高中数学必修二 (教案)空间直线、平面的垂直

1、 23/23空间直线、平面的垂直【第一课时】【教学目标】1会用两条异面直线所成角的定义，找出或作出异面直线所成的角，会在三角形中求简单的异面直线所成的角2理解并掌握直线与平面垂直的定义，明确定义中“任意”两字的重要性3掌握直线与平面垂直的判定定理，并能解决有关线面垂直的问题【教学重难点】1异面直线所成的角2直线与平面垂直的定义3直线与平面垂直的判定定理【核心素养】1直观想象、逻辑推理、数学运算2直观想象【教学过程】一、问题导入预习教材内容，思考以下问题：1异面直线所成的角的定义是什么？2异面直线所成的角的范围是什么？3异面直线垂直的定理是什么？4直线与平面垂直的定义是什么？5直线与平面垂直的判

2、定定理是什么？二、基础知识1异面直线所成的角（1）定义：已知两条异面直线a，b，经过空间任一点O分别作直线aa，bb，把直线a与b所成的角叫做异面直线a与b所成的角（或夹角）（2）垂直：如果两条异面直线所成的角是直角，就说这两条异面直线互相垂直直线a与直线b垂直，记作ab（3）范围：设为异面直线a与b所成的角，则090名师点拨 当两条直线a，b相互平行时，规定它们所成的角为0所以空间两条直线所成角的取值范围是090注意与异面直线所成的角的范围的区别2直线与平面垂直定义一般地，如果直线l与平面内的任意一条直线都垂直，我们就说直线l与平面互相垂直记法l有关概念直线l叫做平面的垂线，平面叫做直线l的

3、垂面它们唯一的公共点P叫做垂足图示及画法画直线与平面垂直时，通常把直线画成与表示平面的平行四边形的一边垂直名师点拨 （1）直线与平面垂直是直线与平面相交的特殊情形（2）注意定义中“任意一条直线”与“所有直线”等同但不可说成“无数条直线”3直线与平面垂直的判定定理文字语言如果一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直，那么该直线与此平面垂直图形语言符号语言la，lb，a，b，abPl名师点拨 判定定理条件中的“两条相交直线”是关键性词语，此处强调“相交”，若两条直线平行，则直线与平面不一定垂直三、合作探究异面直线所成的角如图，在正方体ABCDEFGH中，O为侧面ADHE的中心求：（1）BE与CG所成

4、的角；（2）FO与BD所成的角【解】（1）如图，因为CGBF所以EBF（或其补角）为异面直线BE与CG所成的角，又在BEF中，EBF45，所以BE与CG所成的角为45（2）连接FH，因为HDEA，EAFB，所以HDFB，又HDFB，所以四边形HFBD为平行四边形所以HFBD，所以HFO（或其补角）为异面直线FO与BD所成的角连接HA，AF，易得FHHAAF，所以AFH为等边三角形，又知O为AH的中点，所以HFO30，即FO与BD所成的角为301变条件在本例正方体中，若P是平面EFGH的中心，其他条件不变，求OP和CD所成的角解：连接EG，HF，则P为HF的中点，连接AF，AH，OPAF，又CD

5、AB，所以BAF（或其补角）为异面直线OP与CD所成的角，由于ABF是等腰直角三角形，所以BAF45，故OP与CD所成的角为452变条件在本例正方体中，若M，N分别是BF，CG的中点，且AG和BN所成的角为392，求AM和BN所成的角解：连接MG，因为BCGF是正方形，所以BFeq o(sdo3(),sup3()CG，因为M，N分别是BF，CG的中点，所以BMeq o(sdo3(),sup3()NG，所以四边形BNGM是平行四边形，所以BNMG，所以AGM（或其补角）是异面直线AG和BN所成的角，AMG（或其补角）是异面直线AM和BN所成的角，因为AMMG，所以AGMMAG392，所以AMG1

6、016，所以AM和BN所成的角为784 规律方法求异面直线所成的角的步骤（1）找出（或作出）适合题设的角用平移法，遇题设中有中点，常考虑中位线；若异面直线依附于某几何体，且对异面直线平移有困难时，可利用该几何体的特殊点，使异面直线转化为相交直线（2）求转化为求一个三角形的内角，通过解三角形，求出所找的角（3）结论设由（2）所求得的角的大小为若090，则为所求；若90180，则180为所求提醒求异面直线所成的角，通常把异面直线平移到同一个三角形中去，通过解三角形求得，但要注意异面直线所成的角的范围是090 直线与平面垂直的定义（1）直线l平面，直线m，则l与m不可能（）A平行相交C异面 垂直（2

7、）设l，m是两条不同的直线，是一个平面，则下列命题正确的是（）A若lm，m，则l B若l，lm，则mC若l，m，则lm D若l，m，则lm【解析】（1）因为直线l平面，所以l与相交又因为m，所以l与m相交或异面由直线与平面垂直的定义，可知lm故l与m不可能平行（2）对于A，直线lm，m并不代表平面内任意一条直线，所以不能判定线面垂直；对于B，因为l，则l垂直于内任意一条直线，又lm，由异面直线所成角的定义知，m与平面内任意一条直线所成的角都是90，即m，故B正确；对于C，也有可能是l，m异面；对于D，l，m还可能相交或异面【答案】（1）A（2）B规律方法eq avs4al()对线面垂直定义的理

8、解（1）直线和平面垂直的定义是描述性定义，对直线的任意性要注意理解实际上，“任何一条”与“所有”表达相同的含义当直线与平面垂直时，该直线就垂直于这个平面内的任何直线由此可知，如果一条直线与一个平面内的一条直线不垂直，那么这条直线就一定不与这个平面垂直（2）由定义可得线面垂直线线垂直，即若a，b，则ab 直线与平面垂直的判定如图，PA平面ABCD，底面ABCD为矩形，AEPB于点E，AFPC于点F（1）求证：PC平面AEF；（2）设平面AEF交PD于点G，求证：AGPD【证明】（1）因为PA平面ABCD，BC平面ABCD，所以PABC又ABBC，PAABA，所以BC平面PAB，AE平面PAB，所

9、以AEBC又AEPB，PBBCB，所以AE平面PBC，PC平面PBC，所以AEPC又因为PCAF，AEAFA，所以PC平面AEF（2）由（1）知PC平面AEF，又AG平面AEF，所以PCAG，同理CD平面PAD，AG平面PAD，所以CDAG，又PCCDC，所以AG平面PCD，PD平面PCD，所以AGPD1变条件在本例中，底面ABCD是菱形，H是线段AC上任意一点，其他条件不变，求证：BDFH证明：因为四边形ABCD是菱形，所以BDAC，又PA平面ABCD，BD平面ABCD，所以BDPA，因为PAACA，所以BD平面PAC，又FH平面PAC，所以BDFH2变条件若本例中PAAD，G是PD的中点，

10、其他条件不变，求证：PC平面AFG证明：因为PA平面ABCD，DC平面ABCD，所以DCPA，又因为ABCD是矩形，所以DCAD，又PAADA，所以DC平面PAD，又AG平面PAD，所以AGDC，因为PAAD，G是PD的中点，所以AGPD，又DCPDD，所以AG平面PCD，所以PCAG，又因为PCAF，AGAFA，所以PC平面AFG3变条件本例中的条件“AEPB于点E，AFPC于点F”，改为“E，F分别是AB，PC的中点，PAAD”，其他条件不变，求证：EF平面PCD证明：取PD的中点G，连接AG，FG因为G，F分别是PD，PC的中点，所以GFeq o(sdo3(),sup3()eq f(1,

11、2)CD，又AEeq o(sdo3(),sup3()eq f(1,2)CD，所以GFeq o(sdo3(),sup3()AE，所以四边形AEFG是平行四边形，所以AGEF因为PAAD，G是PD的中点，所以AGPD，所以EFPD，易知CD平面PAD，AG平面PAD，所以CDAG，所以EFCD因为PDCDD，所以EF平面PCD eq avs4al()（1）线线垂直和线面垂直的相互转化（2）证明线面垂直的方法线面垂直的定义线面垂直的判定定理如果两条平行直线的一条直线垂直于一个平面，那么另一条直线也垂直于这个平面如果一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面，那么它也垂直于另一个平面提醒要证明两条直线垂直

12、（无论它们是异面还是共面），通常是证明其中的一条直线垂直于另一条直线所在的一个平面 【课堂检测】1若直线a平面，b，则a与b的关系是（）Aab，且a与b相交Bab，且a与b不相交CabDa与b不一定垂直解析：选C过直线b作一个平面，使得c，则bc因为直线a平面，c，所以ac因为bc，所以ab当b与a相交时为相交垂直，当b与a不相交时为异面垂直2在正方体ABCDA1B1C1D1中，与AD1垂直的平面是（）A平面DD1C1CB平面A1DB1C平面A1B1C1D1 D平面A1DB解析：选B因为AD1A1D，AD1A1B1，且A1DA1B1A1，所以AD1平面A1DB13空间四边形的四边相等，那么它的

13、对角线（）A相交且垂直 B不相交也不垂直C相交不垂直 D不相交但垂直解析：选D如图，空间四边形ABCD，假设AC与BD相交，则它们共面，从而四点A，B，C，D都在内，这与ABCD为空间四边形矛盾，所以AC与BD不相交；取BD的中点O，连接OA与OC，因为ABADDCBC，所以AOBD，OCBD，从而可知BD平面AOC，故ACBD4已知a，b是一对异面直线，而且a平行于ABC的边AB所在的直线，b平行于边AC所在的直线，若BAC120，则直线a，b所成的角为_解析：由aAB，bAC，BAC120，知异面直线a，b所成的角为BAC的补角，所以直线a，b所成的角为60答案：60【第二课时】【教学目标

14、】1了解直线和平面所成的角的含义，并知道其求法2理解直线和平面垂直的性质定理，并能用文字、符号和图形语言描述定理，能应用线面垂直的性质定理解决有关的垂直问题【教学重难点】1直线与平面所成的角2直线与平面垂直的性质【核心素养】1直观想象、逻辑推理、数学运算2直观想象、逻辑推理【教学过程】一、问题导入预习教材内容，思考以下问题：1直线与平面所成的角的定义是什么？2直线与平面所成的角的范围是什么？3直线与平面垂直的性质定理的内容是什么？4如何求直线到平面的距离？5如何求两个平行平面间的距离？二、基础知识1直线与平面所成的角（1）定义：如图，一条直线PA和一个平面相交，但不与这个平面垂直，这条直线叫做

15、这个平面的斜线，斜线和平面的交点A叫做斜足过斜线上斜足以外的一点P向平面引垂线PO，过垂足O和斜足A的直线AO叫做斜线在这个平面上的射影平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的角，叫做这条直线和这个平面所成的角（2）规定：一条直线垂直于平面，称它们所成的角是90；一条直线和平面平行，或在平面内，称它们所成的角是0（3）范围：直线与平面所成的角的取值范围是090名师点拨 把握定义应注意两点：斜线上不同于斜足的点P的选取是任意的；斜线在平面上的射影是过斜足和垂足的一条直线而不是线段2直线与平面垂直的性质定理文字语言垂直于同一个平面的两条直线平行符号语言eq blc rc(avs4alco1(a,b)

16、ab图形语言作用线面垂直线线平行作平行线名师点拨 （1）直线与平面垂直的性质定理给出了判定两条直线平行的另一种方法（2）定理揭示了空间中“平行”与“垂直”关系的内在联系，提供了“垂直”与“平行”关系转化的依据3线面距与面面距（1）一条直线与一个平面平行时，这条直线上任意一点到这个平面的距离，叫做这条直线到这个平面的距离（2）如果两个平面平行，那么其中一个平面内的任意一点到另一个平面的距离都相等，我们把它叫做这两个平行平面间的距离三、合作探究直线与平面所成的角在正方体ABCDA1B1C1D1中，E是棱DD1的中点，求直线BE与平面ABB1A1所成的角的正弦值【解】取AA1的中点M，连接EM，BM

17、因为E是DD1的中点，四边形ADD1A1为正方形，所以EMAD又在正方体ABCDA1B1C1D1中，AD平面ABB1A1，所以EM平面ABB1A1，从而BM为直线BE在平面ABB1A1内的射影，EBM即为直线BE与平面ABB1A1所成的角设正方体的棱长为2，则EMAD2，BE eq r(222212)3于是在RtBEM中，sinEBMeq f(EM,BE)eq f(2,3)，即直线BE与平面ABB1A1所成的角的正弦值为eq f(2,3)规律方法 线面垂直的性质定理的应用如图，已知正方体A1C（1）求证：A1CB1D1；（2）M，N分别为B1D1与C1D上的点，且MNB1D1，MNC1D，求证

18、：MNA1C【证明】（1）如图，连接A1C1因为CC1平面A1B1C1D1，B1D1平面A1B1C1D1，所以CC1B1D1因为四边形A1B1C1D1是正方形，所以A1C1B1D1又因为CC1A1C1C1，所以B1D1平面A1C1C又因为A1C平面A1C1C，所以B1D1A1C（2）如图，连接B1A，AD1因为B1C1eq o(sdo3(),sup3()AD，所以四边形ADC1B1为平行四边形，所以C1DAB1，因为MNC1D，所以MNAB1又因为MNB1D1，AB1B1D1B1，所以MN平面AB1D1由（1）知A1CB1D1同理可得A1CAB1又因为AB1B1D1B1，所以A1C平面AB1D

19、1所以A1CMN 规律方法（1）若已知一条直线和某个平面垂直，证明这条直线和另一条直线平行，可考虑利用线面垂直的性质定理，证明另一条直线和这个平面垂直，证明时注意利用正方形、平行四边形及三角形中位线的有关性质（2）直线与平面垂直的其他性质如果一条直线和一个平面垂直，则这条直线和这个平面内任一条直线垂直；若两条平行线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面；若l于A，APl，则AP；垂直于同一条直线的两个平面平行；如果一条直线垂直于两个平行平面中的一个，则它必垂直于另一个平面 求点到平面的距离如图，四棱锥PABCD中，底面ABCD为矩形，PA平面ABCD，E为PD的中点（1）证明：PB平

20、面AEC；（2）设AP1，ADeq r(3)，三棱锥PABD的体积Veq f(r(3),4)，求A到平面PBC的距离【解】（1）证明：如图，设BD与AC的交点为O，连接EO因为四边形ABCD为矩形，所以点O为BD的中点又点E为PD的中点，所以EOPB因为EO平面AEC，PB平面AEC，所以PB平面AEC（2）Veq f(1,6)APABADeq f(r(3),6)AB由Veq f(r(3),4)，可得ABeq f(3,2)作AHPB于点H由题设知BC平面PAB，所以BCAH，故AH平面PBC，即AH的长就是点A到平面PBC的距离因为PBeq r(AP2AB2)eq f(r(13),2)，所以A

21、Heq f(APAB,PB)eq f(3r(13),13)，所以点A到平面PBC的距离为eq f(3r(13),13)规律方法eq avs4al()从平面外一点作一个平面的垂线，这个点与垂足间的距离就是这个点到这个平面的距离当该点到已知平面的垂线不易作出时，可利用线面平行、面面平行的性质转化为与已知平面等距离的点作垂线，然后计算，也可以利用等换法转换求解【课堂检测】1若斜线段AB是它在平面内射影长的2倍，则AB与平面所成角的大小为（）A60B45C30 D90解析：选A斜线段、垂线段以及射影构成直角三角形如图所示，ABO即是斜线段与平面所成的角又AB2BO，所以cosABOeq f(OB,AB

22、)eq f(1,2)，所以ABO602已知PA矩形ABCD所在的平面，则下列结论中不正确的是（）APBBC BPDCDCPDBD DPABD解析：选CPA平面ABCDPABD，D正确；eq blc rc(avs4alco1(PA平面ABCDPABC,ABCD为矩形ABBC)BC平面PABBCPB故A正确；同理B正确；C不正确3如图，正方体ABCDA1B1C1D1中，M是棱DD1的中点，则过M且与直线AB和B1C1都垂直的直线有（）A1条 B2条C3条 D无数条解析：选A显然DD1是满足条件的一条，如果还有一条l满足条件，则lB1C1，lAB又ABC1D1，则lC1D1又B1C1C1D1C1，所

23、以l平面B1C1D1同理DD1平面B1C1D1，则lDD1又l与DD1都过M，这是不可能的，因此只有DD1一条满足条件4如图，已知ADAB，ADAC，AEBC交BC于点E，D是FG的中点，AFAG，EFEG求证：BCFG证明：连接DE因为ADAB，ADAC，所以AD平面ABC又BC平面ABC，所以ADBC又AEBC，所以BC平面ADE因为AFAG，D为FG的中点，所以ADFG同理EDFG又ADEDD，所以FG平面ADE所以BCFG【第三课时】【学习目标】1理解二面角的有关概念，会求简单的二面角的大小2理解两平面垂直的定义，掌握两平面垂直的判定定理3理解平面和平面垂直的性质定理，并能用文字、符号

24、和图形语言描述定理，能应用面面垂直的性质定理解决有关的垂直问题【学习重难点】1二面角2平面与平面垂直的判定定理3平面与平面垂直的性质定理【核心素养】1直观想象、数学运算2直观想象、数学运算【教学过程】一、问题导入预习教材内容，思考以下问题：1二面角的定义是什么？2如何表示二面角？3二面角的平面角的定义是什么？4二面角的范围是什么？5面面垂直是怎样定义的？6面面垂直的判定定理的内容是什么？7面面垂直的性质定理的内容是什么？二、基础知识1二面角（1）定义：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角，这条直线叫做二面角的棱，这两个半平面叫做二面角的面（2）图形和记法图形：记作：二面角AB或二面

25、角l或二面角PABQ或二面角PlQ2二面角的平面角（1）定义：在二面角l的棱l上任取一点O，以点O为垂足，在半平面和内分别作垂直于棱l的射线OA和OB，则射线OA和OB构成的AOB叫做二面角的平面角（2）图形、符号及范围图形：符号：eq blc rc(avs4alco1(l，Ol,OA，OB,OAl，OBl)AOB是二面角的平面角范围：0AOB180（3）规定：二面角的大小可以用它的平面角来度量，二面角的平面角是多少度，就说这个二面角是多少度平面角是直角的二面角叫做直二面角名师点拨 （1）二面角的大小与垂足O在l上的位置无关一个二面角的平面角有无数个，它们的大小是相等的（2）构成二面角的平面角

26、的三要素：“棱上”“面内”“垂直”即二面角的平面角的顶点必须在棱上，角的两边必须分别在两个半平面内，角的两边必须都与棱垂直，这三个条件缺一不可这三个要素决定了二面角的平面角大小的唯一性和平面角所在的平面与棱垂直3平面与平面垂直（1）定义：一般地，两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直，平面与垂直，记作（2）判定定理文字语言图形语言符号语言如果一个平面过另一个平面的垂线，那么这两个平面垂直eq blc rc(avs4alco1(l,l)名师点拨 定理的关键词是“过另一个平面的垂线”，所以应用的关键是在平面内寻找另一个平面的垂线4平面与平面垂直的性质定理文字语言两个平

27、面垂直，如果一个平面内有一直线垂直于这两个平面的交线，那么这条直线与另一个平面垂直符号语言eq blc rc(avs4alco1(, l ,a, al)a图形语言作用面面垂直线面垂直作面的垂线名师点拨 对面面垂直的性质定理的理解（1）定理的实质是由面面垂直得线面垂直，故可用来证明线面垂直（2）已知面面垂直时，可以利用此定理转化为线面垂直，再转化为线线垂直三、合作探究二面角的概念及其大小的计算（1）在正方体ABCDA1B1C1D1中，截面A1BD与底面ABCD所成锐二面角A1BDA的正切值为（）Aeq f(r(3),2)Beq f(r(2),2)Ceq r(2) Deq r(3)（2）一个二面角

28、的两个半平面分别垂直于另一个二面角的两个半平面，则这两个二面角的大小关系为（）A相等 B互补C相等或互补 D不确定【解析】（1）如图所示，连接AC交BD于点O，连接A1O，O为BD的中点，因为A1DA1B，所以在A1BD中，A1OBD又因为在正方形ABCD中，ACBD，所以A1OA为二面角A1BDA的平面角设AA11，则AOeq f(r(2),2)所以tanA1OAeq f(1,f(r(2),2)eq r(2)（2）反例：如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F分别是CD，C1D1的中点，二面角DAA1E与二面角B1ABC的两个半平面就是分别对应垂直的，但是这两个二面角既不相等，也不互

29、补【答案】（1）C（2）Deq avs4al()（1）求二面角大小的步骤简称为“一作二证三求”（2）作出二面角的平面角的方法方法一：（定义法）在二面角的棱上找一个特殊点，在两个半平面内分别作垂直于棱的射线如图所示，AOB为二面角a的平面角方法二：（垂线法）过二面角的一个面内一点作另一个平面的垂线，过垂足作棱的垂线，连接该点与垂足，利用线面垂直可找到二面角的平面角或其补角如图所示，AFE为二面角ABCD的平面角方法三：（垂面法）过棱上一点作棱的垂直平面，该平面与二面角的两个半平面产生交线，这两条交线所成的角即为二面角的平面角如图所示，AOB为二面角l的平面角提醒二面角的平面角的大小与顶点在棱上的

30、位置无关，通常可根据需要选择特殊点作平面角的顶点 平面与平面垂直的判定角度一利用定义证明平面与平面垂直如图，在四面体ABCD中，BDeq r(2)a，ABADCBCDACa求证：平面ABD平面BCD【证明】因为ABD与BCD是全等的等腰三角形，所以取BD的中点E，连接AE，CE，则AEBD，BDCE在ABD中，ABa，BEeq f(1,2)BDeq f(r(2),2)a，所以AE eq r(AB2BE2)eq f(r(2),2)a同理CEeq f(r(2),2)a，在AEC中，AECEeq f(r(2),2)a，ACa由于AC2AE2CE2，所以AECE，AEC是二面角ABDC的平面角，又因为

31、AEC90，所以二面角ABDC为直二面角，所以平面ABD平面BCD角度二利用判定定理证明平面与平面垂直如图，在四棱锥PABCD中，若PA平面ABCD且四边形ABCD是菱形求证：平面PAC平面PBD【证明】因为PA平面ABCD，BD平面ABCD，所以BDPA因为四边形ABCD是菱形，所以BDAC又PAACA，所以BD平面PAC又因为BD平面PBD，所以平面PAC平面PBD 规律方法eq avs4al()证明平面与平面垂直的两种常用方法（1）利用定义：证明二面角的平面角为直角，其判定的方法是：找出两相交平面的平面角；证明这个平面角是直角；根据定义，这两个相交平面互相垂直（2）利用面面垂直的判定定理

32、：要证面面垂直，只要证线面垂直即在其中一个平面内寻找一条直线与另一个平面垂直这是证明面面垂直的常用方法，其基本步骤是： 面面垂直的性质定理的应用已知P是ABC所在平面外的一点，且PA平面ABC，平面PAC平面PBC，求证：BCAC【证明】如图，在平面PAC内作ADPC于点D，因为平面PAC平面PBC，平面PAC平面PBCPC，AD平面PAC，且ADPC，所以AD平面PBC，又BC平面PBC，所以ADBC因为PA平面ABC，BC平面ABC，所以PABC，因为ADPAA，所以BC平面PAC，又AC平面PAC，所以BCAC 反思归纳利用面面垂直的性质定理应注意的问题若所给题目中有面面垂直的条件，一般

33、要利用面面垂直的性质定理将其转化为线面垂直、线线垂直应用面面垂直的性质定理，应注意三点：两个平面垂直是前提条件；直线必须在其中一个平面内；直线必须垂直于它们的交线 垂直关系的综合问题如图，ABC为正三角形，EC平面ABC，BDCE，且CECA2BD，M是EA的中点，求证：（1）DEDA；（2）平面BDM平面ECA；（3）平面DEA平面ECA【证明】（1）如图，取EC的中点F，连接DF因为EC平面ABC，BC平面ABC，所以ECBC同理可得BDAB，易知DFBC，所以DFEC在RtEFD和RtDBA中，因为EFeq f(1,2)EC，EC2BD，所以EFBD又FDBCAB，所以RtEFDRtDBA，故DE