勾股定理知识点归纳总结归纳

1、第 18 章勾股定理复习 一学问归纳 勾股定理 内容：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方； 表示方法：假如直角三角形的两直角边分别为 a , b ,斜边为 c ,那么 a22 b 2 c 勾股定理的由来：勾股定理也叫商高定理,在西方称为毕达哥拉斯定理我国古 代把直角三角形中较短的直角边称为勾,较长的直角边称为股,斜边称为弦早在 三千多年前,周朝数学家商高就提出了 “勾三,股四,弦五 ”形式的勾股定理,后来人 们进一步发觉并证明白直角三角形的三边关系为：两直角边的平方和等于斜边的平 方 .勾股定理的证明 勾股定理的证明方法很多,常见的是拼图的方法 用拼图的方法验证勾股定理的思路是 DE H

2、G C图形进过割补拼接后,只要没有重叠,没有间隙,面积 不会转变 F 依据同一种图形的面积不同的表示方法, 列出等式, 推 A baB c 导出勾股定理 常见方法如下： 方法一： 4 S S 正方形 S正方形 41ab 2 b a c 2,化简可证 abc c ab2EFGH ABCD, 方法二： 四个直角三角形的面积与小正方形面积的和等于大正方形的 c 面积 bc ba四 个 直 角 三 角 形 的 面 积 与 小 正 方 形 面 积 的 和 为 aS 412 ab c 2 2 ab c 2第 1 页,共 13 页大正方形面积为 S a 2 b a22ab b2ADE S ABE 1 2 a

3、b 2 12 c ,化简得证 所以 a22 b 2 c b a b , S 梯形 2S 方法三： S 梯形 1 a 22 .勾股定理的适用范畴 勾股定理揭示了直角三角形三条边之间所存在的数量关系,它只适用于直角三角形, 对于锐角三角形和钝角三角形的三边就不具有这一特点,因而在应用勾股定理时, 必需明白所考察的对象是直角三角形 .勾股定理的应用 已知直角三角形的任意两边长,求第三边 在 ABC 中, C90 ,就 c 2 ab2, b 2 c a2, a 2 c b2知道直角三角形一边,可得另外两边之间的数量关系 可运用勾股定懂得决一些实际问题 5,利用勾股定理作长为 的线段 作长为 , , 的

4、线段； 思路点拨： 由勾股定理得,直角边为 1 的等腰直角三角形,斜边长就等于 ,直角 边为 和 1 的直角三角形斜边长就是 ,类似地可作 ； 作法 ：如以下图 （ 1）作直角边为 1（单位长）的等腰直角 ACB,使 AB 为斜边； （ 2）以 AB 为一条直角边,作另始终角边1 的直角 ；斜边为 ； , 的 为 , ,这样斜边 , （ 3）顺次这样做下去,最终做到直角三角形 长度就是 , , , ； 举一反三 【变式】在数轴上表示 的点； 第 2 页,共 13 页解析： 可以把 看作是直角三角形的斜边, , 为了有利于画图让其他两边的长为整数, 而 10 又是 9 和 1 这两个完全平方数的

5、和,得另外两边分别是 3 和 1； 作法 ：如以下图在数轴上找到 A 点,使 OA=3,作 ACOA且截取 AC=1,以 OC为半径, 以 O 为圆心做弧,弧与数轴的交B 即为 ； 点 注：逆命题与勾股定理逆定理 可以判定真假的陈述句叫做 命题, 写出以下原命题的逆命题并判定是否正确 1原命题：猫有四只脚 （正确） 2原命题：对顶角相等（正确） 3原命题：线段垂直平分线上的点,到这条线段两端距离相等 （正确） 4原命题：角平分线上的点,到这个角的两边距离相等 （正确） 思路点拨： 把握原命题与逆命题的关系； 解析： 1. 逆命题：有四只脚的是猫（不正确） 2. 逆命题：相等的角是对顶角（不正确

6、） 3. 逆命题：到线段两端距离相等的点,在这条线段的垂直平分线上 .（正确） 4. 逆命题：到角两边距离相等的点,在这个角的平分线上 （正确） 总结升华： 此题是为了学习勾股定理的逆命题做预备； 6.勾股定理的逆定理 勾股定理的逆定理的证明方法要把握,书 74 页 假如三角形三边长 a ,b ,c 中意 a2b2 c ,那么这个三角形是直角三角形, 其中 c 为 斜边 要点诠释： 第 3 页,共 13 页勾股定理的逆定理是判定一个三角形是否是直角三角形的一种重要方法,它通过 “数转化为形”来确定三角形的可能形状,在运用这确定理时应留意： （ 1）第一确定最大边,不妨设最长边长为： c； （

7、2）验证 c 与 a +b 是否具有相等关系,如 c a +b ,就 ABC 是以C 为直角 的直角三角形 （如 c a +b ,就 ABC 是以C 为钝角的钝角三角形；如 c b=c）,那么 a bc =2 1 1；其中正确选项（ ） A, B, C, D, 2 2 13. 三角形的三边长为（ a+b） =c +2ab, 就这个三角形是 A. 等边三角形 ;B. 钝角三角形 ;C. 直角三角形 ;D. 锐角三角形 . 14. 如图一轮船以 16 海里 / 时的速度从港口 A 动身向东北方向航行,另一轮船以 12 海里 / 时的速度同时从港口 A 动身向东南方向航行,离开港口 2 小时后,就两船相距 （ ） B, 30 海里 C,35 海里 D