本科线性代数题库试题答案

1、本科线性代数题库答案四、计算题。127计算行列式127解：128计算行列式128解： 129计算行列式129解：=0130计算行列式130解：131计算行列式131解：132计算行列式132解：=12133计算行列式133解：=160134求矩阵的逆矩阵.134解： -3分-6分故-8分（利用公式求得结果也正确。）135求矩阵的逆矩阵.135解：所以A可逆。A的伴随矩阵136设求136解将矩阵A分块成分块对角矩阵：则于是137求的逆矩阵。137解：写出并进行初等行变换，直至将中的A化成单位矩阵.由此得138 解矩阵方程其中138解： 139解矩阵方程:139解: 140解矩阵方程:140解:

2、141：141解由矩阵加法、减法、数量乘积、负矩阵的概念及矩阵方程得142：设并且求B和C142解：即由得得143：已知求143解： 144.已知其中,，求矩阵与.144解：由得,故A=B=145试从方程中解出向量x其中145解利用向量的线性运算法则（与矩阵运算相应的法则相同），从方程得146.已知向量组，求.146解：=147.已知向量组，求满足的向量.147解：由得2x=五、解答题148：判定线性方程组是否有解。148解对线性方程组的增广矩阵作初等行变换，得即因此方程组无解.149：判定线性方程组是否有解。149解对线性方程组的增广矩阵作初等行变换，有则知方程组有无穷多组解。150. 判定

3、方程组是否有解150解：经初等变换得所以, 方程组有无穷多组解。151：试判断当为何值时，齐次线性方程组（1）有非零解；（2）只有零解.151解（解法一）将齐次线性方程组的系数矩阵进行初等行变换故由定理3.6.1知，当方程组有非零解；方程组只有零解.（解法二）直接计算原线性方程组的系数行列式并利用推论3.6.1也可得结论.152 问取何值时此方程组：（1）有唯一解；（2）无解；（3）有无穷多组解？152解：(解法一) 由于系数矩阵是方阵，由克拉默法则知它有唯一解的充分必要条件是系数行列式因此当时，方程组有唯一解.当时，增广矩阵知即故线性方程组无解。当时， 故方程组有无穷多组解，(解法二) 对线

4、性方程组的增广矩阵作初等行变换，有(1)当且时，方程组有唯一解。(2)当时， 方程组无解。(3)当时，方程组有无穷多组解。153取何值时，方程组无解、有唯一解或有无穷多解？ 153154 讨论为何值时，非齐次线性方程组有唯一解；有无穷多解；无解。154解； -3分（1）唯一解： -5分（2）无穷多解： -7分（3）无解： -9分（利用其他方法求得结果也正确。）155 试证向量线性表示，并求出表达式。155解考虑线性方程组表成矩阵形式的线性方程组156. 将向量表为，的线性组合.156解：157判断向量能否由向量组线性表示，若能，求出一组组合系数，其中157解：以为系数列向量，以为常数项的线性方

5、程组对增广矩阵运用初等行变换，得由矩阵的最简形知，原线性方程组有解，即可由向量组线性表示.由矩阵的最简形知线性方程组的解为即为线性组合的一组系数，且158给定向量组1=，2=，3=，4=.试判断4是否为1，2，3的线性组合；若是，则写出组合表达式。158解：解法一所以4=21+2+3解法二考虑4=x11+x22+x33，即方程组有唯一解（2，1，1）T所以4=21+2+3159已知试讨论向量组，的线性相关性。159解可见，向量组线性相关；160讨论向量组，当为何值时，向量组线性相关。160解:若向量组线性相关,则所以,即161设向量组问取何值时，（1）可由线性表示，且表达式唯一？（2）可由线性

6、表示，但表达式不唯一？（3）不能由线性表示？161解：因为所以（1）当 -1且 1 时，可由线性表示，且表达式唯一；（2）当= 1 时，可由线性表示，但表达式不唯一；（3）当= -1时，不能由线性表示。162求齐次线性方程组的一个基础解系.162解对系数矩阵进行初等行变换:为自由未知量，因此与原齐次线性方程组同解的阶梯形方程组为则原齐次线性方程组的解为取取则为齐次线性方程组的一个基础解系.163求齐次线性方程的通解,其系数矩阵为163解对系数矩阵进行初等行变换：由上面最后一个阶梯形矩阵知继续对将其第1、2、4列构成的矩阵化为单位矩阵，有因此，与原齐次线性方程组同解的方程组为164下列线性方程组

7、是否有解？若有解，求其全部解.164解先写出线性方程组的增广矩阵，并将其进行初等行变换化为阶梯形矩阵.故原线性方程组有无穷多解，且其同解线性方程组为阶梯形方程组在上述方程组中，取自由未知量.也可将上式写成向量的形式：165设线性方程的增广矩阵为试求此线性方程组的通解.165解首先将增广矩阵用初等行变换化为阶梯形矩阵故线性方程组有无穷多解，且其同解线性方程组为阶梯形方程组令得原线性方程组的一个特解与原方程组对应的齐次线性方程组的同解方程组可得对应的齐次线性方程组的一个基础解系为所以，原线性方程组的通解为166：解线性方程组166解对于齐次线性方程组，只需将系数矩阵化成行最简形，即可求出方程组的解

8、. 从最后的行最简形可知所以该齐次线性方程组有解，且由于故该齐次线性方程组有无穷多组解.由最后的行最简形知，与原方程组同解的线性方程组为为非自由未知量；为自由未知量，得所求方程组的通解为其中可任意取值.令并把解写成向量形式为上式即是齐次线性方程组的通解.167：解线性方程组167解对线性方程组的增广矩阵作初等行变换，有则知方程组有解，依据行最简形，得与原方程组同解的方程组并把上式写成向量形式的通解168 解方程组168解：经初等变换得所以, 方程组有解。而，分别取，得基础解系为，. 故方程组的通解为：，其中，为任意常数。六、证明题。169设A是矩阵，求证：也是对称矩阵.169证明：即是对称矩阵

9、。170设A是对称矩阵，求证：也是对称矩阵.170证明：即是对称矩阵。171 证明任一方阵都可以表示为一个对称矩阵与一个反对称矩阵之和.171证明：设A是一个n阶方阵是对称矩阵，是反对称矩阵。172设是可逆的阶矩阵，求证172证明：由性质, 现在又由性质知，故173设方阵A满足方程证明：A为可逆矩阵，173证：得由故即从而A可逆。174证明A和都可逆，并求。174证明:由得则及都可逆。175设矩阵A是可逆矩阵，且证明：175证明：因为A是可逆矩阵，所以有逆矩阵于是在等式的两边左乘，由矩阵的乘法满足结合律有176证明：线性无关。176证明：（1）向量组线性无关。177证明：1=(1,0,1), 2=(0,1,-1), 3=(2,0,1) 4=(0,1,2)线性相关。177证明：向量组线性相关。178证明：向量组线性无关。178证明：以为列作一个矩阵，并对矩阵进行初等行变换，即因为，所以向量组线性无关。179证明： 线性无关。179证明：以为列作一个矩阵，并对矩阵进行初等行变换，因为所以，因此向量组线性