圆波导的模式分析

1、圆波导的模式分析中文摘要摘要为研究波导电磁场分布情况，本课题采用了 MATLAB编程的方式直观显示其电磁场矢量分布图。首先对微波技术的发展历史及现状做了系统的概述， 同时对波导的定义及特点还有主要的参数做了一番概括，本文也粗略介绍了 MATLAB的主要功能和特点以及MATLAB在本次设计中起到的主要作用。接着 从矩形波导出发，通过对麦克斯韦方程组的推导得出波动方程，并且求解这个偏 微分方程并结合边界条件得出矩形波导内的电磁场分布表达式，另外，通过分析 得出了矩形波导的一般特性。然后用分离变量法求解波动方程的柱坐标形式，并 结合边界条件得出圆波导的场表达式及其特性。关键词波导场分布波动方程 MA

2、TLAB外文摘要TitleAnalysisofCircularWaveguide modeAbstractTo study the circular waveguide electromagnetic field distribution, I use MATLAB to visual display its electromagnetic field distribution. First , I do a summarize of the development history and current status of microwave technology ,and sketch o

3、ut the definition and characteristics of waveguide with some main parameters. At the same time , this article dose some introduction of MATLABs main function and its characteristics and the role matlab plays in the design. Then , based on Maxwells equation , we can derive the wave equation and solve

4、 the partial differential equations . Applying the boundary conditions ,we can conclude the field expression . Besides , we can study the general characteristics ofthe rectangular waveguide.Then ,we can use the method of separation of variables to solve the Helmholtz equation of cylindrical coordina

5、te system, and similarly, get the field expression and characteristics ofthe circular waveguide with the help of boundary conditions.Keywordswaveguidefield distributionHelmholtz equationMATLAB1绪论1.1微波技术的发展历史微波，根据国际电工委员会（IEC）的定义，是指，波长足够短，以致在发射 和接收中能实际应用波导和谐振腔技术的电磁波”1。通常来说，微波是指波长 在1mm1000mm、频率在300MHz3

6、00GH范围内的电磁波，即分布在分米波、 厘米波、毫米波三个波段的电磁波。在微波技术的发展历史上，有那么一位举足 轻重的人物詹姆斯克拉克麦克斯韦(James Clerk Maxwell, 1831 1879), 他是英国物理学家、数学家，经典电动力学的创始人，统计物理学的奠基人之一 2。他被普遍认为是对物理学最有影响力的物理学家之一，他对基础自然科学 的贡献仅次于牛顿。如果说牛顿把天上和地上的运动规律统一起来，是实现物理 学的第一次大综合，那么麦克斯韦把电和光统一起来，就是继牛顿之后的“物理 学第二次大统一”，就连爱因斯坦在他的百年诞辰的纪念会上，也评价其建树“是 牛顿以来，物理学最深刻和最富

7、有成果的工作”。1862年，麦克斯韦就提出了位移电流的概念，并提出了“光与电磁现象有联 系”的想法，1865年，麦克斯韦在其论文中第一次使用了 “电磁场” (electro-magnetic) 一词，并提出了电磁场方程组(麦克斯韦方程组)，推演了 波动方程，还论证了光是电磁波的一种。1885年。赫兹从事电磁波方面的研究， 确定了麦克斯韦理论的正确性。麦克斯韦方程组是经典电磁学的基础，在这些基 础理论以后，现代电力科技和电子科技得到飞速的发展。1888年到1889年，赫 兹发表了文章提到他产生并且辐射出去的波长集中分布在米波和分米波段，另 外，他还曾把二米长的锌版弯成抛物面的形状，把振子放在焦线

8、上，以此证明了 电磁波的直线进行性质和可聚焦性质，所以，赫兹发明了抛物反射面天线。19世纪末，物理学家们就解决了未来微波的传输工具问题，J.J.Thomson在 其著作中还预言了圆波导，更给出了有限电壁波导的初步理论，1910年，D.Hondros和P.Debye给出用介质圆波导的原理，并且H.Zahn和Schriever对此 发表了有关实验。1936年，美国贝尔研究所的GC.Southworth宣布了波导传输 实验的成功，1938年，美国IRE举行了关于波导的学术报告会，表演了四种重 要的模式，同时，又举行了喇叭天线(又开口逐步扩大而成)的报告和演示会， 自此以后，微波成为一个热门话题。同年

9、，美籍华人朱兰成在杂志上发表了题为 “圆形中空金属管子里的电磁波”的文章，是关于椭圆波导的第一篇论文。第二次 世界大战期间，对能够进行探测定位的高分辨率雷达的迫切需要，大大促进了微 波技术的发展。第二次世界大战后，微波技术进一步发展，不仅系统研究出了微 波技术的传输理论，而且向着多方面多领域的应用发展，并且一直不断地完善。 在20世纪70年代初期，我国也开始研究和利用微波技术，首先是在连续微波磁 控管的研制方面取得重大进展，特别是大功率磁控管的研制成功，为微波技术的 应用提供了先决条件3。微波在电磁波频谱中的低频端与“超短波”相连接而高频端与“远红外”毗邻 4，对于不同的介质具有不同的反射和透

10、射特性，使其在雷达、射电天文和地 质地矿等领域可应用于探测，在工业中可应用于无污染加热和产品检测等，在日 常生活中可应用于无油烟食物烹饪和无线通信，以及在医学领域可应用于病理诊 断和微波理疗等。1.2波导的简介总的来说，任何可以将电磁波从一端导至另一端的结构都能被称为波导。在 这种定义下，平行传输线、同轴电缆、微带线、共面槽线、不同截面的空心金属 管以及电介质板或电介质柱都可以称作波导。因为自由空间也能进行波的传输， 所以，从一定意义上来说，自由空间也可以被看作是波导。在微波工程中，波导 这个概念不仅指空心的金属管，也可以是部分填充的金属管，这些金属管的截面 可以是矩形，圆形，也可以是椭圆形，

11、这类波导将传输的电磁波完全限制在金属 管内：另外还有一种表面波导，将引导的电磁波约束在波导结构的周围，这两类 波导分别称为封闭波导和表面波波导。封闭波导对于管波导（即封闭波导）而言，电磁波在波导中的传播会受到波导内壁的 限制或反射，由于波导管壁的导电率通常很高（一般是铜铝等金属，有时可能镀 有银或金），这是就可以假定波导壁是理想导体，波导管内的电磁场分布可由 Maxwell方程组并结合边界条件来求解5。波导中存在着无限多种电磁场的结构 或分布，每一种分布都被称为一种波型（模式），每一种波型都有着对应的截止 波长和相速，横截面均匀地空心波导称为均匀波导，均匀波导中电磁波的可分为 横电波（TE模）

12、和横磁波（TM模）两大类。但是，与普通的传输线不同的是， 波导管理不能传输TEM模，而且，波导管中存在着严重的色散现象。但是波导 管也有着其独特的优点：导体损耗和介质损耗小，没有辐射损耗，功率容量大， 结构简单，易于制造。表面波波导表面波波导与管波导的不同点在于表面波波导在边界外有电磁场存在，他的 传播模式为表面波。表面波主要集中在毫米波和亚毫米波波段。因为金属管的尺 寸太小，所以损耗较大并且制造困难，在这情况下，就可以使用表面波导，除具 有良好的传输性外，表面波波导还有其他特点：结构简单，制作容易，可具有集 成电路需要的平面结构，表面波波导的主要形式有：介质线，介质镜像线，H- 波导和镜像凹

13、波导。特征参数从应用角度看，描述波导的特征参数有以下四点：色散特性波的传播速度随频率变化的现象称为色散现象或色散效应，并且称传播速度 随频率变化的波为色散波。若相速度随频率的提高而减小，则属于正常色散，相 反，若相速度随频率的提高而增加，则属于非正常色散，波的色散程度取决于因 子，我们称其为波型因子或色散因子，当时，即无色散。均匀波导中导行波的 相速、群速随频率的变化曲线如图（1.1）所示。图1.1均匀导波系统中导行波的相速、群速和色散现象特征阻抗在高频范围内，信号传输过程中，信号沿到达的地方，信号线和参考平面（电 源或地平面）间由于电场的建立，会产生一个瞬间电流，如果传输线是各向同性 的，那

14、么只要信号在传输，就始终存在一个电流I，而如果信号的输出电平为V， 在信号传输过程中，传输线就会等效成一个电阻，大小为V/I6，把这个等效的 电阻称为传输线的特征阻抗Z。特征阻抗Z与传播常数有关：TE:TM:特征阻抗Z在幅值上反映波导横向电场与横向磁场之比。当不同波导连接 时，特征阻抗越接近，连接处的反射越小。波导的特征阻抗是量度连接处对电磁 能反射大小的一个很有用的参量。损耗损耗是限制波导远距离传输电磁波的主要因素，主要分为导体损耗和介质损 耗。由于在有限电导率导体壁处，电场切向分量的边界条件不再成立，导体壁处 既有，必构成垂直于导体壁方向进入导体壁内的坡印廷功率流，引起电阻损耗， 即导体损

15、耗，用表示。若导波系统中填有介质，且介质的漏电导率，则当电磁波沿波导传输时，在 介质中必有，产生焦耳损耗，称这类介质为有耗介质，产生的损耗即为介质损耗， 其损耗特性用介质衰减常数来衡量，定义为“波每传输单位距离后由介质漏电导 引起的场强幅度衰减量”。场分布满足波导横截面边界条件的一种可能的场分布称为波导的模式，不同的模式 有不同的场结构，它们都满足波导横截面的边界条件，可以独立存在。波导中的 场结构可以分为两大类：TE模：电场没有纵向分量TM模：磁场没有纵向分量1.3 Matlab的简介MATLAB是美国MathWorks公司出品的商业数学软件，用于算法开发、数 据可视化、数据分析以及数值计算

16、的高级技术计算语言和交互式环境，主要包括 MATLAB和Simulink两大部分。MATLAB是matrix&laboratory两个词的组合，意为矩阵工厂（矩阵实验室）。 是由美国mathworks公司发布的主要面对科学计算、可视化以及交互式程序设计 的高科技计算环境,它将数值分析、矩阵计算、科学数据可视化以及非线性动态 系统的建模和仿真等诸多强大功能集成在一个易于使用的视窗环境中7，为科 学研究、工程设计以及必须进行有效数值计算的众多科学领域提供了一种全面的 解决方案，并在很大程度上摆脱了传统非交互式程序设计语言（如C、Fortran） 的编辑模式，代表了当今国际科学计算软件的先进水平。在

17、我们学习电磁场与微波技术的过程中，多数研究者采用了理论分析的方法 解决问题，传统的波导模式理论分析建立在利用边界条件解电磁波波动方程的基 础之上，这种方法数学复杂，物理图像基本上淹没在繁杂的数学之中，对许多概 念和参数的物理意义反而不是那么重视，并且在研究波导中场的分布的时候没有 直观的印象，对于涉入相关研究未深的研究者来说理解有着相当的难度。因此， 当实际问题通过理论分析的方法无法解决的情况下，数值计算和仿真模拟成为人 们的一大选择。但是，数值计算的方法给出的只是特定条件下的结果，虽然具有 一定的参考价值，但不具有普遍意义，因此理论分析仍然具有重要意义，利用 Matlab软件的图形技术对时变

18、电磁场的三维空间分布进行仿真，对矩形波导中的 TE10模等的场结构进行了仿真,将抽象的电磁场概念形象化、可视化，有利于对电 磁波传播特性的理解8。因此，在这次的设计中，就借助MATLAB等仿真工具 的辅助，对于电磁场在波导中的分布情况能够更直观的展现。对圆波导的模式分 析虽然是比较基础的研究，在对波导的应用已经达到很高层次的今天，表面看上 去虽然没有实际意义，但是对于我将来对电磁场与微波技术方面的的学习却有着 极为重要的作用。1.4本论文的安排本论文主要分为三大部分。第一大部分对均匀波导进行分析，第一大部分可以分成三小部分，首先通过 对麦克斯韦方程组的推导，得出波动方程，然后对波动方程解偏微分

19、方程，并通 过边界条件，得出均匀矩形波导的场解表达式以及一系列特征参量；第二小部分 主要是对均匀矩形波导的一般特性进行分析，主要包括传播常数、群速、相速、 能流以及损失和衰减等；最后，通过MATLAB软件对矩形波导内横向电磁场进 行仿真，并描述和理解电磁场的分布情况。第二大部分是对圆波导的分析，同样分成了三个小部分，第一小部分与对均 匀波导的分析类似，首先仍是对场解表达式的推导，在圆波导中，首先将直角坐 标系下的波动方程转换为柱坐标系下的波动方程，利用分离变量的方法求解偏微 分方程；第二部分，通过以上得出的微分方程的解，再利用边界条件得出圆波导 内的场结构分布表达式，同时得出个特征参量；最后，

20、同样，通过MATLAB软 件对矩形波导内横向电磁场进行仿真，并描述和理解电磁场的分布情况。第三大部分主要作为对以上工作内容的总结以及对未来发展的展望。2均匀波导的分析方法2.1均匀波导的一般分析假设一段任意截面的无限长金属波导，其中填充了均匀介质，其介电常数为， 磁导率为（如图2.1）。对沿z方向传播的电磁波来说，电场和磁场表达式为：211212其中表示z方向的传播常数。图2.1任意截面的均匀波导对波导内的电磁场的分析是为了确定式（2.1.1）和（2.1.2）形式的无源麦克斯 韦方程组的可能解，最终得出的解应该包括场的分布和传播常数。为了得出麦克斯韦方程组的解，我们将式（2.1.1）和（2.1

21、.2）代入麦克斯韦方 程组的第一个式子:，并进行消元，可以得到：213214215216其中，和均相同，称为横向拉普拉斯算子，Q表示波导的截面。由于波导 在z方向没有几何变化，满足边界条件：217可以利用，通过式（2.1.4）获得。218亥姆霍兹方程和边界条件表明，在填充了同性介质的均匀波导中，和既与波 导中的介质无关，也与波导的边界无关，因此，和可以在波导中独立存在。所以， 我们可以得出两组独立的解。其中一组有，另一组有。第一组解对应的场称为横 磁波导模，因为磁场在z方向是横向的：第二组解对应的场称为横电波导模，因 为电场在z方向是横向的。为了分析TM模，我们首先解决式（2.1.5）中偏微分

22、 方程定义的边界值问题和式（2.1.7）中的边界条件问题。只要解出和，其他场分 量均可由式（2.1.3）和式（2.1.4）得出，或者更明确地说：219同样可得到TE模：2110由麦克斯韦方程组的前两个等式的积分形式，21112112我们可以很容易理解或只能有一种存在于这种波导中。因为电场或磁场中z分量的存在，由坡印廷矢量表示的能流密度并不完全指 向z方向，而净功率流却是，因此，电磁场在波导中以曲折的方式传播。但是， 如果某个波导是用两种或两种以上独立的导体并且之间填充了均质材料（例如同 轴波导或平行传输线）的话，就有可能由于导体之间的势能不同而出现不是闭合 轮廓线的TE场，因此，TE场不需要z

23、方向的磁场存在。尽管由于不存在磁荷， 磁场的封闭轮廓线仍然是非零的，但是TM场仍然可以由被磁场线包围的导体电 流支撑，因此TM场不需要z方向的电场支撑。在这种情况下，这种波导模被称 为TEM模，这是因为电场和磁场相对传播方向来说都是横向的，这种膜的传播 常数为k.由于电场和磁场相对z方向都是横向的，坡印廷矢量的方向为z方向， 这就意味着电磁波在的传播方向也是z方向。均匀波导支持TE模和TM模的存在，假设这些波在z方向传播，并且传播 常数为k，那么TM模的各分量就如式（2.1.9）所示，我们可以将其更明确地写 成：21132114而TE模的各分量可以由式（2.1.10）得出，同样也可以写成：21

24、152116假设一段矩形波导沿轴线方向式无限长的，并且其中均匀填充匀质材料，其 介电常数为，磁导率为，其截面为的矩形（如图2.2）。由于满足亥姆霍兹方程， 利用分离变量法，的解的一般形式如下：2117其中，。通过利用导体壁的边界条件，我们发现，图2.2均匀矩形波导最后两个方程叫做特征方程，它决定了特征值，方程的解为：2118因此，传播常数为：2119由此，式（2.1.17）可以写成：2120其中为常数。将其代入式（2.1.13）和式（2.1.14），得到其他场分量：21212122212321242125其中，。这些都是的模态场，截止波数，截止波长，截止频率分别为：212621272128TM

25、模的主模为模，其截止波长和截止频率分别为：2129对TE模来说，因为满足亥姆霍兹方程，也有一般形式：2130其中，。这种情况下，边界条件为，它等价于：2131通过应用边界条件，我们发现，最后两个方程也叫作特征方程，可以确定 特征值和。这两个方程的解为：2132m=n=0除外，因为这样会出现零解。因此，传播常数的形式与式（2.1.19）一样，式（2.1.30）可以写成：2133其中是常数。其他场分量为：21342135213621372138这些都是模的模态场。除了m和n是从零开始以外，截止波数，截止波长， 截止频率等都与相同。很明显，有的矩形波导主模为模，紧接着的是模或模，具体是哪种模取决 于

26、相对于的大小。再接下来的是模和模，有矩形波导的截止频率的分布见图2.3。 在多数应用条件下，波导在单模频率范围内传输，也就是只能传输模。图2.3 2:1矩形波导截止频率分布2.2均匀波导的特性2.2.1 一般特性当我们解亥姆霍兹方程（2.1.5）或应用边界条件式（2.1.7）时，我们得到了 无数组解，我们可以把这些解记作（），并且对应于TM模。类似地，当我们解 亥姆霍兹方程（式2.1.6）和应用边界条件（式2.1.8）时，我们也得到了无数组 解，我们同样把这些解记作（），并且对应于TE模。虽然为了方便，两组解均 使用了符号，但是第二组解的不必与第一组相同，无论哪种模式，传播常数均由 以下等式求

27、出：221其中为了简化计算，模式指数在这里以及下面的公式中暂时忽略（但是，要 理解这些公式在每种模式中都是能够应用的）。显然，传输常数只能是实数或者 虚数，并且由频率决定：222当时，该模式能在波导中传播，否则，该模式将会衰减。模式从传播到衰 减的节点被称为截止，对应的截止波数，截止波长，截止频率为：223这种截止现象与可以传输任何频率的传统平行传输线和同轴电缆明显不同， 这种性质是由波在波导中的之字形传播引起的。截止波在横向平面内不断往返， 结果导致它们不能在纵向不能传播能量。从式（2.2.2）给出的传播常数，我们可以求出波导波长：224从波导波长可以得出在一个周期内，沿着z方向的波的变化，

28、由此，我们可 以得到相速度：225其中。很明显，波导中相速度大于光速，但是群速度却不能大于光速。根据 群速度的定义式，它可以由以下式子求出：226可见，群速度小于光速。电磁波在传播过程中还有另外一个重要的参数，那就是在传播方向上的波阻 抗。TM模的波阻抗为：227而TE模的波阻抗为：228其中，。在截止点，波导对TM模表现为短路，对TE模表现为开路。2.2.2波导损失及衰减常数以上分析都是建立在波导是理想导体并且传输媒介无耗的基础上的，当导体 是非理想导体或者说传输媒介有耗的情况下，波的传播就会存在衰减。其中，这 种非理想导体产生的衰减成为导体损耗，由于传输媒介产生的损耗称之为介质损 耗。在分

29、析这两种损耗之前，我们先导出在一般波导中耗散的能量的衰减常数的 公式。对于有耗波导，传播常数是复数，即，其中是衰减常数，是相位常数，正在 传播的电场磁场可以表示为：2292210复数坡印廷矢量变成：2211其中实部表示时间平均能流密度：2212波导的时间平均能流密度可以通过对波导横截面积分求得：2213所以：2214因此，只需要求出就可以求出，可以应用能量守恒定律，取从到的一小段截 面求得。能量守恒定律可以写成：2215表示源时间平均功率，表示离开包围截面的表面的时间平均功率，表示截面 内消耗的功率。首先考虑波导壁上有限电导率造成的衰减，在这种情况下，和都不存在，因 此，这就意味着进入前端表面

30、的能量与离开后端表面（即穿过波导壁内表面） 的能量相等，这些能量最终会在不良导体中耗散。用数学表达式可以表示成：2216由此可以得到：2217其中，平面包围平面，所以，导体损耗的衰减常数为：2218对理想导体来说，。很显然，从上式我们可以看出，要计算出衰减常数，我们需要知道波导内部 的场分布，对一个由非理想导体构成的波导来说，要精确得出场分布是很难的， 但是，如果该非理想导体非常接近理想导体的话，我们就可以用理想波导的场分 布来近似该非理想导体的场分布，这种方法称为微扰法。接下来我们讨论介质损耗，假设波导是理想导体，式（2.2.15）就可以写成2219也就是2220因此，介质损耗的衰减常数为：

31、2221同样，当介质损耗非常小的时候，我们可以通过微扰法来使波导内的场分布 与无耗介质近似，使用这种方法，我们可以得出矩形波导中模的介质损耗为：2222另外，衰减常数可以由传播常数直接求得：2223另，并解出和，有：22242225当，则上式可以化简为：22262227式（2.2.26）与式（2.2.22）一致，同样的，当频率接近截止频率时，截止损 耗引起的衰减大大增加。2.3矩形波导的仿真结果及分析根据以上得出的场解，利用Matlab，我们可以对矩形波导内部的电磁场分布 进行仿真，直观地看出电场和磁场的分布状况。以模与模为例：模：（取a=2,b=1,z=1,，以下均相同）根据前面解得的场解，

32、可以得出模的分布：231232式中各项参数如下：，取频率，可得，能够传输，于是，此时，表明波的电场力线在横截面内为垂直于宽壁的直线，其力线的疏密 度在0,a 区域内按的规律称半个周期的正弦分布，即沿宽边分布的半驻波数为1， 在0,b区域内力线分布于y无关，即沿窄边均匀分布，半驻波数为0。以同样的 方法对磁场进行分析，由此可以画出波在横截面内的场分布如图（2.4）。图2.4矩形波导模场结构分布（其中实线表示电场，虚线表示磁场，横轴表示波导宽边，纵轴表示波导窄 边）模：根据前面解得的场解，可以得出模的分布:233234 235236式中各项参数如下：，取频率，可得，能够传输，于是，由上式可以看出,

33、，表明波的磁场力线在横截面内的方向和疏密度与（x，y） 有关，在0,a区域内，在0,b区域内，各呈半个周期正、余弦分布，既和各 自沿宽窄边分布的半驻波数均为1，共同构成横截面内如图（2.4）所示的一簇 闭合磁力线。以同样的方法对电场进行分析，由此可以画出波在横截面内的场分 布如图（2.5）。至此，也可从矩形波导横截面内磁力线自身闭合的几何角度理解 模为中最低次模的物理概念，因一簇沿矩形口闭合的力线，其方向和疏密度必会 沿矩形口的宽、窄两个方向同时改变，即m、n都不可能为零9图2.5矩形波导模场结构分布（其中实线表示电场，虚线表示磁场，横轴表示波导宽边，纵轴表示波导窄 边）类似的，我们可以得到另

34、外几种模式的横截面地磁场分布图：图2.6矩形波导前几种模式场结构分布（其中实线表示电场，虚线表示磁场，横轴表示波导宽边，纵轴表示波导窄 边）利用MATLAB也可以了解矩形波导的纵向剖面的电磁场分布情况：取a=2,b=1，频率，则电磁波可以在该矩形波导内传输。模：237238，取频率，于是，波导波长。根据可知，模电场在纵向是不传输的，对Hz取实部，可得，另外，沿宽边 分布的半驻波数为1，所以，在由此可知，模在纵向是以余弦规律分布的，可得 模的纵剖面分布：（取波导纵向长度）图2.7模纵剖面磁场分布（其中实线表示电场，虚线表示磁场，横轴表示波导传输方向，纵轴表示波 导宽边）其他模式的分布情况与此类似

35、。当m变化时，在0,a区域内的驻波数会发 生不同如m=2时，会形成两个驻波：（取波导纵向长度）图2.8 m=2时纵剖面磁场分布（其中实线表示电场，虚线表示磁场，横轴表示波导传输方向，纵轴表示波 导宽边），取频率，于是，波导波长。模：2392310根据可知，模磁场在纵向是不传输的，对Ez取实部，可得，由此可知，模 在纵向是以余弦规律分布的，可得模的纵剖面分布：（所取参数与模相同）图2.9模纵剖面电场分布（其中实线表示电场，虚线表示磁场，横轴表示波导传输方向，纵轴表示波 导宽边）其他模式的分布情况与此类似。但同样，当m变化时，在0,a区域内的驻 波数会发生不同如m=2时，会形成两个驻波：图2.10

36、 m=2时纵剖面电场分布（其中实线表示电场，虚线表示磁场，横轴表示波导传输方向，纵轴表示波 导宽边，所取参数与模相同）若取YOZ平面，电磁场分布与以上相似，但会因为n值不同，在0,b区域 内形成驻波数不同。3圆波导分析3.1圆柱坐标系下波动方程的解在圆柱坐标系下，亥姆霍兹方程* MERGEFORMAT可以写成311这个方程的特解称为圆柱波函数，可以用分离变量法求得。3.1.1分离变量法首先我们将式（3.1.1）的解设为以下形式：312把这个式子带入式（3.1.1）然后分离变量得到：313由于只有第四项包含变量z，其他各项均与z无关，因此第四项必须为一个 定值，并且必须满足：314其中是由具体问

37、题决定的任意常数。式（3.1.4）的解的常见形式为：315其中A和B为任意常数。有了这个分量，式（3.1.3）乘后可以化简为：316由于只有第三项只与有关，而另外三项都只与有关，式（3.1.6）可以分离 成如下两项：317318也可以写成：3193110其中m2也是一个仅与具体情况有关的任意常数，。式（3.1.9）解的常见形 式如下：3111其中和为任意常数组合。式（3.1.10）就是柱坐标系贝塞尔方程，和分别是它的两个无关的线性解， 分别被称为第一类和第二类的柱坐标系贝塞尔函数或简称贝塞尔函数。所以最终 解为这两个解的线性组合：3112其中和为常数。尽管和表达式均较为复杂，并且有许多特性，但

38、对我们来说 记住如下特性就足够了：31133114图3.1给出了 m取1,2,3,4时的贝塞尔函数图像，显示出该函数的变化特性。由以上对各项解的讨论可得出方程（3.1.1）的解：3115图3.1 m取整数时的柱坐标系贝塞尔函数（a）* MERGEFORMAT的贝塞尔函数（b）* MERGEFORMAT的贝塞尔函数由于该解对任意m和h都正确，式（3.1.1）的解是所有可能解的线性组合， 可以表示成关于m的式子的和与关于h的式子的积分形式：3116这里，我们设m是一个离散值，h是连续值，正如之前提到的，m，h与具 体情况有关，若m是连续的，那么所求之和就变成积分值，若h是离散的，那 么积分就变成求

39、和。3.1.2圆柱波函数圆柱波函数由柱坐标系下亥姆霍兹方程的一个特解决定，这个解由前面部分 导出的式（3.1.15）决定，记作。显然，有无穷多个圆柱波函数，这些函数构成 了一个完整的系列，因而，任意一个亥姆霍兹方程的解都可以由式（3.1.16）的 方程线性叠加。但是，圆柱波函数的形式不唯一。例如，不将* MERGEFORMAT 和* MERGEFORMAT作为式（3.1.4）的两个线性独立解，我们也可以选择sinhz 和coshz作为它的两个解，只要两个解互相独立而互相不能代替，任意组合都能 作为式（3.1.4）的两个解。原则上，无论是哪两个特解都是可以的。只要解方程 的过程正确，最终结果都是

40、一样的。但是，通常，选择正确的形式可以简化求解 过程。总体上来说，我们应该选择与最终结果相似的解。例如，如果z轴取无穷， 选择e-jhz和ejhz比较合适，因为它们代表沿着z轴的正负方向传播的波。如果 z轴取有限值，那么选择sinhz和coshz更为合适，因为在边界值是更容易满足边 界条件。同样，在圆周方向，除了 sin * MERGEFORMAT和 cos* MERGEFORMAT， 我们也可以选择和作为式（3.1.9）的两个独立解，这在通解的扩展上尤其方便， 那是因为当m分别向正负方向延伸时，可以由代替，这样就可以得到更为严密 的表达式。在径向方向，除了和，第一类和第二类Hankel函数是

41、另外两种常见 的式（3.1.9）的线性独立解，常用符号和表示，定义为：31173118将和的大参数表达式：31193120替换，可以得到和的近似形式：31213122以上清楚表明，表示沿p的负方向传播的柱面波，而沿p的正方向传播的柱 面波，因此，如果在p方向范围可以取无穷，最好选择和扩展通解。但是如果取 值是有限的，那么和更方便。在具体问题中，由于式（3.1.1）是齐次方程，柱面波函数Omh之前最多应 该只包含一个常数，另外，m、h都应该是确定值，并且，的任意两项的比值也 应该是定值，这几个定值可以通过具体问题的边界条件确定。一般来说，每个方 向有两个边界条件，分别在这个方向的末端。如果没有具

42、体的边界条件，我们 就要在解的特性和波函数的基础上确定一个常数。例如，如果要研究沿有限长波 导z轴方向的波的传播，我们可以另式（3.1.15）的B（h）=0来研究沿2轴正 方向传播的波;或另A（h）=0来研究沿z轴负方向传播的波。再举一个例子，如 果解的范围包括z轴，并且是有界的，我们必须另式（3.1.15）中bm=0以排除）， 另外，如果解的范围在p方向是无边界的，该解就表示向p正方向传播的波。我 们应该另或选择作为p的函数。最后，如果9无边界并且是单值，应满足周期条 件，并且 m 为整数。在这种情况下，sin * MERGEFORMAT和cos * MERGEFORMAT均为正解，它们除了

43、相位差n/2外，代表了相同的解。3.2圆波导的模分析我们首先考虑空腔圆波导中的波传播，对一个轴心与z轴重合的圆波导（如 图3.2），由于9是有界的，m在柱面波函数中必须是有单值解的整数，另外，由 于场在z轴是有界的，第二类贝塞尔函数必须排除。因此，对 TM模。* MERGEFORMAT必须满足以下形式：321图3.2均匀圆波导为了确定，我们通过圆波导导体壁的边界条件，发现。记的根为，我们有， 从而，并且TMmn模的传播常数可以得到：322截止波数和频率分别为：323前几个值参照表（3.1）:表（3.1）的前几个根TMmn的另一种场分布可以通过另式（3.2.11）带入式（3.2.9）和式（3.2

44、.10） 得到，满足：324325326327TE模的分析方法同上，由于同样的原因，* MERGEFORMAT采用如下形 式：328其中H0是常数。为了确定kp，我们通过圆波导导体壁的边界条件，发现。记的根为（n=1,2,3,.），我们有，从而，并且可以得到模的传播常数：329截止波数和频率分别为：3210前几个值参照表（3.2）:表（3.2）的前几个根的另一种场分布可以通过另式（3.2.18）带入式（3.2.7）和式（3.2.8）得到，满足：3211321232133214当所有场分布得出以后，其他物理量如波阻抗、能流密度、和相位和能量体 系均可以由它们的定义导出，由于导体和材料损耗较小，产

45、生的衰减常数可以通 过微扰法分析得出。通过比较表3.1和表3.2中的数据，我们发现圆波导中的所有模式中，主模 是TE11模，因为TE11模截止频率最低，截止波长为* MERGEFORMAT=3.4126a. 第一个高阶模是TM01模，截止波长为* MERGEFORMAT=2.6127a。对TE模来 说，电场线在横向平面是受限的（无论是形成闭合曲线还是由于表面电荷而终止 在波导壁），而磁场线则会在虚线末端变成切向。相反，对TM模来说，磁场线 在横向平面是受限的（由于没有磁荷而形成闭合曲线），而电场线会在实线末端 变成切向。从场分布我们还能很容易地得出在波导壁的面电流分布（）。3.3圆波导的仿真结

46、果及分析从场方程可以看出，不论还是波，其场沿圆周S）和半径（r）方向皆成驻 波分布。场沿9方向按三角函数规律分布，m表示沿圆周分布的驻波数；场沿r 方向按贝塞尔函数或其导数规律分布，n表示沿半径方向分布的驻波数。圆波导中存在了简并问题。圆波导中波形的简并有两种。一种叫极化简并， 从场方程中看出场分量沿圆周（9）方向的分布存在着和两种可能性，对于同一 个波形中有着机化面和互相垂直的两种场分布形式，这种现象较“极化简并”。圆 波导中除m=0时，都存在极化简并。另一种简并则是在不同类型波之间存在的， 称为模式简并。根据以上得出的场解，利用MATLAB，我们可以也可以对圆波导内部的电 磁场分布进行仿真

47、，直观地看出电场和磁场的分布状况：仍然以模和模为例：模：（取波导半径r=1,以下均相同）根据前面解得的场解，可以得出模的分布:331332333334335式中各项参数计算如下：，取频率，可得此时，m=0,n=1，表示沿圆周方向没有形成驻波，呈均匀分布，沿半径方向形 成一个按贝塞尔函数或其导数规律分布的驻波，并且由于，电场以轴心为圆心呈 现出同心圆，磁场以轴心为汇聚点呈现散射状如图（3.3）：图3.3圆波导模场结构分布其中实线表示电场，虚线表示磁场。根据前面解得的场解，可以得出模的分布：3363373383393310式中各项参数计算如下：，取频率，可得。由以上方程可知，圆波导内场结构分布与线

48、性和有关，取C=1，D=0，当 m=1,n=1时，在9方向，呈余弦分布，呈正弦分布，并呈现一个完整驻波 数；在p方向，以贝塞尔函数导数规律分布，以贝塞尔函数规律分布，并 且均形成一个完整驻波。由于对TM模来说，磁场线在横向平面是受限的（由于 没有磁荷而形成闭合曲线），而电场线则呈发散状分布。取C=1，D=0得仿真结果如图（3.4）：图3.4圆波导模场结构分布其中实线表示电场，虚线表示磁场。类似的，我们可以得到另外几种模式的横截面地磁场分布图：图3.5圆波导前几种模式场结构分布其中实线表示电场，虚线表示磁场。同样地，利用MATLAB也可以了解圆波导的纵向剖面的电磁场分布情况：模：33113312，取频率，可得，波导波长。根据可知，模电场在纵向是不传输的，对取实部，可得，由此可知，模在纵 向是以余弦规律分布的，另外，方向半驻波数均为1，并且，由于圆波导的对称 性，沿任意直径的纵剖面，模场结构分布图如图（3.6）：（取波导纵向长度）图3.6沿任意直径的纵剖面模场结构分布图（横轴表示传输方向，纵轴表示波导半径方向，其中实线表示电场，虚线表 示磁场）模：33133314，取频率，可得，波导波长。根据可知，模电场在纵向是不传输的，对取实部，可得，由此可知，模在纵 向是以余弦规律分布的，另外，方向半驻波数均为1，并且，