数值分析试题2

1、数值分析整理版试题及答案数值分析整理版试题及答案数值分析整理版试题及答案例1、已知函数表-112-304求f(x)的Lagrange二次插值多项式和Newton二次插值多项式。解：1）由题可知-112-043插值基函数分别为故所求二次拉格朗日插值多项式为2）一阶均差、二阶均差分别为均差表为二阶阶-1-3103/22445/6故所求Newton二次插值多项式为例2、设f(x)x23x2，x0,1，试求f(x)在0,1上关于(x)1，span1,x的最正确平方迫近多项式。解：若span1,x，则0(x)1，1(x)x，且(x)1，这样，有所以，法方程为11a02311a02326，经过消元得261

2、a1a119011234123再回代解该方程，获取a14，a0116故，所求最正确平方迫近多项式为S1*(x)114x6例3、设f(x)ex，x0,1，试求f(x)在0,1上关于(x)1，span1,x的最正确平方迫近多项式。解：若span1,x，则0(x)1，1(x)x，这样，有所以，法方程为解法方程，获取a00.8732，a11.6902，故，所求最正确平方迫近多项式为例4、用n4的复合梯形和复合辛普森公式计算积分9xdx。1解：（1）用n4的复合梯形公式因为h2，fxx，xk12kk1,2,3，所以，有（2）用n4的复合辛普森公式因为h2，fxx，xk12kk1,2,3，x122kk0,

3、1,2,3，所以，有k2例5、用列主元消去法求解以下线性方程组的解。解：先消元再回代，获取x33，x22，x11所以，线性方程组的解为x11，x22，x33例6、用直接三角分解法求以下线性方程组的解。解：设则由ALU的对应元素相等，有u111，u1，u1，4125136lu1l214，lu1l312，21113331112luu221u221，luu231u231，21124602113545l31u12l32u221l3236，l31u13l32u23u332u331315所以，100y19b，即4解Ly10y28，得y19，y24，y31543y382361111456x1911解Uxy，

4、即0 x24，得x3177.69，x2476.92，x1227.086045x3154001315所以，线性方程组的解为x1227.08，x2476.92，x3177.69、若A是nn阶非奇异阵，则必存在单位下三角阵L和上三角阵U，使ALU独一建立。（）、当n8时，Newtoncotes型求积公式会产生数值不稳固性。（）bnf(x)dxAif(xi)3、形如a的高斯（Gauss）型求积公式拥有最高代数精确i1度的次数为2n1。（）210A111、矩阵012的范数A2。（）2aa0A0a05、设00a，则对任意实数a0，方程组Axb都是病态的。（用）（）6、设ARnn，QRnn，且有QTQI（单

5、位阵），则有A2QA2。（）7、区间a,b上关于权函数W(x)的直交多项式是存在的，且独一。（）1、（）2、（）3、（）4、（）5、（）6、（）7、（）8、（）一、判断题（101）1、若A是n阶非奇异矩阵，则线性方程组AXb必定可以使用高斯消元法求解。()2、解非线性方程f(x)=0的牛顿迭代法在单根x*周边是平方收敛的。(?)3、若A为n阶方阵，且其元素满足不等式则解线性方程组AXb的高斯塞德尔迭代法必定收敛。()4、样条插值一种分段插值。(?)5、假如插值结点同样，在满足同样插值条件下全部的插值多项式是等价的。(?)6、从实质问题的精确解到实质的计算结果间的偏差有模型偏差、观察偏差、截断偏

6、差及舍入偏差。(?)、解线性方程组的的平方根直接解法适用于任何线性方程组AXb。()78、迭代解法的舍入偏差预计要从第一步迭代计算的舍入偏差开始预计,直到最后一步迭代计算的舍入偏差。()9、数值计算中的总偏差假如只考虑截断偏差和舍入偏差，则偏差的最正确分配原则是截断偏差舍入偏差。(?)10、插值计算中防范外插是为了减少舍入偏差。()1.用计算机求10001时，应依据n从小到大的序次相加。（）n1n10002.为了减少偏差,应将表达式20011999改写为2进行计算。（对）199920013.用数值微分公式中求导数值时，步长越小计算就越精确。（）用迭代法解线性方程组时，迭代能否收敛与初始向量的选

7、择、系数矩阵及其演变方式有关，与常数项没关。（）复习试题一、填空题：410AA141、014，则A的LU分解为。11410A1411541答案：0415156152、已知f(1)1.0,f(2)1.2,f(3)1.3，则用辛普生（辛卜生）公式计算求得3f(x)dx_,用三点式求得f(1)1。答案：，3、f(1)1,f(2)2,f(3)1，则过这三点的二次插值多项式中x2的系数为，拉格朗日插值多项式为。答案：-1，L2(x)1(x2)(x3)2(x1)(x3)1(x1)(x2)224、近似值x*0.231关于真值x0.229有(2)位有效数字；5、设f(x)可微,求方程xf(x)的牛顿迭代格式是

8、()；xn1xnxnf(xn)1f(xn)答案6、对f(x)x3x1,差商f0,1,2,3(1),f0,1,2,3,4(0)；7、计算方法主要研究(截断)偏差和(舍入)偏差；8、用二分法求非线性方程fx)=0在区间ab内的根时，二分n次后的偏差限为(,)ba(2n1)；10、已知f(1)2，f(2)3，f(4)，则二次Newton插值多项式中x2系数为()；1113131f(x)dxf()f()f(x)dx(0211、两点式高斯型求积公式02323)，代数精度为(5)；12、解线性方程组Ax=b的高斯序次消元法满足的充要条件为(A的各阶序次主子式均不为零)。y1034613、x1(x1)2(x

9、1)3为了使计算的乘除法次数尽量地少，应将该表达y10(3(46t)t)t,t1x1，为了减少舍入偏差，应将表达式20011999式改写为2改写为20011999。14、用二分法求方程f(x)x3x10在区间0,1内的根,进行一步后根的所在区间为，1,进行两步后根的所在区间为，。1xdx,取415、计算积分0.5位有效数字。用梯形公式计算求得的近似值为，用辛卜生公式计算求得的近似值为，梯形公式的代数精度为1，辛卜生公式的代数精度为3。3x15x21x1(k1)(15x2(k)/316、求解方程组0.2x14x20的高斯塞德尔迭代格式为x(k1)x(k1)/20，该迭代211格式的迭代矩阵的谱半

10、径(M)=12。17、设f(0)0,f(1)16,f(2)46,则l1(x)l1(x)x(x2)，f(x)的二次牛顿插值多项式为N2(x)16x7x(x1)。bnf(x)dxAkf(xk)高斯型)18、求积公式ak0的代数精度以(求积公式为最高，拥有(2n1)次代数精度。5f(x)dx、已知f(1)=1,f(3)=5,f(5)=-3,用辛普生求积公式求(12)。191、设f(1)=1，f(2)=2，f(3)=0，用三点式求f(1)()。2021、假如用二分法求方程x3x40在区间1,2内的根精确到三位小数，需对分（10）次。23、l0(x),l1(x),ln(x)是以整数点x0,x1,xn为节

11、点的Lagrange插值基函数，则nnlk(x)(1)k0n(x4x23)lk(x)kk(k026、改变函数f(x)，k0 xklj(xk)n2时(xj)，当x4x23)。x1x(x1)的形式，使计算结果较精确fx1x1x27、若用二分法求方程fx10次。29、若用复化梯形公式计算个求积节点。30、写出求解方xk111.6xk121,k0,1,k12kx20.4x1A5431、设43,则A。0在区间1,2内的根，要求精确到第3位小数，则需要对分1exdx，要求偏差不超出1060，利用余项公式预计，最少用x11.6x21程组0.4x1x22的Gauss-Seidel迭代公式01.6，迭代矩阵为0

12、0.64，此迭代法能否收敛收敛。482482U016A257001、设矩阵136的ALU，则U2。3233、若f(x)3x42x1，则差商f2,4,8,16,323。12f(1)8f(0)f(1)f(x)dx934、数值积分公式1的代数精度为2。12101511x1235、线性方程组103的最小二乘解为1321321041033A204002113536、设矩阵分解为A2LU，则U二、单项选择题：1、Jacobi迭代法解方程组Axb的必需条件是（C）。AA的各阶序次主子式不为零B(A)1Caii0,i1,2,nDA1223A0512、设007，则(A)为(C)A2B5C7D33、三点的高斯求积

13、公式的代数精度为(B)。A2B5C3D44、求解线性方程组Ax=b的LU分解法中，A须满足的条件是(B)A对称阵B正定矩阵C任意阵D各阶序次主子式均不为零5、舍入偏差是(A)产生的偏差。A.只取有限位数B模型正确值与用数值方法求得的正确值C观察与丈量D数学模型正确值与实质值6、是的有(B)位有效数字的近似值。A6B5C4D7、用1+x近似表示x所产生的偏差是(C)偏差。7eA模型B观察C截断D舍入8、解线性方程组的主元素消去法中选择主元的目的是(A)。A控制舍入偏差B减小方法偏差C防范计算时溢出D简化计算。x319、用1+3近似表示x所产生的偏差是(D)偏差。A舍入B观察C模型D截断10、-3

14、247500是舍入获取的近似值，它有(C)位有效数字。A5B6C7D811、设f(-1)=1,f(0)=3,f(2)=4,则抛物插值多项式中x2的系数为(A)。A05B05C2D-212、三点的高斯型求积公式的代数精度为(C)。A3B4C5D213、(D)的3位有效数字是102。(A)103(B)102(C)(D)10114、用简单迭代法求方程f(x)=0的实根，把方程f(x)=0表示成x=?(x)，则f(x)=0的根是(B)。(A)y=?(x)与x轴交点的横坐标(B)y=x与y=?(x)交点的横坐标(C)y=x与x轴的交点的横坐标(D)y=x与y=?(x)的交点3x1x24x31x12x29

15、x3015、用列主元消去法解线性方程组4x13x2x31，第1次消元，选择主元为(A)。(A)4(B)3(C)4(D)916、拉格朗日插值多项式的余项是(B),牛顿插值多项式的余项是(C)。(A)f(x,x0,x1,x2,xn)(xx1)(xx2)(xxn1)(xxn)，Rn(x)f(x)f(n1)()Pn(x)(B)(n1)!(C)f(x,x0,x1,x2,xn)(xx0)(xx1)(xx2)(xxn1)(xxn)，f(n1)()(x)Rn(x)f(x)Pn(x)n1(D)(n1)!17、等距二点求导公式f?(x1)?(A)。18、用牛顿切线法解方程f(x)=0，选初始值x0满足(A),则它

16、的解数列xnn=0,1,2,必定收敛到方程f(x)=0的根。19、为求方程x3x21=0在区间,内的一个根，把方程改写成以下形式，并建立相应的迭代公式，迭代公式不收敛的是(A)。x21,迭代公式:xk111(A)x1xkx1,迭代公式:xk111212(B)xxk(C)x31x2,迭代公式:xk(12)1/31xkx31x2,迭代公式:xk11xk2xk2(D)xk1、解方程组Axb的简单迭代格式x(k1)Bx(k)g收敛的充要条件是（）。21（1）(A)1,(2)(B)1,(3)(A)1,(4)(B)1bnCi(n)22、在牛顿-柯特斯求积公式：af(x)dx(ba)i0f(xi)中，当系数

17、Ci(n)是负值时，公式的稳固性不可以保证，所以实质应用中，当（）时的牛顿-柯特斯求积公式不使用。（1）n8，（2）n7，（3）n10，（4）n6，23、有以下数表x012f(x)-2-12所确立的插值多项式的次数是（）。（1）二次；（2）三次；（3）四次；（4）五次25、取31.732计算x(31)4，以下方法中哪一种最好？（）1616(A)28163；(B)(423)2；(C)(423)2；(D)(31)4。27、由以下数表进行Newton插值，所确立的插值多项式的最高次数是（）-1(A)5；(B)4；(C)3；(D)2。b28、形如af(x)dxA1f(x1)A2f(x2)A3f(x3)

18、的高斯（Gauss）型求积公式的代数精度为（）(A)9；(B)7；(C)5；(D)3。29、计算3的Newton迭代格式为()xk1xk3xk1xk3xk1xk2xk1xk32xk；(B)22xk；(C)23xk。(A)xk；(D)30、用二分法求方程x34x2100在区间1,2内的实根，要求偏差限为11032，则对分次数最少为()(A)10；(B)12；(C)8；(D)9。932、设li(x)是以xkk(k0,1,L,9)为节点的Lagrange插值基函数，则k0kli(k)()(A)x；（）k；（C）i；（）1。BD33、5个节点的牛顿-柯特斯求积公式，最少拥有()次代数精度(A)5；(B

19、)4；(C)6；(D)3。35、已知方程x32x50在x2周边有根，以下迭代格式中在x02不收敛的是()xk1253xk12xk35(A)xk132xk5；(D)3xk22。5；(B)xk；(C)xk1xkxk36、由以下数据012341243-5确立的独一插值多项式的次数为()(A)4；(B)2；(C)1；(D)3。37、5个节点的Gauss型求积公式的最高代数精度为()(A)8；(B)9；(C)10；(D)11。三、是非题（以为正确的在后边的括弧中打?，不然打?）、已知观察值(xi，m)用最小二乘法求n次拟合多项式Pn(x)yi)(i012,时，1Pn(x)的次数n可以任意取。()x22、

20、用1-2近似表示cosx产生舍入偏差。()(xx0)(xx2)x1的二次、(x1x0)(x1x2)表示在节点(拉格朗日)插值基函数。(?)34、牛顿插值多项式的长处是在计算时，高一级的插值多项式可利用前一次插值的结果。(?)5、矩阵A拥有严格对角占优。()=四、计算题：4x12x2x311x14x22x3181、用高斯-塞德尔方法解方程组2x1x25x322，取x(0)(0,0,0)T，迭代四次(要求按五位有效数字计算)。答案：迭代格式k00001234f(x)dxAf(1)f(1)Bf(1)f(1)1、求A、B使求积公式122的代数精度尽量高,2I21dx(保留四位小数)。并求其代数精度；利

21、用此公式求1x答案：f(x)1,x,x2是精确建立，即2A2B22A12A1,B8B32得991f(x)dx1f(1)f(1)8f(1)f(1)求积公式为19922x3x421当f(x)时，公式明显精确建立；当f(x)时，左=5，右=3。所以代数精度为3。3、已知13452654分别用拉格朗日插值法和牛顿插值法求f(x)的三次插值多项式P3(x)，并求f(2)的近似值（保留四位小数）。L3(x)2(x3)(x4)(x5)6(x1)(x4)(x5)答案：(13)(14)(15)(31)(34)(35)差商表为一阶均差二阶均差三阶均差1236245-1-154-106、已知sinx区间，的函数表如

22、用二次插值求sin0.63891的近似值，如何选择节点才能使偏差最小？并求该近似值。答案：解：应选三个节点，使偏差尽量小，即应使|3(x)|尽量小，最凑近插值点的三个节点满足上述要求。即取节点0.5,0.6,0.7最好，实质计算结果sin0.638910.596274，且7、构造求解方程ex10 x20的根的迭代格式xn1(xn),n0,1,2,，谈论其收敛性，并将根求出来，|xn1xn|104。答案：解：令f(x)ex10 x2,f(0)20,f(1)10e0.且f(x)ex100对x(，)，故f(x)0在(0,1)内有独一实根.将方程f(x)0变形为则当x(0,1)时1exe(x)ex)|

23、(x)|1(2101010，故迭代格式收敛。取x00.5，计算结果列表以下：n0123127872424785877325n4567595993517340525950525008且满足|x7x6|0.00000095106.所以x*0.090525008.x12x23x3142x15x22x3188利用矩阵的LU分解法解方程组3x1x25x320。1123ALU2114答案：解：35124令Lyb得y(14,10,72)T，Uxy得x(1,2,3)T.3x12x210 x31510 x14x2x359对方程组2x110 x24x38（1）试建立一种收敛的Seidel迭代公式，说明原由；（2）

24、取初值x(0)(0,0,0)T，利用（1）中建立的迭代公式求解，要求|x(k1)x(k)|103。解：调整方程组的地址，使系数矩阵严格对角占优故对应的高斯塞德尔迭代法收敛.迭代格式为取x(0)(0,0,0)T,经7步迭代可得：x*x(7)(0.999991459,0.999950326,1.000010)T.、已知以下实验数据if(xi)试按最小二乘原理求一次多项式拟合以上数据。x时，f(x)x，则f(x)1解：当ee，且0exdx有一位整数.01要求近似值有5位有效数字，只须偏差R1(n)(f)11042.R(n)(f)(ba)3f()由112n2，只要即可，解得所以n68，所以最少需将0,

25、168等份。111x14543x21211、用列主元素消元法求解方程组211x311。1114r1r254312543121114解：2111121111回代得x31,x26,x13。12、取节点x00,x10.5,x21,求函数f(x)ex在区间0,1上的二次插值多项式P2(x),并预计偏差。P2(x)e0(x0.5)(x1)e0.5(x0)(x1)解：(00.5)(01)(0.50)(0.51)f(x)ex,f(x)ex,M3max|f(x)|1又x0,1|R(x)|exP(x)|1|x(x0.5)(x1)|故截断偏差223!。14、给定方程f(x)(x1)ex10分析该方程存在几个根；用

26、迭代法求出这些根，精确到5位有效数字；说明所用的迭代格式是收敛的。解：1）将方程(x1)ex10（1）改写为x1ex（2）作函数f1(x)x1，f2(x)ex的图形（略）知（2）有独一根x*(1,2)。2)将方程（2）改写为x1exxk11exk构造迭代格式x01.5(k0,1,2,)计算结果列表以下：k123456789xk3)(x)1ex(x)ex，当x1,2时，(x)(2),(1)1,2，且所以迭代格式xk1(xk)(k0,1,2,)对任意x01,2均收敛。15、用牛顿(切线)法求3的近似值。取x0=,计算三次，保留五位小数。解：3是f(x)x230的正根，f(x)2x，牛顿迭代公式为x

27、n1xn23xn3xnxn1(n0,1,2,)2xn，即22xn取x0=,列表以下：12316、已知f(-1)=2，f(1)=3，f(2)=-4，求拉格朗日插值多项式L2(x)及f(1，5)的近似值，取五位小数。L2(x)2(x1)(x2)3(x1)(x2)4(x1)(x1)解：(11)(12)(11)(12)(21)(21)1exdxn用复合梯形公式求的近似值（取四位小数）,并求偏差预计。17、=3,01exdxT310e02(e13e23)e11.7342解：023f(x)ex,f(x)ex，0 x1时，|f(x)|e最罕有两位有效数字。x1x218、用Gauss-Seidel迭代法求解线

28、性方程组x3=取x(0)=(0,0,0)T,列表计算三次，保留三位小数。解：Gauss-Seidel迭代格式为：系数矩阵严格对角占优，故Gauss-Seidel迭代收敛.取x(0)=(0,0,0)T，列表计算以下:12351，20、（8分）用最小二乘法求形如yabx2的经验公式拟合以下数据：19253038解：span1,x2解方程组ATACATyATA43391ATy173.6此中33913529603179980.7C0.9255577解得：0.0501025所以a0.9255577，b0.05010251exdx时，试用余项21、（15分）用n8的复化梯形公式（或复化Simpson公式）

29、计算0预计其偏差。用n8的复化梯形公式（或复化Simpson公式）计算出该积分的近似值。RTfbah2f()11e010.001302解：12128276822、（15分）方程x3x10在x1.5周边有根，把方程写成三种不一样的等价形式（1）1xn111对应迭代格式xn1xn1；(2)x1x对应迭代格式1x3x3xn；（3）xx31对应迭代格式xn1xn31。判断迭代格式在x01.5的收敛性，选一种收敛格式计算x1.5周边的根，精确到小数点后第三位。1(x2解：（1）(x)1）3（1.5）0.181，故收敛；3，(x)11（2）2x21（1.5）0.171，故收敛；x，（3）(x)3x2，（1

30、.5）31.521，故发散。选择（1）：x01.5，x11.3572x21.3309，x31.3259，x41.3249，x51.32476，x61.3247223、（8分）已知方程组AXf，此中43A3414，1）列出Jacobi迭代法和Gauss-Seidel迭代法的重量形式。2）求出Jacobi迭代矩阵的谱半径。x1(k1)1(243x2(k)4x2(k1)1(303x1(k)x3(k)41(24x2(k)x3(k1)k4解：Jacobi迭代法：0,1,2,3,x1(k1)1(243x2(k)4x2(k1)1(303x1(k1)x3(k)4x3(k1)1(24x2(k1)4Gauss-S

31、eidel迭代法：k0,1,2,3,030D1(LU)343BJ041040340，(BJ)58(或4)0.79056925、数值积分公式形如1xf(x)dxS(x)Af(0)Bf(1)Cf(0)Df(1)试确立参数A,B,C,D使公式代数精度0C40,1，推导余项公式R(x)1xf(x)dxS(x)，并预计偏差。尽量高；（2）设f(x)0解：将f(x)1,x,x2,x3分布代入公式得：A3,B7,B1,D120203020H3(xi)f(xi)构造Hermite插值多项式H3(x)满足H3(xi)f(xi)i0,1此中x00,x111xH3(x)dxS(x)，f(x)H3(x)f(4)()x

32、2(x1)2则有：04!27、（10分）已知数值积分公式为：hf(x)dxhf(0)f(h)h2f(0)f(h)02，试确立积分公式中的参数，使其代数精确度尽量高，并指出其代数精确度的次数。解：f(x)1明显精确建立；h2hh0hh211f(x)xdx；x时，022hx2dxh3h0h2h202hh32h1f(x)x2时，032212；hx3dxh4h0h31h203h2；f(x)x3时，04212hx4dxh5h0h41h204h3h5f(x)x4时，052126；所以，其代数精确度为3。28、（8分）已知求a(a0)的迭代公式为：证明：对全部k1,2,xka，且序列xk是单调递减的，从而迭

33、代过程收敛。xk11a12xkaak0,1,2(xkxk)xk证明：22故对全部k1,2,xka。xk11a11又xk(12)(11)所以xk1xk，即序列xk是单调递减有下界，从而迭2xk2代过程收敛。29、（9分）数值求积公式数精度是多少？33f(1)f(2)f(x)dx02能否为插值型求积公式？为何？其代p(x)x2x112f(1)f(2)解：是。因为f(x)在基点1、2处的插值多项式为2133f(2)p(x)dxf(1)02。其代数精度为1。30、(6分)写出求方程4xcosx1在区间0,1的根的收敛的迭代公式，并证明其收敛性。(6分)xn1xn11cosxn4，n=0,1,2,x1sinx110,1,迭代公式都收敛。44对任意的初值x031、(12分)以100,121,144为插值节点，用插值法计算115的近似值，并利用余项预计偏差。用Newton插值方法：差分表：101001211114210+(115-100)(115-100)(115-121)=1sinxIxdx32、(10分)用复化Simpson公式计算积分0的近似