专题二 数列求和的方法

1、专题二 数列求和的方法第1页，共35页，2022年，5月20日，1点31分，星期日考纲要求掌握等差数列、等比数列的前n项和公式，能把某些不是等差和等比数列的求和问题转化为等差、等比数列来解决；掌握裂项求和的思想方法，掌握错位相减法求和的思想方法，并能灵活的运用这些方法解决相应问题.第2页，共35页，2022年，5月20日，1点31分，星期日知识梳理第3页，共35页，2022年，5月20日，1点31分，星期日一.公式法：等差数列的前n项和公式：等比数列的前n项和公式 第4页，共35页，2022年，5月20日，1点31分，星期日 2+4+6+2n= ； 1+3+5+（2n+1）= ；n2+n (n

2、+1)2 第5页，共35页，2022年，5月20日，1点31分，星期日二、错位相减法求和:例如 是等差数列， 是等比数列，求a1b1a2b2anbn的和三、分组求和:把数列的每一项分成若干项，使其转化为等差或等比数列，再求和四、并项求和:例如求10029929829722212的和五、裂项相消法求和:把数列的通项拆成两项之差、正负相消，剩下首尾若干项第6页，共35页，2022年，5月20日，1点31分，星期日 六、倒序相加法： 如果一个数列an，与首末两项等距的两项之和等于首末两项之和（都相等，为定值），可采用把正着写和与倒着写和的两个和式相加，就得到一个常数列的和，这一求和的方法称为倒序相加

3、法. 七、归纳猜想法 ： 先通过归纳猜想和的表达式，再使用数学归纳法等正面证明。 八、奇偶法: 通过分组，对n分奇偶讨论求和第7页，共35页，2022年，5月20日，1点31分，星期日 十、周期转化法 如果一个数列具有周期性，那么只要求出了数列在一个周期内各项的和，就可以利用这个和与周期的性质对数列的前n项和进行转化合并九、通项分析求和法：第8页，共35页，2022年，5月20日，1点31分，星期日例1：求和：10看通项，是什么数列，用哪个公式；20注意项数第9页，共35页，2022年，5月20日，1点31分，星期日例2：运用倒序相加法第10页，共35页，2022年，5月20日，1点31分，星

4、期日倒序相加法如果一个数列an，与首末两项等距的两项之和等于首末两项之和（都相等，为定值），可采用把正着写和与倒着写和的两个和式相加，就得到一个常数列的和，这一求和的方法称为倒序相加法. 类型a1+an=a2+an-1=a3+an-2=第11页，共35页，2022年，5月20日，1点31分，星期日 已知数列1,3a,5a2，(2n1)an1，(a0)， 求其前n项和例3.注意对a的讨论第12页，共35页，2022年，5月20日，1点31分，星期日例3.已知数列1,3a,5a2，(2n1)an1(a0)，求其前n项和思路分析：已知数列各项是等差数列1,3,5，2n1与等比数列a0，a，a2，an

5、1对应项的积，可用错位相减法求和解析：设Sn13a5a2(2n1)an1a得，aSna3a25a3(2n1)an：(1a)Sn12a2a22a32an1(2n1)an.第13页，共35页，2022年，5月20日，1点31分，星期日当a1时，Snn2.点评：若数列an，bn分别是等差、等比数列，则求数列anbn的前n项和的方法就是用错位相减法第14页，共35页，2022年，5月20日，1点31分，星期日错位相减法：如果一个数列的各项是由一个等差数列与一个等比数列对应项乘积组成，此时求和可采用错位相减法.既anbn型等差等比第15页，共35页，2022年，5月20日，1点31分，星期日变式探究1：

6、第16页，共35页，2022年，5月20日，1点31分，星期日 1. 设数列 满足a13a232a33n1an ，aN*.(1)求数列 的通项；(2)设bn ，求数列 的前n项和Sn.变式探究2：第17页，共35页，2022年，5月20日，1点31分，星期日 1设数列 满足a13a232a33n1 ，aN*.(1)求数列 的通项；(2)设bn ，求数列 的前n项和Sn.解析：(1)a13a232a33n1an ，第18页，共35页，2022年，5月20日，1点31分，星期日(2) bnn3n，Sn13232333n3n，3Sn132233334(n1)3nn3n1两式相减，得2Sn332333

7、nn3n1，第19页，共35页，2022年，5月20日，1点31分，星期日裂项求和法：把数列的通项拆成两项之差，即数列的每一项都可按此法拆成两项之差，在求和时一些正负项相互抵消，于是前n项的和变成首尾若干少数项之和，这一求和方法称为分裂通项法.（见到分式型的要往这种方法联想） 第20页，共35页，2022年，5月20日，1点31分，星期日1特别是对于 ，其中 是各项均不为0的等差数列，通常用裂项相消法，即利用 (其中dan1an)第21页，共35页，2022年，5月20日，1点31分，星期日常见的拆项公式有：第22页，共35页，2022年，5月20日，1点31分，星期日例4：1-22+32-4

8、2+(2n-1)2-(2n)2 =？局部重组转化为常见数列并项求和第23页，共35页，2022年，5月20日，1点31分，星期日练习：已知Sn=-1+3-5+7+(-1)n(2n-1),1)求S20,S212)求SnS20=-1+3+(-5)+7+（-37）+39S21=-1+3+(-5)+7+（-9）+39+（-41）=20=-21第24页，共35页，2022年，5月20日，1点31分，星期日（2）Sn=-1+3-5+7+(-1)n(2n-1)第25页，共35页，2022年，5月20日，1点31分，星期日练习：求和Sn=1+(1+2)+(1+2+22)+(1+2+22+23)+ +(1+2+

9、22+2n-1) 通项分析求和通项=2n-1第26页，共35页，2022年，5月20日，1点31分，星期日先求通项再处理通项第27页，共35页，2022年，5月20日，1点31分，星期日第28页，共35页，2022年，5月20日，1点31分，星期日第29页，共35页，2022年，5月20日，1点31分，星期日提示：运用周期性质练习：第30页，共35页，2022年，5月20日，1点31分，星期日练习：第31页，共35页，2022年，5月20日，1点31分，星期日3求数列1,3 ，32 ，3n 的各项的和练习：第32页，共35页，2022年，5月20日，1点31分，星期日4.在等差数列 中，a13，d2，Sn是其前n项的和，求：S .练习：第33页，共35页，2022年，5月20日，1点31分，星期日1要求数列的前n项和，关键是抽取出其通项来加以分析，根据数列的通项的结构特点去选择适当的方法2等价转换思想是解决数列问题的基本思想方法，它可将复杂的数列转化为等差、等比数列问题来解决3数列求和是数列的一个重要内容，其实质是将多项式化简，等差、等比数列及可以转化为等差、等比数列的求和问题应掌握，还应掌握一些特殊数列的求和第34页，共35页，2022年，5月20日，1点31分，星期日4解决非等差、等比数列的求和，有两种思路：(1)转化的思想，即