相邻两个四边形的公共边都相互平行，由这些面所围成的多面体叫做棱柱。棱台：用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，底面与截面之间的部分，这样的多面体叫做棱台。2、空间几何体的三视图和直观图把光由一点向外散射形成的投影叫中心投影，中心投影的投影线交于一点；把在一束平行光辉照耀下的投影叫平行投影，平行投影的投影线是平行的。3、空间几何体的表面积与体积圆柱侧面积；S侧面2rl圆锥侧面积：S侧面rl圆台侧面积：S侧面rlRl体积公式：V柱体Sh；V锥体1Sh；1S上3V台体S上S下S下h3球的表面积和体积：S球4R2，V球4R3

14、.3第二章：点、直线、平面之间的地址关系1、公义1：假如一条直线上两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内。2、公义2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面。3、公义3：假如两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线。4、公义4：平行于同一条直线的两条直线平行.5、定理：空间中假如两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补。6、线线地址关系：平行、订交、异面。7、线面地址关系：直线在平面内、直线和平面平行、直线和平面订交。8、面面地址关系：平行、订交。9、线面平行：判断：平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行（简称线线平行，则线面平行）。

15、性质：一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行（简称线面平行，则线线平行）。10、面面平行：判断：一个平面内的两条订交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行（简称线面平行，则面面平行）。性质：假如两个平行平面同时和第三个平面订交，那么它们的交线平行（简称面面平行，则线线平行）。11、线面垂直：定义：假如一条直线垂直于一个平面内的任意一条直线，那么就说这条直线和这个平面垂直。判断：一条直线与一个平面内的两条订交直线都垂直，则该直线与此平面垂直（简称线线垂直，则线面垂直）。性质：垂直于同一个平面的两条直线平行。12、面面垂直：定义：两个平面订交，假如它们所成的二面角

16、是直二面角，就说这两个平面相互垂直。判断：一个平面经过另一个平面的一条垂线，则这两个平面垂直（简称线面垂直，则面面垂直）。性质：两个平面相互垂直，则一个平面内垂直于交线的直线垂直于另一个平面。（简称面面垂直，则线面垂直）。第三章：直线与方程1、倾斜角与斜率：ky2y1tanx1x22、直线方程：点斜式：yy0kxx0斜截式：ykxb两点式：yy1y2y1xx1x2x1截距式：xy1ab一般式：AxByC03、关于直线：l1:yk1xb1,l2:yk2xb2有：l1/l2k1k2；b1b2l1和l2订交k1k2；l1和l2重合k1k2；b1b2l1l2k1k21.4、关于直线：l1:A1xB1y

17、C10,有：l2:A2xB2yC20l1/l2A1B2A2B1；B1C2B2C1l1和l2订交A1B2A2B1；l1和l2重合A1B2A2B1；B1C2B2C1l1l2A1A2B1B20.5、两点间距离公式：P1P2x2x12y2y126、点到直线距离公式：Ax0By0CdA2B27、两平行线间的距离公式：l1：AxByC10与l2：AxByC20平行，C1C2则dB2A2第四章：圆与方程1、圆的方程：标准方程：xa2yb2r2此中圆心为(a,b)，半径为r.一般方程：x2y2DxEyF0.此中圆心为(D,E)，半径为22r1D2E24F.22、直线与圆的地址关系直线AxByC0与圆(xa)2

18、(yb)2r2的地址关系有三种:dr相离0;dr相切0;dr订交0.弦长公式：l2r2d21k2(x1x2)24x1x23、两圆地址关系：dOO21外离：dRr；外切：dRr；订交：RrdRr；内切：dRr；内含：dRr.3、空间中两点间距离公式：P1P2x2x12y2y122z2z1必修3数学知识点第一章：算法1、算法三种语言：自然语言、流程图、程序语言；2、流程图中的图框：起止框、输入输出框、办理框、判断框、流程线等规范表示方法；3、算法的三种基本构造：当型循环构造次序构造、条件构造、循环构造直到型循环构造次序构造表示图：语句n语句n+1（图1）条件构造表示图：IF-THEN-ELSE格式

19、：满足条件？否是语句1语句2（图2）IF-THEN格式：是满足条件？否语句（图3）循环构造表示图：当型（WHILE型）循环构造表示图：循环体满足条件？是否（图4）直到型（UNTIL型）循环构造表示图：循环体否满足条件？是（图5）4、基本算法语句：输入语句的一般格式：INPUT“提示内容”；变量输出语句的一般格式：PRINT“提示内容”；表达式赋值语句的一般格式：变量表达式（“=”有时也用“”）.条件语句的一般格式有两种：IFTHENELSE语句的一般格式为：IF条件THEN语句1ELSE语句2（图2）IFTHEN语句的一般格式为：IF条件THEN语句ENDIF（图3）循环语句的一般格式是两种：

20、当型循环（WHILE）语句的一般格式：WHILE条件循环体（图4）WEND直到型循环（UNTIL）语句的一般格式：DO循环体LOOPUNTIL条件（图5）算法事例：展转相除法结果是以相除余数为0而获取利用展转相除法求最大合约数的步骤以下：）：用较大的数m除以较小的数n获取一个商S0和一个余数R0；）：若R00，则n为m，n的最大合约数；若R00，则用除数n除以余数R0获取一个商S1和一个余数R1；）：若R10，则R1为m，n的最大合约数；若R10，则用除数R0除以余数R1获取一个商S2和一个余数R2；挨次计算直至Rn0，此时所获取的Rn1即为所求的最大合约数。更相减损术结果是以减数与差相等而获

21、取利用更相减损术求最大合约数的步骤以下：）：任意给出两个正数；判断它们能否都是偶数。若是，用2约简；若不是，执行第二步。）：以较大的数减去较小的数，接着把较小的数与所得的差比较，并以大数减小数。连续这个操作，直到所得的数相等为止，则这个数（等数）就是所求的最大合约数。进位制十进制数化为k进制数除k取余法k进制数化为十进制数第二章：统计1、抽样方法：简单随机抽样（整体个数较少）系统抽样（整体个数许多）分层抽样（整体中差异明显）注意：在N个个体的整体中抽拿出n个个体构成样本，每个个体被抽到的机遇（概率）均为n。N2、整体分布的预计：一表二图：频率分布表数据详确频率分布直方图分布直观频率分布折线图便

22、于观察整体分布趋向注：整体分布的密度曲线与横轴围成的面积为1。茎叶图：茎叶图适用于数据较少的状况，从中便于看出数据的分布，以及中位数、众位数等。个位数为叶，十位数为茎，右边数据依据从小到大书写，相同的数据重复写。3、整体特色数的预计：均匀数：xx1x2x3xn；n取值为x1,x2,xn的频率分别为p1,p2,pn，则其均匀数为x1p1x2p2xnpn；注意：频率分布表计算均匀数要取组中值。方差与标准差：一组样本数据x1,x2,xn方差：s21n2(xix)；ni11n2x)标准差：s(xini1注：方差与标准差越小，说明样本数据越坚固。均匀数反响数据整体水平；方差与标准差反响数据的坚固水平。线

23、性回归方程变量之间的两类关系：函数关系与相关关系；制作散点图，判断线性相关关系线性回归方程：ybxa（最小二乘法）nxiyinxy注意：线性回归直线经过定点(x,y)。第三章：概率1、随机事件及其概率：事件：试验的每一种可能的结果，用大写英文字母表示；必然事件、不行能事件、随机事件的特色；随机事件A的概率：m(),0P(A)1.PAn2、古典概型：基本领件：一次试验中可能出现的每一个基本结果；古典概型的特色：所有的基本领件只有有限个；每个基本领件都是等可能发生。古典概型概率计算公式：一次试验的等可能基本领件共有n个，事件A包含了此中的m个基本领件，则事件A发生的概率P(A)m.n3、几何概型：

24、几何概型的特色：所有的基本领件是无穷个；每个基本领件都是等可能发生。的测度几何概型概率计算公式：P(A)d；D的测度此中测度依据题目确定，一般为线段、角度、面积、体积等。4、互斥事件：不行能同时发生的两个事件称为互斥事件；假如事件A1,A2,An任意两个都是互斥事件，则称事件A1,A2,An相互互斥。假如事件A，B互斥，那么事件A+B发生的概率，等于事件A，B发生的概率的和，即：P(AB)P(A)P(B)假如事件A1,A2,An相互互斥，则有：P(A1A2An)P(A1)P(A2)P(An)对峙事件：两个互斥事件中必有一个要发生，则称这两个事件为对峙事件。事件A的对峙事件记作AP(A)P(A)

25、1,P(A)1P(A)对峙事件必定是互斥事件，互斥事件未必是对峙事件。必修4数学知识点i1bn2xi2nx第一章：三角函数、任意角i1aybx1、正角、负角、零角、象限角的看法.2、与角终边相同的角的会集：2k,kZ.、弧度制1、把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角.2、l.r3、弧长公式：lnRR.1804、扇形面积公式：SnR21lR.3602、任意角的三角函数1、设是一个任意角，它的终边与单位圆交于点Px,y，那么：siny,cosx,ytanx2、设点Ax,y为角终边上任意一点，那么：（设rx2y2）sinyxyx，cos，tanx，cotrry3、sin，cos，tan在四

26、个象限的符号和三角函数线的画法.正弦线：MP;余弦线：OM;正切线：AT5、特别角0，30，45，60，90，180，270等的三角函数值.023326432342sincostan、同角三角函数的基本关系式1、平方关系：sin2cos21.2、商数关系：tansin.cos3、倒数关系：tancot1、三角函数的引诱公式（概括为“奇变偶不变，符号看象限”kZ）1、引诱公式一：sin2ksin,cos2kcos,（此中：kZ）tan2ktan.2、引诱公式二：sinsin,coscos,tantan.3、引诱公式三：sinsin,coscos,tantan.4、引诱公式四：sinsin,cos

27、cos,tantan.5、引诱公式五：sin2cos,cos2sin.6、引诱公式六：sin2cos,cos2sin.、正弦、余弦函数的图象和性质1、记着正弦、余弦函数图象：2、可以比较图象讲出正弦、余弦函数的相关性质：定义域、值域、最大最小值、对称轴、对称中心、奇偶性、单调性、周期性.3、会用五点法作图.ysinx在x0,2上的五个重点点为：（0，0）（，1）（，0）（，3，-1）（，2，0）.22、正切函数的图象与性质1、记着正切函数的图象：2、记着余切函数的图象：3、可以比较图象讲出正切函数的相关性质：定义域、值域、对称中心、奇偶性、单调性、周期性.周期函数定义：关于函数fx，假如存在一

28、个非零常数T，使合适x取定义域内的每一个值时，都有fxTfx，那么函数fx就叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期.图表概括：正弦、余弦、正切函数的图像及其性质ysinxycosxytanx图象定义域RRx|x2k,kZ值域-1,1-1,1Rx2k,kZ时，ymax1x2k,kZ时，ymax1最值2无x2k,kZ时，ymin1x2k,kZ时，ymin12周期性T2T2T奇偶性奇偶奇在2k,2k上单调递加在2k,2k上单调递加单调性22在(k,k)上单调递加kZ在2k,2k3上单调递减在2k,2k22上单调递减22对称性对称轴方程：xk对称轴方程：xk无对称轴kkZ2对称中心(k,0)对称中

29、心对称中心(k,0)(,0)22、函数yAsinx的图象yAsinxB的图象之间的平移伸缩变1、关于函数：换关系.yAsinxBA0,先平移后伸缩：0有：振幅A，周ysinx平移|个单位期T2，相位x，频率f12.，初相T（左加右减）2、可以讲出函数ysinx的图象与横坐标不变ysinxyAsinx纵坐标变为本来的A倍纵坐标不变yAsinx横坐标变为本来的|1|倍平移|B|个单位yAsinxB（上加下减）先伸缩后平移：ysinx横坐标不变yAsinx纵坐标变为本来的A倍纵坐标不变yAsinx横坐标变为本来的|1|倍平移个单位yAsinx（左加右减）平移|B|个单位yAsinxB（上加下减）3、

30、三角函数的周期，对称轴和对称中心函数ysin(x)，xR及函数ycos(x)，xR(A,为常数，且A0)的周期T2；函|数ytan(x)，xk,kZ(A,为2常数，且A0)的周期T|.|关于yAsin(x)和yAcos(x)来说，对称中心与零点相联系，对称轴与最值点联系.求函数yAsin(x)图像的对称轴与对称中心，只要令xk(kZ)与xk(kZ)2解出x即可.余弦函数可与正弦函数类比可得.4、由图像确定三角函数的分析式利用图像特色：Aymaxymin，Bymax2ymin.2要依据周期来求,要用图像的重点点来求.、三角函数模型的简单应用1、要求熟习课本例题.第三章、三角恒等变换、两角差的余弦

31、公式记着15的三角函数值：sincostan1262622344、两角和与差的正弦、余弦、正切公式1、sinsincoscossin2、sinsincoscossin3、coscoscossinsin4、coscoscossinsin5、tantantan.1tantan6、tantantan.1tantan、二倍角的正弦、余弦、正切公式1、sin22sincos，变形：sincos1sin2.22、cos2cos2sin22cos2112sin2.变形以下：1cos22cos2升幂公式：2sin21cos2cos21(1cos2)降幂公式：21sin2(1cos2)23、tan22tan.1

32、tan24、tansin21cos21cos2sin2、简单的三角恒等变换1、注意正切化弦、平方降次.2、辅助角公式yasinxbcosxa2b2sin(x)（此中辅助角所在象限由点(a,b)的象限决定,tanb).a第二章：平面向量、向量的物理背景与看法1、认识四种常有向量：力、位移、速度、加速度.2、既有大小又有方向的量叫做向量.、向量的几何表示1、带有方向的线段叫做有向线段，有向线段包含三个因素：起点、方向、长度.2、向量AB的大小，也就是向量AB的长度（或称uuur模），记作AB；长度为零的向量叫做零向量；长度等于1个单位的向量叫做单位向量.3、方向相同或相反的非零向量叫做平行向量（或

33、共线向量）.规定：零向量与任意向量平行.、相等向量与共线向量1、长度相等且方向相同的向量叫做相等向量.、向量加法运算及其几何意义1、三角形加法法规和平行四边形加法法规.2、abab.、向量减法运算及其几何意义1、与a长度相等方向相反的向量叫做a的相反向量.2、三角形减法法规和平行四边形减法法规.、向量数乘运算及其几何意义1、规定：实数与向量a的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘.记作：a，它的长度和方向规定以下：aa,当0时,a的方向与a的方向相同；当0时,a的方向与a的方向相反.2、平面向量共线定理：向量aa0与b共线，当且仅当有独一一个实数，使ba.、平面向量基本定理1、平面向量基本定理

34、：假如e1,e2是同一平面内的两个不共线向量，那么关于这一平面内任一直量a，有且只有一对实数1,2，使a1e12e2.、平面向量的正交分解及坐标表示1、axiyjx,y.、平面向量的坐标运算1、设ax1,y1,bx2,y2，则：abx1x2,y1y2，abx1x2,y1y2，ax1,y1，a/bx1y2x2y1.2、设Ax1,y1,Bx2,y2，则：ABx2x1,y2y1.、平面向量共线的坐标表示1、设Ax1,y1,Bx2,y2,Cx3,y3，则线段AB中点坐标为x12x2,y12y2，ABC的重心坐标为x1x2x3,y1y2y3.33、平面向量数目积的物理背景及其含义1、ababcos.2、

35、a在b方向上的投影为：acos.223、aa.、a24a.5、abab0.、平面向量数目积的坐标表示、模、夹角1、设ax1,y1,bx2,y2，则：abx1x2y1y2ax12y12rrrrxxyy0abab02112rrrra/babx1y2x2y102、设Ax1,y1,Bx2,y2，则：ABx2x12y2y12.3、两向量的夹角公式rrx1x2y1y2cosabrrx12y12x22y22ab4、点的平移公式平移前的点为P(x,y)（原坐标），平移后的对应点为P(x,y)（新坐标），平移向量为uuurPP(h,k)，xxh则yk.y函数yf(x)的图像按向量r(h,k)平移后的a图像的分析

36、式为ykf(xh).、平面几何中的向量方法、向量在物理中的应用举例知识链接：空间向量空间向量的好多知识可由平面向量的知识类比而得.下边对空间向量在立体几何中证明，求值的应用进行总结概括.1、直线的方向向量和平面的法向量直线的方向向量：uuur若A、B是直线l上的任意两点，则AB为直线l的uuur一个方向向量；与AB平行的任意非零向量也是直线l的方向向量.平面的法向量：r若向量n所在直线垂直于平面，则称这个向量rrr垂直于平面，记作n，假如n，那么向量n叫做平面的法向量.平面的法向量的求法（待定系数法）：建立合适的坐标系r设平面的法向量为n(x,y,z)求出平面内两个不共线向量的坐标rura(a

37、1,a2,a3),b(b1,b2,b3)rr0na依据法向量定义建立方程组rr.nb0解方程组，取此中一组解，即得平面的法向量.（如图）2、用向量方法判断空间中的平行关系线线平行rr设直线l1,l2的方向向量分别是a、，则要证明l1brrrrl2，只要证明ab，即akb(kR).即：两直线平行或重合两直线的方向向量共线。线面平行（法一）设直线l的方向向量是ra，平面的法向rrr量是u，则要证明l，只要证明au，即rrau0.即：直线与平面平行直线的方向向量与该平面的法向量垂直且直线在平面外（法二）要证明一条直线和一个平面平行，也可以在平面内找一个向量与已知直线的方向向量是共线向量即可.面面平行

38、rr若平面的法向量为u，平面的法向量为v，要rrrr证，只要证uv，即证uv.即：两平面平行或重合两平面的法向量共线。3、用向量方法判断空间的垂直关系线线垂直rr设直线、，则要证明l1,l2的方向向量分别是abrrrrl1l2，只要证明ab，即ab0.即：两直线垂直两直线的方向向量垂直。线面垂直r（法一）设直线l的方向向量是a，平面的法向rrrrr量是u，则要证明l，只要证明au，即au.r（法二）设直线l的方向向量是a，平面内的两uruurrur0am个订交向量分别为m、n，若rr,则l.an0即：直线与平面垂直直线的方向向量与平面的法向量共线直线的方向向量与平面内两条不共线直线的方向向量都

39、垂直。面面垂直rr若平面的法向量为u，平面的法向量为v，要rrrr证，只要证uv，即证uv0.即：两平面垂直两平面的法向量垂直。4、利用向量求空间角求异面直线所成的角已知a,b为两异面直线，A，C与B，D分别是a,b上的任意两点，a,b所成的角为，uuuruuurACBD则cosuuuruuur.ACBD求直线和平面所成的角定义：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角叫做这条斜线和这个平面所成的角r求法：设直线l的方向向量为a，平面的法向量rrr为u，直线与平面所成的角为，a与u的夹角为，则为的余角或的补角的余角.即有：rrsincosaur.au求二面角定义：平面内的一条直线把平面分为两

40、个部分，此中的每一部分叫做半平面；从一条直线出发的两个半平面所构成的图形叫做二面角，这条直线叫做二面角的棱，每个半平面叫做二面角的面二面角的平面角是指在二面角l的棱上任取一点O，分别在两个半平面内作射线AOl,BOl，则AOB为二面角l的平面角.如图：ABlOB求法：设二面角OAl的两个半平面的法向量urrurr分别为m、n，再设m、n的夹角为，二面角urrl的平面角为，则二面角为m、的夹角n或其补角.依据详尽图形确定是锐角或是钝角：urrmn假如是锐角，则coscosurr，mnurrmn即arccosurr；mnurr是钝角，则coscosmn假如urr，mnurrmn即arccosurr

41、.mn5、利用法向量求空间距离点Q到直线l距离r若Q为直线l外的一点,P在直线l上，a为直线l的ruuur方向向量，b=PQ，则点Q到直线l距离为h1rr2rr2r(|a|b|)(ab)|a|点A到平面的距离若点P为平面外一点，点为平面内任一点，Mr平面的法向量为n，则P到平面的距离就等于uuurrMP在法向量n方向上的投影的绝对值.uuurruuuur即dMPcosn,MPuuuruuurnMPMPruuurnMPuuurnMPrn直线a与平面之间的距离当一条直线和一个平面平行时，直线上的各点到平面的距离相等。由此可知，直线到平面的距离可转变为求直线上任一点到平面的距离，即转变为点面距离。P

42、O,O推理模式：PAIAaAOa,aAP概括为：垂直于斜线就垂直于射影.7、三余弦定理设AC是平面内的任一条直线，AD是的一条斜线AB在内的射影，且BDAD，垂足为D.设AB与(AD)所成的角为1，AD与AC所成的角为2，AB与AC所成的角为则coscos1cos2.ruuurnMP即dr.n两平行平面,之间的距离利用两平行平面间的距离到处相等，可将两平行平面间的距离转变为求点面距离。ruuur即dnMPr.n异面直线间的距离ra,b都垂直，Ma,Pb,设向量n与两异面直线uuurr则两异面直线a,b间的距离d就是MP在向量n方向上投影的绝对值。ruuurnMP即dr.n6、三垂线定理及其逆定

43、理三垂线定理：在平面内的一条直线，假如它和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直PO,O推理模式：PAIAaPAa,aOA概括为：垂直于射影就垂直于斜线.三垂线定理的逆定理：在平面内的一条直线，假如和这个平面的一条斜线垂直，那么它也和这条斜线的射影垂直8、面积射影定理已知平面内一个多边形的面积为SS原，它在平面内的射影图形的面积为SS射，平面与平面所成的二面角的大小为锐二面角，则cosS=S射.SS原9、一个结论长度为l的线段在三条两两相互垂直的直线上的射影长分别为l1、l2、l3，夹角分别为1、2、3,则有l22222221l1l2l3cos1cos2cos3sin21sin2

44、2sin232.（立体几何中长方体对角线长的公式是其特例）.必修5数学知识点第一章：解三角形1、正弦定理：abc2R.sinAsinBsinC（此中R为ABC外接圆的半径）a2RsinA,b2RsinB,c2RsinC;sinAa,sinBb,sinCc;2R2R2Ra:b:csinA:sinB:sinC.用途：已知三角形两角和任一边，求其余元素；已知三角形两边和此中一边的对角，求其余元素。2、余弦定理：a2b2c22bccosA,b2a2c22accosB,c2a2b22abcosC.cosAb2c2a2,2bccosBa2c2b2,2accosCa2b2c2.2ab用途：已知三角形两边及其

45、夹角，求其余元素；已知三角形三边，求其余元素。做题中两个定理常常结合使用.3、三角形面积公式：SABC1absinC1bcsinA1acsinB2224、三角形内角和定理：在ABC中，有ABCC(AB)CAB2C22(AB).2225、一个常用结论：在ABC中，absinAsinBAB;若sin2Asin2B,则AB或AB.特别注意，2在三角函数中，sinAsinBAB不行立。第二章：数列1、数列中an与Sn之间的关系：anS1,(n1)SnSn1,(n注意通项能否合并。2).2、等差数列：定义：假如一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，即anan1=d，（n2，nN），那

46、么这个数列就叫做等差数列。等差中项：若三数a、A、b成等差数列abA2通项公式：ana1(n1)dam(nm)d或anpnq(p、q是常数）.前n项和公式：Snna1nn1na1an2d2常用性质：若mnpqm,n,p,qN，则amanapaq；下标为等差数列的项ak,akm,ak2m,，仍构成等差数列；数列anb（,b为常数）仍为等差数列；若an、bn是等差数列，则kan、kanpbn(k、p是非零常数)、apnq(p,qN*)、，也成等差数列。单调性：an的公差为d，则：）d0an为递加数列；）d0an为递减数列；）d0an为常数列；数列an为等差数列anpnq（p,q是常数）若等差数列a

47、n的前项和，则、是等差数列。3、等比数列定义：假如一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列。等比中项：若三数a、G、b成等比数列G2ab,（ab同号）。反之不必定建立。通项公式：ana1qn1amqnma11qna1anq前n项和公式：Sn1q1q常用性质若mnpqm,n,p,qN，则amanapaq；ak,akm,ak2m,为等比数列，公比为qk(下标成等差数列,则对应的项成等比数列)数列an（为不等于零的常数）还是公比为q的等比数列；正项等比数列an；则lgan是公差为lgq的等差数列；若an是等比数列，则can，an2，1，ananr(rZ)是

48、等比数列，公比挨次是21r.q，q，qq单调性：a10,q1或a10,0q1an为递加数列；a10,0q1或a10,q1an为递减数列；q1an为常数列；q0an为摇动数列；既是等差数列又是等比数列的数列是常数列。若等比数列an的前项和，则、是等比数列.4、非等差、等比数列通项公式的求法种类察见解：已知数列前若干项，求该数列的通项时，一般对所给的项观察分析，找寻规律，从而依据规律写出此数列的一个通项。种类公式法：若已知数列的前项和与an的关系，求数列an的通项an可用公式anS1,(n1)SnSn1,(n构造两式作差求解。2)用此公式时要注意结论有两种可能，一种是“一分为二”，即分段式；另一种

49、是“合二为一”，即a1和an合为一个表达，（要先分n1和n2两种状况分别进行运算，而后考据能否一致）。种类累加法：形如an1anf(n)型的递推数列（此中f(n)是关anan1f(n1)于n的函数）可构造：an1an2f(n2).a2a1f(1)将上述n1个式子两边分别相加，可得：anf(n1)f(n2).f(2)f(1)a1,(n2)若f(n)是关于n的一次函数，累加后可转变为等差数列乞降;若f(n)是关于n的指数函数，累加后可转变为等比数列乞降;若f(n)是关于n的二次函数，累加后可分组乞降;若f(n)是关于n的分式函数，累加后可裂项乞降.种类累乘法：形如an1anf(n)an1f(n)型

50、的递推数列（其ananf(n1)an1an1f(n2)中f(n)是关于n的函数）可构造：an2.a2f(1)a1将上述n1个式子两边分别相乘，可得：anf(n1)f(n2).f(2)f(1)a1,(n2)有时若不可以直接用，可变形成这种形式，而后用这种方法求解。种类构造数列法：形如an1panq（此中p,q均为常数且p0）型的递推式：1）若p1时，数列an为等差数列;2）若q0时，数列an为等比数列;（3）若p1且q0时，数列an为线性递推数列，其通项可经过待定系数法构造等比数列来求.方法有以下两种：法一：设an1p(an),张开移项整理得an1pan(p1),与题设an1panq比较系数（待

51、定系数法）得pq,(p0)an1q1p(anpq)1p1anqp(an1pq),即anq构成p11p1qp为公比的等比数列.再利用以a1为首项，以p1等比数列的通项公式求出anq的通项整理可p1得an.法二：由an1panq得anpan1q(n2)两式相减并整理得an1anp,即an1an构成以anan1a2a1为首项，以p为公比的等比数列.求出an1an的通项再转变为种类（累加法）即可求出an.形如an1panf(n)(p1)型的递推式：当f(n)为一次函数种类（即等差数列）时：法一：设anAnBpan1A(n1)B，经过待定系数法确定A、B的值，转变为以a1AB为首项，以p为公比的等比数列

52、anAnB，再利用等比数列的通项公式求出anAnB的通项整理可得an.法二：当f(n)的公差为d时，由递推式得：an1panf(n)，anpan1f(n1)两式相减得：an1anp(anan1)d，令bnan1an得：bnpbn1d转变为种类求出bn，再用种类（累加法）即可求出an.当f(n)为指数函数种类（即等比数列）时：法一：设anf(n)pan1f(n1)，经过待定系数法确定的值，转变为以a1f(1)为首项，以p为公比的等比数列anfn，再利用等比数()列的通项公式求出anfnan.()的通项整理可得法二：当f(n)的公比为q时，由递推式得：an1panf(n)，anpan1f(n1)，

53、两边同时乘以q得anqpqan1qf(n1)，由两式相减得an1anqp(anqan1)，即an1qanp，在转变为种类即可求出an.anqan1法三：递推公式为an1panqn（此中p，q均为常数）或an1panrqn（此中p，q,r均为常数）时，要先在原递推公式两边同时除以qn1，得：an1pan1，引入辅助数列bn（此中qn1?qnqqbnanp1再应用种类的方qn），得：bn1bnqq法解决。当f(n)为任意数列时，可用通法：在an1panf(n)两边同时除以pn1可获取an1anf(n)anbnf(n)pn1pnpn1，令nbn，则bn1pn1，p在转变为种类（累加法），求出bn以后

54、得anpnbn.种类对数变换法：形如an1paq(p0,an0)型的递推式：在原递推式an1paq两边取对数得lgan1qlganlgp，令bnlgan得：bn1qbnlgp，化归为an1panq型，求出bn以后得an10bn.（注意：底数不必定要取10，可依据题意选择）。种类倒数变换法：一般地，当数列的通项anc形如an1anpan1an（p为常数且p0）的递推式：两边同除于an1an，转变为11p形式，anan1化归为an1panq型求出1的表达式，再求an；an还有形如an1man的递推式，也可采纳取倒数方panq法转变为1m1m形式，化归为an1panqan1qanp型求出1的表达式，

55、再求an.an种类形如an2pan1qan型的递推式：用待定系数法，化为特别数列anan1的形式求解。方法为：设an2kan1h(an1kan)，比较系数得hkp,hkq，可解得h、k，于是an1kan是公比为h的等比数列，这样就化归为an1panq型。总之，求数列通项公式可依据数列特色采纳以上不一样方法求解，对不可以转变为以上方法求解的数列，可用概括、猜想、证明方法求出数列通项公式an.5、非等差、等比数列前n项和公式的求法错位相减法若数列an为等差数列，数列bn为等比数列，则数列anbn的乞降就要采纳此法.将数列anbn的每一项分别乘以bn的公比，而后在错位相减，从而可获取数列anbn的前

56、n项和.此法是在推导等比数列的前n项和公式时所用的方法.裂项相消法(anb1)(anb2)(a,b1,b2,c为常数）时，常常可将an变为两项的差，采纳裂项相消法乞降.可用待定系数法进行裂项：设an，通分整理后与原式相anb1anb2c比较，依据对应项系数相等得，从而可得b2b1cc11=().(anb1)(anb2)(b2b1)anb1anb2常有的拆项公式有：11)11；n(nnn1(2n11)1(11);1)(2n22n12n11b1(ab);aabCnm1Cnm1Cnm;nn!(n1)!n!.分组法乞降有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将这种数列合适打开，可分为几个等差、等

57、比或常见的数列，而后分别乞降，再将其合并即可.一般分两步：找通向项公式由通项公式确定如何分组.倒序相加法假如一个数列an，与首末两项等距的两项之和等于首末两项之和，则可用把正着写与倒着写的两个和式相加，就获取了一个常数列的和，这种乞降方法称为倒序相加法。特色：a1ana2an1.记着常有数列的前n项和：123.nn(n1);2135.(2n1)n2;122232.n21n(n1)(2n1).6第三章：不等式、不等关系与不等式1、不等式的基天性质（对称性）abba（传达性）ab,bcac（可加性）abacbc（同向可加性）ab,cdacbd（异向可减性）ab,cdacbd（可积性）ab,c0ac

58、bcab,c0acbc（同向正数可乘性）ab0,cd0acbd（异向正数可除性）ab0,0cdabcd（平方法规）ab0anbn(nN,且n1)（开方法规）ab0nanb(nN,且n1)（倒数法规）ab011;ab011abab2、几个重要不等式a2b22aba，bR,（当且仅当ab时取号）.变形公式：aba2b2.2（基本不等式）ababa，bR,（当2且仅当ab时取到等号）.a2变形公式：ab2ababb.2用基本不等式求最值时（积定和最小，和定积最大），要注意满足三个条件“一正、二定、三相等”.（三个正数的算术几何均匀不等式）abc3abc(a、b、cR)（当且仅当bc时取到等号）.a2

59、b2c2abbccaa，bR（当且仅当abc时取到等号）.a3b3c33abc(a0,b0,c0)（当且仅当abc时取到等号）.若ab0,则ba2（当仅当a=b时取等号）ab若ab0,则ba2（当仅当a=b时取等号）abbbm1anaaambnb此中(ab0，m0，n0)规律：小于1同加则变大，大于1同加则变小.当a0时，xax2a2xa或xa;xax2a2axa.绝对值三角不等式ababab.3、几个有名不等式均匀不等式：2aba2b2a1b1ab22abR,（当且仅当ab时取号）.，（即调停均匀几何均匀算术均匀平方均匀）.变形公式：2a2b2abab;22a2b2(ab)2.2幂均匀不等式

60、：a12a22.an21(a1a2.an)2.n二维形式的三角不等式：x12y12x22y22(x1x2)2(y1y2)2(x1,y1,x2,y2R).二维形式的柯西不等式：(a2b2)(c2d2)(acbd)2(a,b,c,dR).当且仅当adbc时，等号建立.三维形式的柯西不等式：2222222(a1a2a3)(b1b2b3)(a1b1a2b2a3b3).(a12a22.an2)(b12b22.bn2)(a1b1a2b2.anbn)2.向量形式的柯西不等式：urururururur设,是两个向量，则,当且仅当urkurur是零向量，或存在实数，使k时，等号成立.排序不等式（排序原理）：设a