高数一第2章录课稿

1、各种考试历年试题免费免注册下载全国十佳网络教育机构华夏大地教育网华夏大地官方QQ群：欢迎前来交流！42124620法律28704058英语语言文学52178441汉语言文学60185902计算机信息管理14345856国际贸易60185822计算机及应用57057800工商企业管理60184608企业财务管理55864316计算机网络60183913新闻学60184665金融第二章极限和连续2.1数列极限一、数列看法实例：战国时代哲学家庄周著庄子天下篇引用一句话“一尺之棰，日取其半，万世不停。”将其“数学化”即得，每天截后节余部分长度为（单位尺）1，1，1，,，1，,222232n数列：按下标

2、从小到大挨次摆列的无穷数组aa,12,an,称为数列，记为an1或an，an称为一般项或通项。注意：自变量取正整数的函数称为数列an()fn二、数列极限制义描述性定义：对数列an，若存在某常数a，当n无穷增大时，an能无穷凑近常数a，则称数列an收敛，a为数列an的极限。记为limana。若不存在这样的常数a，则称ann发散或不收敛，平常说不存在。liman比方：1，lim1n0nnn3(1)n，lim(3(1)n)3nnn1,2,3n1通项n1lim(n)lim(1)1234nnnn1n11n1,4,n2，通项n2limn2不存在，数列不收敛；n1,1,1,1,(1)n1，通项(1)n1li

3、m(1)n1不存在，数列不收敛；n（先出左面数列，而后再出右边结果）几点说明:1、当n无穷增大时，an能无穷凑近常数a，其实不说明是an愈来愈凑近常数a。1,0,1,0,1,0,123n2、当n无穷增大时，,0an能无穷凑近常数0，但an并不是愈来愈凑近an无穷增大，称an趋于，记为：liman0。n1全国免费热线：800-810-0480400-610-0480(手机用户)地址：北京市经济技术开发区地盛北街1号A区4号楼邮编：100176各种考试历年试题免费免注册下载华夏大地官方QQ群：欢迎前来交流！全国十佳网络教育机构华夏大地教育网42124620法律28704058英语语言文学52178

4、441汉语言文学60185902计算机信息管理14345856国际贸易60185822计算机及应用57057800工商企业管理60184608企业财务管理55864316计算机网络60183913新闻学60184665金融3、当n无穷增大时，an(0)无穷增大，称an趋于，记为：limann4、当n无穷增大时，an(0)无穷增大，称f(x)趋于，记为：limf(x)xx04当xx0时，f(x)(0，当0f(x)Axx0时”定义(函数极限的定义)设函数f在点x0的某个空心邻域U(x0)内有定义,A为定数.若对任给的0,存在正数,使合适0 xx0时有7全国免费热线：800-810-0480400-

5、610-0480(手机用户)地址：北京市经济技术开发区地盛北街1号A区4号楼邮编：100176各种考试历年试题免费免注册下载全国十佳网络教育机构华夏大地教育网华夏大地官方QQ群：欢迎前来交流！42124620法律28704058英语语言文学52178441汉语言文学60185902计算机信息管理14345856国际贸易60185822计算机及应用57057800工商企业管理60184608企业财务管理55864316计算机网络60183913新闻学60184665金融f(x)A,则称函数f当x趋于x0时以A为极限,记作limf(xA)或f(x)A(xx0).xx03、单侧极限设函数f(x)在点

6、x0的某个左（右）邻域内有定义.当xx(xx0)时,对应的函数值无穷接0近某个定数A.则称A为函数f(x)在xx0(xx0)左（右）极限，记为f(x0)(f(x0)即f(x0)lim(fx)Axx0f(x0)lim(fx)Axx0f(x0)limf(x)A明显：lim(fx)A.xx0f(x0)limf(x)Axx0 xx0定理：当xx0时，函数f(x)以A为极限的充要条件是limf(xA)f(x0)Af(x0)xx0例1、对于图中所示的分段函数1,x0,f(x)x0.x,由图可知，f(x)在x0处的左右极限分别为limf(x)lim11，x0 x0limf(x)limx0 x0 x0由定理可

7、知，该函数在x0处极限不存在。例2、设f(x)1，求f(0),f(0)x解：f(0)lim1,f(0)lim1x0 xx0 xf(x)在的左右极限都存在并均为A,即y1O1x例3、求函数f(x)x0处的左右极限，并判断极限能否存在。在xx解：f(0)limf(x)lximximllim11x0 x0 xx0 xx08全国免费热线：800-810-0480400-610-0480(手机用户)地址：北京市经济技术开发区地盛北街1号A区4号楼邮编：100176各种考试历年试题免费免注册下载QQ群：欢迎前来交流！全国十佳网络教育机构华夏大地教育网华夏大地官方42124620法律28704058英语语言

8、文学52178441汉语言文学60185902计算机信息管理14345856国际贸易60185822计算机及应用57057800工商企业管理60184608企业财务管理55864316计算机网络60183913新闻学60184665金融f(0)limfx()limxlimlxim11x0 x0 xx0 xx0所以limf(x)不存在x0例4、f(x)x2,x2求limf(x)x2,x2x2解limf()xlimx24x2x2limfx()lim(x2)4x2x2limf(x)4x2二、x趋于时函数的极限若x0且沿x轴正向趋于，则称x趋于正无量大，记为x；若x0且沿x轴负向趋于，则称x趋于负无量

9、大，记为x；若x，则称x趋于无量大，记为xy引例:函数y11,从图象上可见,当x无穷增大时,函数值无穷地凑近1;x1Ox定义若当x时，f(x)的值与常数A无穷地凑近，则称当x趋势于无量大时，f(x)以A为极限记作limf(x)Ax例5、lim(11)1xx若当x时,f(x)的值与常数A无穷地凑近，则称当x趋势于正无量大时，f(x)以A为极限记作limf(x)Ax若当x时，f(x)的值与常数A无穷地凑近，则称当x趋势于负无量大时，f(x)以A为极限记作limf(x)Ax9全国免费热线：800-810-0480400-610-0480(手机用户)地址：北京市经济技术开发区地盛北街1号A区4号楼邮编

10、：100176各种考试历年试题免费免注册下载全国十佳网络教育机构华夏大地教育网华夏大地官方QQ群：欢迎前来交流！42124620法律28704058英语语言文学52178441汉语言文学60185902计算机信息管理14345856国际贸易60185822计算机及应用57057800工商企业管理60184608企业财务管理55864316计算机网络60183913新闻学60184665金融明显：limf(x)Alimf(x)Alimf(x)xxx例6、判断极限limarctanx能否存在。xy/2y=arctanxOx-/2解：limarctanx,x2limarctanx2,所以limarc

11、tanx不存在xx例7、设a0,a1,谈论limlogax,x0解：当0a1时，limlogax,x0当a1时，limlogax,x0limlogax能否存在。xlimlogax;xlimlogaxx所以limlogax,limlogax都不存在。x0 xyy=logaxa1O(1,0)x0a1y=logax三、有极限的函数的基天性质我们引入了下述六各种类的函数极限：1)limfx;2)limfx;3)limfx;xxx4)limfx;5)limfx;6)limfx.xx0 xx0 xx010全国免费热线：800-810-0480400-610-0480(手机用户)地址：北京市经济技术开发区地

12、盛北街1号A区4号楼邮编：100176各种考试历年试题免费免注册下载全国十佳网络教育机构华夏大地教育网华夏大地官方QQ群：欢迎前来交流！42124620法律28704058英语语言文学52178441汉语言文学60185902计算机信息管理14345856国际贸易60185822计算机及应用57057800工商企业管理60184608企业财务管理55864316计算机网络60183913新闻学60184665金融下边以第4)各种类的极限limfx;为代表表达并证明这些性质.xx0性质1、(函数极限的独一性)若极限limfx存在,则此极限是独一的.xx0性质2、(有极限函数的局部有界性)若lim

13、fx存在,则f在x0的某空心领域Ux0内有界，即存在xx0常数M0,使得对xUx0，都有f(x)My2x21x1o1x性质3(局部保号性)limfxAxx01）若A0(A0),则对某个Ux0中的x，有fx()0(fx()0)2）若对某个Ux0中的x，有fx()0(fx()0)，则A0(A0)本节小结：1）函数在一确立点和无量远的极限看法；2）单侧极限的看法；limf(xA)f(x0)Af(x0)xx0limf(x)Alimfx()Alimfx(xxx3）有极限的函数的基天性质2.4极限的运算法规（四则）以上两节我们引入了数列极限与函数的各种极限看法，本节我们介绍函数的和、差、积、商的极限运算法

14、规因为数列可以看作特别的函数，这些法规对数列的极限相同成立定理设在同一极限过程中，limuA,limvB，则有limuvlimulimvuv(1)limuvlimulimvAB(2)11全国免费热线：800-810-0480400-610-0480(手机用户)地址：北京市经济技术开发区地盛北街1号A区4号楼邮编：100176各种考试历年试题免费免注册下载全国十佳网络教育机构华夏大地教育网华夏大地官方QQ群：欢迎前来交流！42124620法律28704058英语语言文学52178441汉语言文学60185902计算机信息管理14345856国际贸易60185822计算机及应用57057800工商

15、企业管理60184608企业财务管理55864316计算机网络60183913新闻学60184665金融limulimuA,(B0)(3)vlimvB特别地，由公式(2)有limCvClimvCB，(C为常数)(4)注意：以上公式在极限号下未注明x的变化趋势，它们对上节中介绍的各种极限都适用（包含数列的极限）。思虑：下边的解法是正确吗？：l(ix2mx)lix2mlixm0错误！（稍停几秒出现）xxx下边介绍极限运算法规的应用例1求limx21解：limx2limxlimx111x1x1x1结论1：limxnx0nxx0例2求lim(3x2x1)x1解l(i3x2mx1)l(i3x2m)lix

16、ml1imx1x1x1x13(limx)2limx1312113.x1x1例3求lim2x23x5x23x1解因为l(im3x1)l3imxl1im6170 x2x2x22x23x5li(2mx23x5)7故lix21m3x1li(3mx1)7x2x2结论2：由例1、例2与例3可以看出，若f(x)为x的多项式，也许分子分母都是x的多项式时，且分母在xa处不为0，则有limf(x)f(a)xa例4求limx23x2x1x10，不可以用商的极限法规但分子与分母有公因式x1由解此题分子与分母的极限均为于x1时，x1，故可约去这个公因式得原式lim(x1)(x2)lim(x2)1x1x1x112全国免

17、费热线：800-810-0480400-610-0480(手机用户)地址：北京市经济技术开发区地盛北街1号A区4号楼邮编：100176各种考试历年试题免费免注册下载全国十佳网络教育机构华夏大地教育网华夏大地官方QQ群：欢迎前来交流！42124620法律28704058英语语言文学52178441汉语言文学60185902计算机信息管理14345856国际贸易60185822计算机及应用57057800工商企业管理60184608企业财务管理55864316计算机网络60183913新闻学60184665金融例5求lim1x1x0 x解此题分子与分母的极限也都是0，相同不可以用公式(3)又分子与

18、分母无公因式可约，在这类状况下可考虑先将分子有理化，得原式lim(1x11x1)limxx0 x1x1x0 x(1x1)lim111x0 x12结论3：分子与分母的极限均为0时，要经过约去公因式也许分子分母有理化等方法消掉零元素。2例6求lim3x21x5x1解因为分子、分母当x时均无极限，故不可以直接用商的极限法规但对于x0，3x2131x25x2151x2x0所以而上式右端的分子、分母当时均有极限，且分母的极限不为31lim(31)22原式limxxx303.x115055lim(52)x2xxx5例7求limx29x15解limx5limxx2x29xx19x2lim(152)0 xxx

19、091lim(1)x2x2x21例8、limx3x22x2lim2x211解：lim3xx2x3x2xx213全国免费热线：800-810-0480400-610-0480(手机用户)地址：北京市经济技术开发区地盛北街1号A区4号楼邮编：100176各种考试历年试题免费免注册下载华夏大地官方QQ群：欢迎前来交流！全国十佳网络教育机构华夏大地教育网42124620法律28704058英语语言文学52178441汉语言文学60185902计算机信息管理14345856国际贸易60185822计算机及应用57057800工商企业管理60184608企业财务管理55864316计算机网络6018391

20、3新闻学60184665金融12xlimxx23x结论4：一般地，设a00,b00,m,nN，则aa0 xnax1n1anb当mn,lim0当mn,bx0mbx1m1bmx当mn.填空练习（1）lim3x21(2)lim3x212_,3_;xx3xx3（3）lim3x31(4)lim(x110_;2_,)xx3x2x11解：由上边的公式直接有：（1）3，（2）0，（3），（4）()102例9、(1)lim2n213n213n21_,(2)lim_2_,(3)lim_3_,n3n2nn3nn3解：（1）（2）3，（3）0例10、求limx2arctanx2x2x解：limx2arctanxlim

21、arctanx2x2x1xx2xlimarctanx2x12lim204xx例114n21limn14全国免费热线：800-810-0480400-610-0480(手机用户)地址：北京市经济技术开发区地盛北街1号A区4号楼邮编：100176各种考试历年试题免费免注册下载全国十佳网络教育机构华夏大地教育网华夏大地官方QQ群：欢迎前来交流！42124620法律28704058英语语言文学52178441汉语言文学60185902计算机信息管理14345856国际贸易60185822计算机及应用57057800工商企业管理60184608企业财务管理55864316计算机网络60183913新闻学

22、60184665金融4n24n21解：lim1limn2n1nnlim4142n2nnn1例12lim5n+14n2n53112(4)n15n4n1解：limlim555n+1n2n53n13)n13(511lim(4)n11552n513lim(3)n155例13lim(x1)1x2x1xxlimx2解：lim(x1)1x1x1x2xx1x2xlimx1x2x1例14求极限lim(x21x)x解因为limx21与limx均不存在，不可以直接用和的极限运算法规，先变形，再求xx极限lim(x21x)=limx21x2=lim1=0 xxx21xxx21x例15(级数收敛的必需条件)假如级数un

23、收敛，则limun0n1n证设级数un的部分和为sn，且sns(n)，则n1limunlim(snsn1)limsnlimsn1ss0nnnn例16判断级数(1)nn的收敛性n1n115全国免费热线：800-810-0480400-610-0480(手机用户)地址：北京市经济技术开发区地盛北街1号A区4号楼邮编：100176各种考试历年试题免费免注册下载华夏大地官方QQ群：欢迎前来交流！全国十佳网络教育机构华夏大地教育网42124620法律28704058英语语言文学52178441汉语言文学60185902计算机信息管理14345856国际贸易60185822计算机及应用57057800工商

24、企业管理60184608企业财务管理55864316计算机网络60183913新闻学60184665金融解因为un(1)nn当n时不趋于零，故(1)nn发散n1n1n1本节小结：1）结论1：limxnx0nxx0结论2：若f(x)为x的多项式，也许分子分母都是x的多项式时，且分母在xa处不为0，则有limf(x)f(a)xa结论3：分子与分母的极限均为0时，要经过约去公因式也许分子分母有理化等方法消掉零元素。结论4：一般地，设a00,b00,m,nN，则aa0 xnax1n1anb当mn,lim0当mn,bx0mbx1m1bmx当mn.2）级数收敛的必需条件16全国免费热线：800-810-0

25、480400-610-0480(手机用户)地址：北京市经济技术开发区地盛北街1号A区4号楼邮编：100176各种考试历年试题免费免注册下载QQ群：欢迎前来交流！全国十佳网络教育机构华夏大地教育网华夏大地官方42124620法律28704058英语语言文学52178441汉语言文学60185902计算机信息管理14345856国际贸易60185822计算机及应用57057800工商企业管理60184608企业财务管理55864316计算机网络60183913新闻学60184665金融2.5无量小量和无量大批一、无量小量二、无量大批三、无量小量和无量大批的关系四、无量小量的比较一、无量小量无量小量

26、定义若当limu0，则称变量u为无量小量(或无量小)10，所以1时的无量小如：lim2n2是nnnlimx20，所以x2是x0时的无量小x0a1,limax00a1,limax0 xx4.54xyy=ax3.5y=a32.520a11.51(0,1)0.50ox-0.5-2.5-2-1.5-1-0.500.511.522.5注意：(i)无量小是变量，不是指“很小的数”，比方101000不是无量小，(ii)无量小与自变量的变化相联系比方f(x)x2，当x0时为无量小，而当x1时不是无量小下边介绍无量小与函数极限的关系limuAlim(uA)limuA0uA0定理在同一个极限过程中，变量u的极限为

27、A的充要条件是uA，此中是该极限过程中的无量小即uAuA017全国免费热线：800-810-0480400-610-0480(手机用户)地址：北京市经济技术开发区地盛北街1号A区4号楼邮编：100176各种考试历年试题免费免注册下载全国十佳网络教育机构华夏大地教育网华夏大地官方QQ群：欢迎前来交流！42124620法律28704058英语语言文学52178441汉语言文学60185902计算机信息管理14345856国际贸易60185822计算机及应用57057800工商企业管理60184608企业财务管理55864316计算机网络60183913新闻学60184665金融无量小量有以下性质：

28、性质1有限个无量小的代数和为无量小例1设mN，求lim12mn2n2n2n解因为对固定的常数k，有limkn20n故所求极限为m个无量小量之和由性质1有lim11mn2n2n20n例2lim11x2xx1111000解limxlimlimxxx2xxx2性质2有限个无量小的乘积为无量小例3lim11x2xx1111000解lim2xlimlimxxxxxx2性质3有界与无量小量之积为无量小量例4（1）limcosx（2）limx2xsinxxxx1解：(1)x时101是无量小xx1cosx1，cosx有界limcosxlim1cosx0 xxxx（2）时x0 x是无量小x1x21x21sinx

29、1sinx有界limx2sinx01xx18全国免费热线：800-810-0480400-610-0480(手机用户)地址：北京市经济技术开发区地盛北街1号A区4号楼邮编：100176各种考试历年试题免费免注册下载全国十佳网络教育机构华夏大地教育网华夏大地官方QQ群：欢迎前来交流！42124620法律28704058英语语言文学52178441汉语言文学60185902计算机信息管理14345856国际贸易60185822计算机及应用57057800工商企业管理60184608企业财务管理55864316计算机网络60183913新闻学60184665金融二、无量大批limu定义若当limu，

30、则称变量u为无量大批(或无量大)limu如：limn2，所以n2是n时的无量大nlim1,所以1是x0时的无量大，x0 xxlimtanx，所以tanx是x时的无量大x22a1,limax0a1,limaxxx注意：（1）与无量小近似，无量大是变量，而不是很大的常量，如101000（2）无量大批与自变量的变化趋势相联系比方，当x0时，1为无量大，但当x1时它x不是无量大三、无量小量和无量大批的关系定理在自变量的同一变化过程中，若u为无量小(u0)，则1为无量大；反之，若v为无量大，则1为无量小uv例5求lim2x1x1x1解limx10，1x12xlim1x1x119全国免费热线：800-81

31、0-0480400-610-0480(手机用户)地址：北京市经济技术开发区地盛北街1号A区4号楼邮编：100176各种考试历年试题免费免注册下载华夏大地官方QQ群：欢迎前来交流！全国十佳网络教育机构华夏大地教育网42124620法律28704058英语语言文学52178441汉语言文学60185902计算机信息管理14345856国际贸易60185822计算机及应用57057800工商企业管理60184608企业财务管理55864316计算机网络60183913新闻学60184665金融求lim3x21例62x5x1解因为分子、分母当x时均无极限，故不可以直接用商的极限法规但对于x0，3x23

32、11x25x2151x231lim(31)22原式limxxx303.x115055x2lim(5x2)x回忆结论4：一般地，设a00,b00,m,nN，则aa0 xnax1n1anb当mn,0当mn,limmm1xbx0bx1bm当mn.例7、lim(n1n)n解：lim(n1n)lim(n1n)(n1n)nn(n1n)例8、limanannaa1lim0n(n1n)nn(a0)20全国免费热线：800-810-0480400-610-0480(手机用户)地址：北京市经济技术开发区地盛北街1号A区4号楼邮编：100176各种考试历年试题免费免注册下载全国十佳网络教育机构华夏大地教育网华夏大地

33、官方QQ群：欢迎前来交流！42124620法律28704058英语语言文学52178441汉语言文学60185902计算机信息管理14345856国际贸易60185822计算机及应用57057800工商企业管理60184608企业财务管理55864316计算机网络60183913新闻学60184665金融4.54yxy=ax3.5y=a32.520a11.51(0,1)0.50ox-0.5-2-1.5-1-0.500.511.522.5-2.5解：（1）、a1anan0，所以limana时，因为nxaa（2）、0a1时，liman0,limanxxlimann2nnanlima2n11xaax

34、a1（3）、a1时，liman,liman0 xxlimanan1a2n1nnxlim2nxaa1an0所以：limanan1,0a1nn0,a1xaa1,a1例9、设：lim(x21axb)0，求a,bx1x21axb)limx(x21b解：lim(2a)0 xx1xxxx2b)所以：lim(x21a0 xxxx而：lim(x21b)limx21limb02a2a1axxxxxxxxx所以a1lim(x21axb)lim(x21xb)xx1xx1lim(1xb)1b0 xx121全国免费热线：800-810-0480400-610-0480(手机用户)地址：北京市经济技术开发区地盛北街1号A

35、区4号楼邮编：100176各种考试历年试题免费免注册下载全国十佳网络教育机构华夏大地教育网华夏大地官方QQ群：欢迎前来交流！42124620法律28704058英语语言文学52178441汉语言文学60185902计算机信息管理14345856国际贸易60185822计算机及应用57057800工商企业管理60184608企业财务管理55864316计算机网络60183913新闻学60184665金融所以b1四、无量小量的比较由前述性质易知，两个无量小的和、差、积仍为无量小，但两个无量小的商则不必定是无穷小比方，当x0时，2x、x2均为无量小，但是x20，lim2x，limx2x02xx0为便

36、于判断无量小趋于零的相对快慢，我们引入以下定义：定义设与在自变量的同一变化过程中为无量小若lim0，则称是比高阶的无量小，记为：o()；若lim，则称是比低阶的无量小；若limC0，则称与为同阶无量小特别若C1，则称与为等价无量小，记为例10、n，12,1,1都是无量小，但nnn111111n2n10,10,所以：n2o(n),no(n)nn1n1n例11当x解lim0所以：1是比1低阶的无量小；nn0时，比较无量小1x1x与x的阶的大小1x1xlim21，x1x1x0 x故当x0时，1x1x与x等价x22xc8，求c例12、设：limx3x322全国免费热线：800-810-0480400-

37、610-0480(手机用户)地址：北京市经济技术开发区地盛北街1号A区4号楼邮编：100176各种考试历年试题免费免注册下载全国十佳网络教育机构华夏大地教育网华夏大地官方QQ群：欢迎前来交流！42124620法律28704058英语语言文学52178441汉语言文学60185902计算机信息管理14345856国际贸易60185822计算机及应用57057800工商企业管理60184608企业财务管理55864316计算机网络60183913新闻学60184665金融解:因为lim(x3)0 x3所以limx22xc0 x3又因为limx22xc96c0 x3所以c15小结：1无量小：以0为极

38、限的变量，它与自变量的变化相联系；无量大：绝对值趋于无量大的变量，相同与自变量的变化相联系2性质：有限个无量小的代数和为无量小无量小与有界函数之积为无量小非0无量小的倒数为无量大；反之，无量大的倒数为无量小3比较：2.6重要极限limsinx1lim(11)xex0 xxx一、重要极限之一limsinx1x0 x证明：记f(x)sinx，因为f(x)f()x，我们不如只究limsinx1这一情况xx0 x加以证明，以以下图所示：23全国免费热线：800-810-0480400-610-0480(手机用户)地址：北京市经济技术开发区地盛北街1号A区4号楼邮编：100176各种考试历年试题免费免注

39、册下载全国十佳网络教育机构华夏大地教育网华夏大地官方QQ群：欢迎前来交流！42124620法律28704058英语语言文学52178441汉语言文学60185902计算机信息管理14345856国际贸易60185822计算机及应用57057800工商企业管理60184608企业财务管理55864316计算机网络60183913新闻学60184665金融从几何图形上可清楚地看出：CDsinx弧BCxABtanxsinxx111cosxsinxtanxxsinx1tanxx因为：limcosx1,lim11x0 x0故有：limsinx1x0 x而f(x)sinx是偶函数，故limsinx1xxx

40、0由函数的左右极限的性质知，limsinx1x0 x注意：1）sinxx是等价无量小。2）sinx1sinxx(0 x)x2例1、求以下极限：limtanx0 xlimsinkx0 xlimarcsinx0 x1cosx(4)limx2x0解：(1)limtanxlimsinx1limsinx1111x0 xx0 xcosxx0 xlimcosxx0tanxx(2)令tarcsinx，xsint,则x0等价于t0,24全国免费热线：800-810-0480400-610-0480(手机用户)地址：北京市经济技术开发区地盛北街1号A区4号楼邮编：100176各种考试历年试题免费免注册下载全国十佳

41、网络教育机构华夏大地教育网华夏大地官方QQ群：欢迎前来交流！42124620法律28704058英语语言文学52178441汉语言文学60185902计算机信息管理14345856国际贸易60185822计算机及应用57057800工商企业管理60184608企业财务管理55864316计算机网络60183913新闻学60184665金融故：limarcsinxlimt1x0 xt0sintarcsinxx令ukx，则x0等价于u0,limsinkxsinkxklimsinuxlimk1kkx0 x0kxu0u注：u(x)0,则sinu(x)u(x)1cosx2sin2x(4)2limx2li

42、mx2x0 x0sin2xlim2x02(x)22x21limsin122x0 x22x21cosx2注意：等价关系是可以传达的，所以x0时,xsinxtanxarcsinxarctanx例2、lim(nsin)nnsinn解：lim(nsin)limnnnn注：an0,则sinanansinx例3、limxx解：limsinxlimsin(x)xxxxlimsin(x)coscos(x)nsixx25全国免费热线：800-810-0480400-610-0480(手机用户)地址：北京市经济技术开发区地盛北街1号A区4号楼邮编：100176各种考试历年试题免费免注册下载华夏大地官方QQ群：欢迎

43、前来交流！全国十佳网络教育机构华夏大地教育网42124620法律28704058英语语言文学52178441汉语言文学60185902计算机信息管理14345856国际贸易60185822计算机及应用57057800工商企业管理60184608企业财务管理55864316计算机网络60183913新闻学60184665金融limsin(x)cosxxlimsin(x)1xx例3、limtanxsinxx0 xsinx解：limtanxsinxsinxlimcosxx0 xx0 xlimsinx1cosxx0 xcosxlim(1cosx)sinxx0100limxlimcosxx0 x0二、重

44、要极限之二lim(11)xe（lim(11)ne）xxnn单调有界准则：单调有界数列必有极限。这一准则在几何上是特别明显的。比方：设数列xn单调增添且有上界A。在数轴大将数列的各项画出来，它们严格地挨次从左向右延伸，且前面有点A挡住去路，所以，这些点必在某点处产生“凝聚”，即：数列xn收敛。lim(11)nenn1)n利用二项睁开式，记xn(1(ab)n0nn1n12n2b2n1n1nnCnaCnabCnaCnabCnb我们有：xn1(Cn11)1Cn2(1)2Cnk(1)kCnn(1)nnnnn26全国免费热线：800-810-0480400-610-0480(手机用户)地址：北京市经济技术

45、开发区地盛北街1号A区4号楼邮编：100176各种考试历年试题免费免注册下载QQ群：欢迎前来交流！全国十佳网络教育机构华夏大地教育网华夏大地官方42124620法律28704058英语语言文学52178441汉语言文学60185902计算机信息管理14345856国际贸易60185822计算机及应用57057800工商企业管理60184608企业财务管理55864316计算机网络60183913新闻学60184665金融1n(1)n(n1)(1)2n(n1)(nk1)(1)kn(n1)(nn1)(1)nn2!nk!nn!n11(11)1(11)(12)(1kn1)1(11)(12)(1n1)1

46、n2!nnk!nnnn!所以：0 xn1111111k!n!(2n)2!n!1111)k1)n1112n11()(1122211212332n2n这表示数列xn有界，它位于(0，3)之间。另一方面，仿上边的形式，不难写出：xn11Cn11(1)1Cn21(1)2Cnk1(1)kn1n1n111(11)1(1n1)(12)(1k1)1n12!1n1n1!k(11)(12)(1n)1xnn1n1n1(n1)!这说明，数列xn是单调增添的。据准则，lim(11)n存在，记作：lim(11)ne。nnnne极限还可推行到更一般的情况：lim(11)xe1lim(1t)texxt0例4、求以下极限：(1

47、)lim(1k)(xk0,整数）(2)lim(12)x1xxxx(3)limx12x(4)lim(13tan2x)cot2xx0 x0解：（1）令yk,则xk,x等价于y0 xy27全国免费热线：800-810-0480400-610-0480(手机用户)地址：北京市经济技术开发区地盛北街1号A区4号楼Cnn1(1)nCnn11(1)n1n1n1(11)(12)(1n1)1n1n1n1n!邮编：100176各种考试历年试题免费免注册下载QQ群：欢迎前来交流！全国十佳网络教育机构华夏大地教育网华夏大地官方42124620法律28704058英语语言文学52178441汉语言文学60185902计

48、算机信息管理14345856国际贸易60185822计算机及应用57057800工商企业管理60184608企业财务管理55864316计算机网络60183913新闻学60184665金融k)xklim(1lim(1y)yxxx11lim(1y)yklim(1y)ykekxx(2)lim(12)x1lim(12)x(12)xxxxxlim(12)x(2)lim(12)2xxxxlim(12x(2)lim(12e21e2)2)xxxx1注：u()x0,lim(1u()x)u()xex1(3)limx12xlim(12x)xx0 x0lim(12x)1(2)2xx01lim(12x)2x(2)x0

49、1lim(12x)2x(2)e2x0(4)lim(13tan2x)cot2x13lim(13tan2x)3tan2xx0 x01lim(13tan2x)3tan2x3x01lim(13tan2x)3tan2x3e3x0例5设lim(xa)x4,求：axa解：lim(xa)xlim(xa2a)xxxaxxa28全国免费热线：800-810-0480400-610-0480(手机用户)地址：北京市经济技术开发区地盛北街1号A区4号楼邮编：100176各种考试历年试题免费免注册下载QQ群：欢迎前来交流！全国十佳网络教育机构华夏大地教育网华夏大地官方42124620法律28704058英语语言文学52

50、178441汉语言文学60185902计算机信息管理14345856国际贸易60185822计算机及应用57057800工商企业管理60184608企业财务管理55864316计算机网络60183913新闻学60184665金融lim(12a)xxxaxax2a2alim(1)2axaxxa2axax2alim(1)2axaxxalim(12axalim2axe2a4)2axxaxxa所以：aln2例6设:fx(2)(13),x求limfx()xx解：ux2,则xu2f(u)(13)u2即fx()(1x3)x2u2x2233)limf()xlim(1)(3xxx2x23lim(1)3(3)xx

51、2x23(3)e3lim(1)3xx2u(x)0,limsinu(x)=1小结：1）xu(x)limsinan=1an0,xan12）u()x0,lim(1u()x)u(x)ex3）x0时,xsinxtanxarcsinxarctanx29全国免费热线：800-810-0480400-610-0480(手机用户)地址：北京市经济技术开发区地盛北街1号A区4号楼邮编：100176各种考试历年试题免费免注册下载全国十佳网络教育机构华夏大地教育网华夏大地官方QQ群：欢迎前来交流！42124620法律28704058英语语言文学52178441汉语言文学60185902计算机信息管理14345856国

52、际贸易60185822计算机及应用57057800工商企业管理60184608企业财务管理55864316计算机网络60183913新闻学60184665金融2.7函数的连续性和连续函数一函数在一点处的连续性二、连续函数三、连续函数的运算和初等函数的连续性四闭区间上连续函数的性质在客观世界中，很多变量的变化是连续不停的如气温的变化、时间的推移、流体的流动、生物的生长等等这些现象反响到数学领域，就获取函数连续性的看法，它是函数的重要性态之一这一性态的几何特色，是对应的函数曲线拥有“绵延不停”的特色今后我们常常要用到函数连续性这一重要看法一函数在一点处的连续性设函数yf(x)在点x0的某邻域内有定

53、义，当自变量从x0变到点xx0 x时，相应的函数值从f(x0)变到f(x0 x)我们称x为自变量的增量(即改变量)，这里x可为正亦可为负而称yf(x)f(x0)f(x0 x)f(x0)为函数的增量(即改变量)在几何上，函数yf(x)的增量y表示当自变量从x0变到x0 x时，曲线上相应点的纵坐标的改变量定义1设函数yf(x)在点x0的某邻域内有定义，若limylimf(x0 xf)(x0)0 x0 x0则称函数yf(x)在点x0处连续点x0称为f(x)的一个连续点因为xx0,xfx()fx(0 x)，且x0等价于limf(x0 x)(fx0)0limf(x)(fx0)0 x0 xx0lim(fx

54、)f(x0)xx030全国免费热线：800-810-0480400-610-0480(手机用户)地址：北京市经济技术开发区地盛北街1号A区4号楼x0所以，邮编：100176各种考试历年试题免费免注册下载全国十佳网络教育机构华夏大地教育网华夏大地官方QQ群：欢迎前来交流！42124620法律28704058英语语言文学52178441汉语言文学60185902计算机信息管理14345856国际贸易60185822计算机及应用57057800工商企业管理60184608企业财务管理55864316计算机网络60183913新闻学60184665金融等价定义：yf(x)在点x0处连续limy0 xx

55、0limf()xf(x0)xx0注意：函数fx在点x0连续包含了三个条件：fx在点x0有确立的函数值；极限limfx存在；xx0极限值等于函数值fx0.定义2：左右连续.假如limfxfx0,就说函数fx在点x0左连续.xx0假如limfxfx0,就说函数fx在点x0右连续.xx0yyf(x)x0 x（上图分别用有色箭头显示X从两边趋近X0的过程仿以下图，而后在函数曲线上显示函数值无穷凑近fx0，依图示要点重申该确立值）（）结论：函数fx在x0连续函数fx在点x0既左连续又右连续，即fx0fx0fx0例11x11的连续性.谈论函数fx=在点x=1及x1x1解函数的定义域为(,131全国免费热线

56、：800-810-0480400-610-0480(手机用户)地址：北京市经济技术开发区地盛北街1号A区4号楼邮编：100176各种考试历年试题免费免注册下载华夏大地官方QQ群：欢迎前来交流！全国十佳网络教育机构华夏大地教育网42124620法律28704058英语语言文学52178441汉语言文学60185902计算机信息管理14345856国际贸易60185822计算机及应用57057800工商企业管理60184608企业财务管理55864316计算机网络60183913新闻学60184665金融因为limfxlimx1f1，故函数在x=1左连续.x1x1因为limfxlimx1，limf

57、x1而f11x1x1x1左极限不等于右极限，所以limfx不存在，即函数fx在x1处不连续，但右连续.x1y1yx11x二、连续函数定义3假如函数f(x)在区间(a,b)内每个点连续，则称f(x)为(a,b)上的连续函数而在闭区间a,b连续除上述要求外，还要求f(x)在a点右连续而在b点左连续f(x)明显：连续函数的图形是一条连续而不中断的曲线.例2、常数函数yC是连续函数。例3证明yx2在任意一点xa处连续证limx2(limx)(limxa)aa2xaxaxa故yx2在xa处连续所以：yx2是实数集R上的连续函数。同理可证：yxn是实数集R上的连续函数。例4证明正弦函数ysinx在定义域R

58、内连续.证:任取x0,则有ysinx0 xsinx02cosx0 xsinx,22因为limsinx0,cosx0 x1,x022故有limylim2cosx0 xsinx=0.x0 x02232全国免费热线：800-810-0480400-610-0480(手机用户)地址：北京市经济技术开发区地盛北街1号A区4号楼邮编：100176各种考试历年试题免费免注册下载全国十佳网络教育机构华夏大地教育网华夏大地官方QQ群：欢迎前来交流！42124620法律28704058英语语言文学52178441汉语言文学60185902计算机信息管理14345856国际贸易60185822计算机及应用57057

59、800工商企业管理60184608企业财务管理55864316计算机网络60183913新闻学60184665金融由x0的任意性,得ysinx在,内连续.近似地证明,余弦函数ycosx也是,内的连续函数.三、连续函数的运算和初等函数的连续性。定理1连续函数的和、差、积、商(分母不为0)依旧连续;证我们只证明和的情况，其余结论请读者自己完成设函数f(x)和g(x)均在点a连续，h(x)f(x)g(x)，则limh(x)limf(x)g(x)limf(x)limg(x)xaxaxaxaf(a)g(a)h(a).故函数h(x)在点a连续我们已知函数sinx，cosx在(,)上连续，据上述定理，sin

60、xsinxcosx在(,)上也是连续的；而正切与余切函数tgxsinx，ctgx需在分母不为零的点(即函数各自的定义域内)处才连续。cosx注意：（1）tanx,cot,xsecx,cscx在其定义域内都是连续函数。（2）多项式函数anxnn1n2a1xa0在(,)上连续。an1xan2xcosxcosxsinx，则定理2假如函数yf(x)在区间Ix上单增（或单减）且连续，则它的反函数x(y)也在区间Iyy|yf(x)xIx上单增（或单减）且连续。注意：（1）反三角函数在其定义域内都是连续函数。如：ysinx在,单增、连续，其值域为Iy1,1。22反函数在yarcsinx在Iy1,1上亦单增、