高考数学热点透析,高考数学热门考点与例题解析（理科）

1、专题讲练第一部分专题1集合、函数、导数、方程、不等式高考热点链接【热点解读】单调性、奇偶性、对称性、周期性是函数的基本性质，在高考中经常与二次函数、指数函数、对数函数、三角函数、函数的图象等综合考查，考查求函数值、解析式，解函数不等式等问题函数的性质【名师点评】函数的单调性、奇偶性、对称性、周期性的综合问题，一般是利用函数在部分区间上的性质去推导函数在其他区间上的性质解题的一般方法是结合函数的性质画出函数的简图，根据简图进一步研究函数的性质，这样可以把抽象问题变得直观形象，把复杂问题变得简单明了，对问题的解决有很大帮助 (2019年安徽模拟)已知定义在R上的函数yf(x)在1，)上单调递减，且

2、yf(x1)是偶函数，不等式f(m2)f(x1)对任意的x1,0恒成立，则实数m的取值范围是()A3,1B(，31，)C4,2D(，4)2，)【答案】A【解析】由yf(x1)是偶函数，得f(x1)f(x1)，所以f(x)的图象关于直线x1对称又函数f(x)在1，)上单调递减，所以f(x)在(，1上单调递增因为不等式f(m2)f(x1)对任意的x1,0恒成立，当x1,0时x12，1，所以f(m2)f(x1)maxf(1)由对称性和单调性，可得1m23，解得3m1.故选A【热点解读】函数的零点，函数与方程等知识点，表面上是函数的零点问题，实际上是将问题等价转化为函数的单调性、极值的问题，结合函数与

3、方程思想和转化思想求解函数综合问题，综合考查学生的逻辑推理能力函数零点与导数【分析】(1)对f(x)求导，讨论其单调性就可以求得极大值点的个数(2)通过讨论f(x)的单调性，可以求出其零点个数，(1)中已讨论其导函数的性质，加以利用即可 【名师点评】证明该题时最好针对每个区间画f(x)与f(x)的草图，更清晰要注意“唯一”能否取到零点存在定理表明，若连续函数f(x)在区间a，b内有f(a)f(b)0)，其图象可由ysin x的图象通过平移得到，故其在区间a，b上的图象形状和ysin x在区间a，b上的图象形状相同，于是可由ysin x的性质判断ysin(x)的性质解答相关题目时首先要牢固掌握y

4、sin x，ycos x，ytan x的定义域、值域、单调性、奇偶性、对称性等性质【答案】【热点解读】平面向量是高考的必考内容，通常在选择题、填空题中考查，重点考查向量的线性运算及其坐标表示、向量平行与垂直的条件、向量数量积及其应用(求夹角、模等)，一般难度不大也可能与三角函数、解三角形等综合考查平面向量【答案】B【名师点评】平面向量的基本问题一般利用相关公式计算即可，要注意公式变形、方程思想、坐标法等的应用【热点解读】(1)在三角形中考查三角函数式的变换， 是近几年高考的热点这种题是在新的载体上进行的三角变换，因此要时刻注意它的两重性：其一，作为三角形问题，它必然要用到三角形的内角和定理，正

5、、余弦定理及有关三角形的性质，应及时进行边角转化，有利于发现解决问题的思路；其二，它毕竟是三角变换，只是角的范围受到了限制，因此常见的三角变换方法和原则都是适用的，注意“三统一”，即“统一角、统一函数、统一结构”，是使问题获得解决的突破口(2)在解三角形时，三角形内角的正弦值一定为正，但该角不一定是锐角，也可能为钝角(或直角)，这往往造成有两解，应注意分类讨论，但三角形内角的余弦值为正，该角一定为锐角且有唯一解，因此，在解三角形中，若有求角问题，应尽量求余弦值三角恒等变形与解三角形综合【名师点评】本题主要考查了解三角形以及三角恒等变形等知识点，同时考查了考生的运算求解能力三角函数作为大题的一个

6、热门考点，常考查的主要是三角恒等变形、函数的性质、解三角形等知识点，在复习时需把这些常考的知识点弄透弄熟专题讲练第一部分专题3立体几何高考热点链接【热点解读】空间表面积与体积是考查几何命题的热点，多以选择题填空题形式出现，考查空间想象能力例1 如图，已知正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1，则四棱锥A1BB1D1D的体积为_几何体的面积和体积【分析】求出四棱锥的底面积与高，然后求解四棱锥的体积【名师点评】解关于表面积、体积问题常用方法：(1)分割法：一个几何体的体积等于它的各部分体积之和(2)补体法：与分割一样，有时为了计算方便，可将几何体补成易求体积的几何体，如长方体、正方体等另外由台体

7、的定义，我们在有些情况下，可以将台体补成锥体研究体积补台成锥是常见的解决台体侧面积与体积的方法，(3)等积变换法： 相同的几何体的体积相等：同一个几何体可以用不同的面做底(注意：三棱锥的任一个面可作为三棱锥的底面)；液状物体的形状改变体积不变(比如：水在容器中形状可以多变). 等底面积等高的两个同类几何体的体积相等，体积相等的两个几何体叫作等积体(4)计算圆柱、圆锥、圆台的体积时，关键是根据条件找出相应的底面面积和高，应注意充分利用多面体的截面和旋转体的轴截面，将空间问题转化为平面问题求解【热点解读】立体几何的解答题是必考试题，主要围绕用空间向量解决立体几何问题设计试题，考查向量在证明空间位置

8、关系、求解空间角和距离问题中的应用，考查空间向量在解决探索性问题中的应用，其目的是考查对立体几何的向量方法的掌握程度，考查运算求解能力建立合适的空间直角坐标系和求平面的法向量是解决问题的两个基础空间向量与立体几何例2 (2019年新课标)如图，长方体ABCDA1B1C1D1的底面ABCD是正方形，点E在棱AA1上，BEEC1.(1)求证：BE平面EB1C1；(2)若AEA1E，求二面角BECC1的正弦值【分析】(1)要证BE平面EB1C1，需在平面EB1C1内找两条与BE垂直的相交直线(2)长方体中很容易建立空间直角坐标系，利用向量法求二面角，此处需先求AA1.【解析】(1)由已知得B1C1平

9、面ABB1A1，BE平面ABB1A1，故B1C1BE.又BEEC1，B1C1EC1C1，所以BE平面EB1C1.(2)由(1)知BE平面EB1C1，则BEB1E.由AEA1E，易得RtABERtA1B1E，所以AEB45A1EB145.所以AEAB，AA12AB.【名师点评】立体几何解答题第一问通常考查线面位置关系的证明，空间中线面位置关系的证明主要包括线线、线面、面面三者的平行与垂直关系，其中推理论证的关键是结合空间想象能力进行推理，要防止步骤不完整或考虑不全致推理片面，该类题目难度不大，以中档题为主第二问一般考查空间角问题，多用空间向量解决专题讲练第一部分专题4统计与概率、排列与组合、算法

10、初步、复数高考热点链接【热点解读】离散型随机变量的概率分布与期望以及概率统计在生活中的实际应用，这一直都是高考命题的热点，试题的背景由传统的摸球，骰子问题向现实生活中的热点问题转化，并且与统计的联系越来越密切，与统计中的抽样，频率分布直方图等基础知识综合的试题逐渐增多，在复习时应予以关注统计与概率的交汇例1 (2018年北京)电影公司随机收集了电影的有关数据，经分类整理得到下表：好评率是指：一类电影中获得好评的部数与该类电影的部数的比值(1)从电影公司收集的电影中随机选取1部，求这部电影是获得好评的第四类电影的概率；(2)随机选取1部电影，估计这部电影没有获得好评的概率；(3)假设每类电影得到

11、人们喜欢的概率与表格中该类电影的好评率相等用“k1”表示第k类电影得到人们喜欢“k0”表示第k类电影没有得到人们喜欢(k1,2,3,4,5,6)写出方差D1，D2，D3，D4，D5，D6的大小关系电影类型第一类第二类第三类第四类第五类第六类电影部数14050300200800510好评率0.40.20.150.250.20.1(3)由题意知k服从两点分布，则由两点分布的方差公式可得D10.4(10.4)0.24，D20.2(10.2)0.16，D30.15(10.15)0.127 5，D40.25(10.25)0.187 5，D50.2(10.2)0.16，D60.1(10.1)0.09，方差

12、D1，D2，D3，D4，D5，D6的大小关系为：D6D3D2D5D4D1.【名师点评】本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的方差的求法，考查古典概型、两点分布等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题(2019年北京)改革开放以来，人们的支付方式发生了巨大转变近年来，移动支付已成为主要支付方式之一为了解某校学生上个月A，B两种移动支付方式的使用情况，从全校学生中随机抽取了100人，发现样本中A，B两种支付方式都不使用的有5人，样本中仅使用A和仅使用B的学生的支付金额分布情况如下：(1)从全校学生中随机抽取1人，估计该学生上个月A，B两种支付方式都使用的概率；支付金额(元)(0

13、,1 000(1 000,2 000大于2 000仅使用A18人9人3人仅使用B10人14人1人(2)从样本仅使用A和仅使用B的学生中各随机抽取1人，以X表示这2人中上个月支付金额大于1 000元的人数，求X的分布列和数学期望；(3)已知上个月样本学生的支付方式在本月没有变化现从样本仅使用A的学生中，随机抽查3人，发现他们本月的支付金额都大于2 000元根据抽查结果，能否认为样本仅使用A的学生中本月支付金额大于2 000元的人数有变化？说明理由【热点解读】近年来高考加强了函数与概率的结合考查，突出了组合、概率、离散型随机变量的分布列等知识，意在考查学生对新知识的理解与应用能力，以及利用所学知识

14、解决遇到的问题的能力，解决此类问题的关键是从实际问题中抽象出数学模型概率、统计与函数的交汇例2 (2017年新课标)某超市计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶4元，售价每瓶6元，未售出的酸奶降价处理，以每瓶2元的价格当天全部处理完根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温(单位：)有关如果最高气温不低于25，需求量为500瓶；如果最高气温位于区间20,25)，需求量为300瓶；如果最高气温低于20，需求量为200瓶为了确定六月份的订购计划，统计了前三年六月份各天的最高气温数据，得到下面的频数分布表：最高气温10,15)15,20)20,25)25,30)30,35)35,40)天

15、数216362574以最高气温位于各区间的频率代替最高气温位于该区间的概率(1)求六月份这种酸奶一天的需求量X(单位：瓶)的分布列；(2)设六月份一天销售这种酸奶的利润为Y(单位：元)，当六月份这种酸奶一天的进货量n(单位：瓶)为多少时，Y的数学期望达到最大值？【分析】(1)由题意知X的可能取值为200,300,500，分别求出相应的概率，由此能求出X的分布列(2)当n200时，Yn(64)2n400，EY400；当200n300时，EY1.2300160520；当300n500时，EY6400.4300520；当n500时，EY1 4402500440.从而得到当n300时，EY最大值为52

16、0元(2)当n200时，Yn(64)2n400，EY400.当200n300时，若X200，则Y200(64)(n200)(24)8002n，若X300，则Yn(64)2n，EYP(X200)(8002n)P(X300)2n0.2(8002n)0.82n1.2n160，EY1.2300160520.当300n500时，若X200，则Y8002n，若X300，则Y300(64)(n300)(24)1 2002n，【名师点评】本题考查离散型随机变量的分布列的求法，考查数学期望的最大值的求法，考查函数、离散型随机变量分布列、数学期望等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力第一问的关键是明确X的取值

17、；第二问的关键是正确的分类讨论思想的应用 (2019年福建模拟)某工厂A，B两条相互独立的生产线生产同款产品，在产量一样的情况下通过日常监控得知A，B生产线生产的产品为合格品的概率分别为p和2p1(0.5p1)(1)从A，B生产线上各抽检一件产品，若使得至少有一件合格的概率不低于99.5%，求p的最小值p0.(2)假设不合格的产品均可进行返工修复为合格品，以(1)中确定的p0作为p的值已知A，B生产线的不合格产品返工后每件产品可分别挽回损失5元和3元若从两条生产线上各随机抽检1 000件产品，以挽回损失的平均数为判断依据，估计哪条生产线挽回的损失较多？若最终的合格品(包括返工修复后的合格品)按

18、照一、二、三等级分类后，每件分别获利10元、8元、6元，现从A，B生产线的最终合格品中各随机抽取100件进行检测，结果统计如下图用样本的频率分布估计总体分布，记该工厂生产一件产品的利润为X，求X的分布列并估算该厂产量2 000件时利润的期望值【解析】(1)由题意得两件都不合格的概率为(1p)1(2p1)，则至少有一件合格的概率为1(1p)1(2p1)2p24p1，由2p24p199.5%，解得0.95p1.05.又0.5p1，所以p的最小值p00.95.(2)由(1)知A，B生产线的合格率分别为0.95,0.9，即不合格率分别为0.05,0.1.设从A，B生产线上各抽检1 000件产品，抽到不

19、合格产品的件数分别为X1，X2.则有X1B(1 000,0.05)，X2B(1 000,0.1)，所以A，B生产线上挽回损失的平均数分别为E(5X1)5E(X1)51 0000.05250，E(3X2)3E(X2)31 0000.1300.专题讲练第一部分专题5数列高考热点链接【热点解读】数列的求和与通项公式是高中数学的重要内容之一，属于高考必考试题在解决数列求和问题时，要善于观察关系式特点，进行适当的变形，如直接由等差、等比数列的求和公式求和、错位相减法求和、分组转化法求和、裂项相消法求和等；对于通项公式的求法主要利用等差、等比的性质，通项与前n项和之间的关系等数列的通项与求和例1 (201

20、7年天津)已知an为等差数列，前n项和为Sn(nN*)，bn是首项为2的等比数列且公比大于0，b2b312，b3a42a1，S1111b4.(1)求an和bn的通项公式；(2)求数列a2nbn的前n项和(nN*)【解析】(1)设等差数列an的公差为d，等比数列bn的公比为q.由已知b2b312，得b1(qq2)12，而b12，所以q2q60.又因为q0，解得q2，所以bn2n.由b3a42a1，得3da18；由S1111b4，得a15d16.联立，解得a11，d3，由此可得an3n2.所以，an的通项公式为an3n2，bn的通项公式为bn2n.【名师点评】本题考查了数列的基本概念与运算，意在考

21、查学生的逻辑思维能力与运算求解能力在利用Sn与通项an的关系求an的过程中，一定要注意n1的情况，错位相减法虽然思路成熟，但也对学生的运算能力提出了较高的要求 (2018年江苏徐州期中)已知等差数列an中，a25，a4a724，(1)求数列an的通项公式；(2)设bn2an1，求b1b2b3b10的值【热点解读】数列是考查考生创新意识与实践精神的最好素材从近些年的高考试题来看，一些构思精巧、新颖别致、极富思考性和挑战性的数列与方程、函数(包括三角函数)、不等式、概率以及导数等的综合性试题不断涌现，这部分试题往往以压轴题的形式出现，考查综合运用知识的能力，突出知识的融会贯通数列的问题难度大，往往

22、表现在与递推数列有关，递推含义趋广，不仅有数列前后项的递推，更有关联数列的递推，更甚的是数列间的“复制”式递推；从递推形式上看，既有常规的线性递推，还有分式、三角、分段、积(幂)等形式在考查通性通法的同时，突出考查思维能力、代数推理能力、分析问题解决问题的能力数列与不等式、函数的综合【名师点评】数列是特殊的函数，不等式是深刻认识函数与数列的重要工具，三者的综合是近几年高考命题的新热点，并且数列的重心已经偏移到不等式的证明与求解中，而不再是以前的递推求通项对于数列问题中求和类(或求积类)不等式证明，如果是通过放缩的方法进行证明的，一般有两种类型：一种是能够直接求和(或求积)，再放缩；一种是不能直

23、接求和(或求积)，需要放缩后才能求和(或求积)，求和(或求积)后再进行放缩在后一种类型中，一定要注意放缩的尺度，二是要注意从哪一项开始放缩专题讲练第一部分专题6解析几何高考热点链接【热点解读】直线与椭圆的位置关系是直线与圆锥曲线位置关系的高频考点，属于较难题，解决此类问题的关键：(1)结合椭圆的几何性质，如焦点坐标、对称轴等；(2)当看到题目中出现直线与圆锥曲线时，不需要特殊技巧，只要联立直线与圆锥曲线的方程，借助根与系数关系，找准题设条件中突显的或隐含的等量关系，把这种关系“翻译”出来，有时不一定要把结果及时求出来，可能需要整体代换到后面的计算中去，从而减少计算量直线与圆锥曲线的关系【名师点

24、评】求椭圆标准方程的方法一般为待定系数法：根据条件确定关于a，b，c的方程组，解出a2，b2，从而写出椭圆的标准方程解决直线与椭圆的位置关系的相关问题，其常规思路是先把直线方程与椭圆方程联立，消元、化简，然后应用根与系数的关系建立方程，解决相关问题 (2017年新课标)已知抛物线C：y22x，过点(2,0)的直线l交C于A，B两点，圆M是以线段AB为直径的圆(1)求证：坐标原点O在圆M上；(2)设圆M过点P(4，2)，求直线l与圆M的方程【热点解读】圆锥曲线中参数的范围及最值问题，考查学生对数学知识进行迁移、组合、融会的能力，提高学生综合运用所学知识分析、解决问题的能力该类试题设计巧妙、新颖别致，常求特定量、特定式子的最值或范围常与函数解析式的求法、函数最值、不等式等知识交汇，成为近年高考热点解决圆锥曲线中最值、范围问题的基本思想是建立目标函数和建立不等关系，根据目标函数和不等式求最值、范围，因此这类问题的难点，就是如何建立目标函数和不等关系建立目标函数或不等关系的关键是选用一个合适变量，其原则是这个变量能够表