博弈论复习题及答案

1、博弈论题型一：纯策略纳什均衡1、猪圈里有一头大猪和一头小猪，猪圈的一头有一个饲料槽，另一头装有控制饲料供应的按钮。按一下按钮就会有10个单位饲料进槽，但谁按谁就要付出2个单位的成本。谁去按按纽则谁后到；都去按则同时到。若大猪先到，大猪吃到9个单位，小猪吃到一个单位；若同时到，大猪吃7个单位，小猪吃3个单位；若小猪先到，大猪吃六个单位，小猪吃4个单位。各种情况组合扣除成本后的支付矩阵可如下表示（每格第一个数字是大猪的得益，第二个数字是小猪的得益）：小猪按等待大猪按5,14,4等待9,-10,0求纳什均衡。在这个例子中，我们可以发现，大猪选择按，小猪最好选择等待，大猪选择不按,小猪还是最好选择等待

2、。即不管大猪选择按还是不按，小猪的最佳策略都是等待。也就是说，无论如何，小猪都只会选择等待。这样的情况下，大猪最好选择是按,因为不按的话都饿肚子，按的话还可以有4个单位的收益。所以纳什均衡是（大猪按，小猪等待）。题型二：混合策略的纳什均衡2、求出下面博弈的纳什均衡（含纯策略和混合策略）。乙LR5,00,82,64,5由划线法易知，该矩阵博弈没有纯策略Nash均衡。可得如下不等式组Q二a+d-b-c=7,q=d-b=4,R二0+5-8-6二-9,r二-1可得混合策略Nash均衡（丄上），（丄,）9977据说是去年考了的原题！3、Smith和John玩数字匹配游戏，每个人选择1、2、3,如果数字相

3、同，John给Smith3美元，如果不同，Smith给John1美元。列出收益矩阵。如果参与者以1/3的概率选择每一个数字，证明该混合策略存在一个纳什均衡，它为多少？答：(1)此博弈的收益矩阵如下表。该博弈是零和傅弈，无纳什均衡。John123Smith13,-3-1,1-1,12-1,13,-3-1,13-1,1-1,13,-3(2)Smith选(1/3,1/3,1/3)的混合概率时，John选1的效用为：Ui=1x(-3)+x1+1x1=-!John选2的效用为：U2=xl+x(-3)+卜1=-斗John选3的效用为：6=卜1+卜1+卜(-3)=-壬类似地,John选(1/3,1/3,1/

4、3)的混合概率时，Smith选1的效用为：U；=*x3+*x(-l)+x(-1)=Smith选2的效用为：U；=x(-l)+gx3+*x(-1)=2Smith选3的效用为：U；=x(-l)+1x(-1)+1x3=因为U严6=6，Ui=U；=U,所以：(*，+，+)，(*，+，+)是纳什均衡策略值分别为John：U=-1；Smith：V=1o这个也是据说的去年原题古诺模型斯塔伯格模型我觉得还是很重要的4、假设双头垄断企业的成本函数分别为：C严20Q】，C2=2Q,市场需求曲线为P=400-2Q,其中，Q=Qi+Q?0求出古诺(Cournot)均衡情况下的产量、价格和利润，求出各自的反应和等利润曲

5、线，并图示均衡点。求出斯塔克傅格(Stackelberg)均衡情况下的产量、价格和利润，并以图形表示。说明导致上述两种均衡结果差异的原因。答：(1)对于垄断企业1來说：max4002(Q+Q2)Q1-20Q1这是垄断企业1的反应函数。其等利润曲线为：羽=380Q-2QQ?-2Q?对垄断企业2來说：max400-2(Q1+Q2)Q2-2Q=q,=5o-2l4这是垄断企业2的反应函数。其等利润曲线为：羽=400Q2-2QQ-4在达到均衡时，有：190-(50_瘗rQ|-i/4时，才存在子瞎弈完美4-/S）-Pi（sc）5-14纳什均衡。7、在Bertrand价格博弈中，假定有n个生产企业，需求函数

6、为P二a-Q,其中P是市场价格，Q是n个生产企业的总供给量。假定博弈重复无穷多次，每次的价格都立即被观测到，企业使用“触发策略”（一旦某个企业选择垄断价格，则执行“冷酷策略”）。求使垄断价格可以作为完美均衡结果出现的最低贴现因子6是多少。并请解释各与n的关系。分析：此题可分解为3个步骤（1）n个企业合作，产量总和为垄断产量，价格为垄断价格，然后平分利润。（2）其中一个企业采取欺骗手段降价，那个这家企业就占有的全部市场，获得垄断利润(3)其他企业触发战略，将价格降到等于边际成本，所有的企业利润为零。参考答案：设每个企业的边际成本为c,固定成本为0P二a-QTR二P*Q二(a-Q)*QMR二a-2

7、Q因为：MR=MCa-2Q二c则:Q=(a-c)/2P二(a+c)/2ai=(P-c)*Q=(a-c)2/4每家企业的利润为(a-c)2/4n假设A企业自主降价，虽然只是微小的价格调整，但足以占领整个市场，获得所有的垄断利润一一(a-c)2/4其他企业在下一期釆取冷酷策略，使得所有企业的利润为0考虑：A企业不降价：(a-c)2/4n,(ac)2/4n,A企业降价：(a-c)2/4,0,使垄断价格可以作为完美均衡结果，就要使得不降价的贴现值大于等于降价的贴现值。设贴现因子为SA不降价的贴现值：(a-c)2/4nl/(l-8)A降价的现值：(a-c)2/4于是：(a-c)2/4n1/(1-(a-c

8、)2/4解得：61-1/n题型五不完全信息下的静态傅弈产生的贝叶斯均衡详情请见PPT302面303面以及不完全信息下的古诺模型8、市场进入博弈(贝叶斯均衡)一个完全垄断企业B正在垄断一个行业市场，另一个潜在的试图进入该行业的企业A,称A为进入者，B为在位者。A不知道B的成本特征，设B有两种可能的成本，即高成本和低成本。两种成本情况下的博弈矩阵如表61。表6.1市场进入博弈B40,50-10,030,80-10,100A进入高成本低成本默认斗争默认斗争0,3000,3000,400不进入假定B知道进入者A的成本为高成本，且与B为高成本时的成本相同。假若信息是完全的，则当B为高成本时，唯一的精炼纳什均衡为(进入，默认)，另一纳什均衡(不进入,斗争)是含有不可置信的威胁。当B为低成本时，唯一的纳什均衡为(不进入，斗争)，即若A进入行业，具有低成本优势的B将通过降低价格将A逐出市场。由于存在行业进入成本，所以A被逐出市场后将有净的10单位进入成本的损失。当A不知道B的成本情况时，他的选择将依赖于他对B的成本类型的主观概率或先验概率密度。设A对B是高成本的先验概率判断为P,则A认为B为低成本的概率为1-P。如果A进入，其期塑支付为P(40)+(l-P)(-10)如果1不进入，其期望支付