培优平行四边形辅导专题训练及详细答案

1、一.平行四边形真题与模拟题分类汇编(难题易错题)如图，将矩形纸片ABCD沿对角线AC折叠，使点B落到到出的位置，AB%CD交于点求证：AED雯CEB若AB=8,DE=3,点P为线段AC上任意一点，PG丄AE于G,PH丄BC于H.求PG+【答案】(1)证明见解析：(2)七【解析】【分析】由折叠的性质知，CBBC=AD,=D=90fMECuDEA,则由/1/lS得至jAED=CEB由公AEDm可得EBDE=3,又由4B=8,即可求得4E的长，然后在乩中，利用勾股定理即可求得4D的长，再过点P作PK丄加于K,由角平分线的性质，可得PK=PJ易证得四边形是矩形，继而可求得答案.【详解】v四边形SBC。

2、为矩形，CB=BC=ADLB=LB=ZD=9099又乙BEC=M)EA,AED=CEB.AED=CEB二EBl=DE=3AB1=AB=89AE=AB1-EB1=83=5：Rt/IDE中，AD=AE1-DE1=4过点P作PK丄加于K,AC=Z.BACPGLAE99pk=PGPHkCD,AB/CDyPH丄AB厶D=乙K1ID=HKA=90四边形SDHK是矩形，HK=AD=49PG+PH=PK+PH=HK=4【点睛】此题考查了折叠的性质、矩形的性质、角平分线的性质、等腰三角形的判定与性质以及勾股定理等知识.此题难度较人，注意掌握折叠前后图形的对应关系，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想的应用.如

3、果两个三角形的两条边对应相等，夹角互补，那么这两个三角形叫做互补三角形，如图2,分别以ABC的边AB、AC为边向外作正方形ABDE和ACGF,则图中的两个三角形就是互补三角形.（1）用尺规将图1中的ABC分割成两个互补三角形：（2）证明图2中的ABC分割成两个互补三角形；（3）如图3,在图2的基础上再以BC为边向外作正方形BCHI.已知三个正方形面积分别是17、13、10,在如图4的网格中（网格中每个小正方形的边长为画出边长为、刃、尸、1的三角形，并计算图3中六边形DEFGHI的面积.若ABC的面积为2,求以EF、DI、HG的长为边的三角形面积.（图3）（4）【答案】（1）作图见解析（2）证明

4、见解析（3）62；6【解析】试题分析：（1）作BC边上的中线AD即可.（2）根据互补三角形的定义证明即可.（3）画出图形后，利用割补法求面枳即可.平移ACHG到AMF,连接EM,IM,则AM=CH=BI,只要证明SAEFM=3SAABC即可.试题解析：（1）如图1中，作BC边上的中线AD,AABD和AADC是互补三角形.（2）如图2中,延长FA到点H,使得AH=AF,连接EH.EBC（图2）四边形ABDE,四边形ACGF是正方形，AB=AE,AF二AC,ZBAE=ZCAF=90,ZEAF+ZBAC=180,AEF和厶ABC是两个互补三角形.ZEAH+ZHAB=ZBAC+ZHAB=90,ZEAH

5、=ZBAC,AF=AC,AH二AB,在AAEH和厶ABC中,AE=AB乙EAB=jlBACAH=AC.AEH雯ABC,IAEF=SAEH=SABC（3）边长为P17、Y13、P111的三角形如图4所示.（图4）Tabc=3x4-2-1.5-3=5.S八边形=17+13+10+4x55=62.如图3中，平移ACHG到AMF,连接EM,IM,则AM二CH二Bl,设ZABC=x,（圉3）/AMIICH,CH丄BC,AM丄BC,ZEAM=90+90-x=180-x,ZDBI=360-9090-x=180-x,ZEAM=ZDBI,/AE=BD,AEM雯DBI,在厶DBI和厶ABC中，DB=AB,BI=B

6、C,ZDBI+ZABC=180%DBI和AABC是互补三角形，AEM=SAEF=SAFM=2,-efm=3Sabc=6.考点：1、作图应用与设计，2、三角形面枳3.在AABC中，AB=BC，点O是AC的中点，点P是AC上的一个动点（点P不与点A,0,C重合）过点A,点C作直线BP的垂线，垂足分别为点E和点F,连接OE,OF.（1）如图1，请直接写出线段0E与OF的数量关系：（2）如图2,当ZABU90。时，请判断线段0E与OF之间的数量关系和位置关系，并说明理由【答案】（1）OF=OE；（2）OFEK,OF=OE,理由见解析：（3）OP的长为苗或2羽3【解析】【分析】（1）如图1中，延长E0交

7、CF于K,证明ZkAOE雯COK,从而可得OE=OK,再根据直角三角形斜边中线等于斜边一半即可得OF=OE：（2）如图2中，延长E0交CF于K,由已知证明ZkABE妥“BCF,AOE雯COK,继而可证得AEFK是等腰直角三角形，由等腰直角三角形的性质即可得OFEK,OF=OE；（3）分点P在A0上与CO上两种情况分别画图进行解答即可得.【详解】（1）如图1中，延长E0交CF于K,OCF丄BE,AEIICK,/.ZEAO=ZKCO,ZAOE=ZCOK,AOE竺COK,二OE=OK,SK是直角三角形，og：(2)如图2中，延长EO交CF于K,ZABC=ZAEB=ZCFB=90,/.ZABE+ZBA

8、E=90%ZABE+ZCBF=90,/.ZBAE=ZCBF.AB二BC,aABE竺aBCF,BE=CF,AE=BF,AOE雯COK,AE二CKOE=OK,/.FK=EF,EFK是等腰直角三角形,.OF丄EK,OF=OE；(3)如图3中，点P在线段AO,延长E0交CF于K,作PH丄OF于H,A/|CF-AE|=2,EF=2*,AE二CK,二FK=2,在RtAEFK中，tanZFEK=H,二ZFEK=30,ZEKF=60,31/.EK=2FK=4,0F=-EK=2,2OPF是等腰三角形，观察图形可知，只有0F=FP=2,ZBOP=90,0H=2-艮时,ZPOF=ZPFO=30,综上所述：op的长为

9、点血或芈.【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、直角三角形斜边中线等于斜边一半、等腰直角三角形的判定与性质、解直角三角形等，综合性较强，正确添加辅助线是解题的关键.4.己知AD是ZkABC的中线P是线段AD上的一点（不与点A、D重合），连接PB、PC,写出所有与BPE面积相等的三角形（不包BPE本身）【答案】（1）见解析；（2）AAPE.AAPF.CPF、APGH.【解析】【分析】由三角形中位线定理得出EGIIAP,EFIIBC,EF=-BC,GHIIBC,GH=-BC,推出22EFIIGH,EF=GH,证得四边形EGHF是平行四边形，证得EF丄AP,推出EF丄EG,即可得出结论；由4AP

10、E与ABPE的底AE=BE,又等高，得出S“pe=S“pe，由APE与APF的底EP=FP,又等高，得出Saape=Saapf,由AAPF与ACPF的底AF=CF,又等高，得出Saapf=Scpf,证得PGH底边GH上的高等于AEF底边EF上高的一半，推出PGH二一AEF=SAPF，即门J得出结果.2【详解】证明：TE、F、G、H分别是AB、AC、PB、PC的中点，11EGIIAP,EFIIBC,EF=BC,GHIIBC,GH=-BC,22/.EFIIGH,EF=GH,四边形EGHF是平行四边形，AB=AC,ADBC,EF丄AP,EGIIAP,EF丄EG,平行四边形EGHF是矩形；/PE是厶A

11、PB的中线,APE与ZkBPE的底AE=BE,又等高，二APE=SaBPEAP是AEF的中线，APE与PF的底EP=FP,又等高，二APE=APF，IAPF=SaBPEtPF是APC的中线,APF与ZkCPF的底AF=-CF,又等高，二APF=CPF，SaCPF=SaBPE，VEFIIGHIIBC,E、F、G、H分别是AB、AC、PB、PC的中点,AEF底边EF上的高等于ABC底边BC上高的一半，PGH底边GH上的高等于PBC底边BC上高的一半，PGH底边GH上的高等于AEF底边EF上高的一半，GH=EF,.1二PGHSaAEF=APF综上所述，与ABPE面积相等的三角形为：AAPE、AAPF

12、.ACPF.PGH.【点睛】本题考查了矩形的判定与性质、平行四边形的判定、三角形中位线定理、平行线的性质、三角形面枳的计算等知识，熟练掌握三角形中位线定理是解决问题的关键.5.（感知）如图，四边形ABCD、CEFG均为正方形.可知BE=DG.（拓展）如图，四边形ABCD、CEFG均为菱形，且ZA=ZF.求证：BE=DG.（应用）如图，四边形ABCD、CEFG均为菱形，点E在边AD，点G在AD延长线上.若AE=2ED,ZA=ZF,EBC的面积为&菱形CEFG的面积是.（只填结果）图图图【答案】见解析【解析】试题分析：探究：由四边形ABCD、四边形CEFG均为菱形，利用SAS易证得BCE妥DCG,

13、则可得BE=DG：应用：由ADIIBC,BE=DG,可得Saabe+Sacde=Sabec=Sacdg=8,又由AE=3ED,可求得CDE的面积，继而求得答案.试题解析：探究：四边形ABCD、四边形CEFG均为菱形，BC=CD,CE=CG,ZBCD=ZA,ZECG=ZF.TZA=ZF,/.ZBCD=ZECG.ZBCD-ZECD=ZECG-ZECD,即ZBCE=ZDCG.在厶BCE和厶DCG中，BC=CDZBCE=ZDCGCE=CGBCE雯DCG（SAS）,BE=DG应用：四边形ABCD为菱形，/.ADIIBC,BE二DG,二abe+Sacde=Sbec=Scdg=8,AE=3ED,/-CDE=

14、X8=24二ecg=Scde+Scdg=10IS曼彫cefg=2Saecg=20.如图，在矩形ABCD中，点P从43边的中点E出发，沿着E-B-C速运动，速度为每秒2个单位长度，到达点C后停止运动，点0是ADL的点，40=10,设的面枳为)，点运动的时间为f秒，与的函数关系如图所示.图中43=，BC=_，图中7=.当秒时，试判断以P0为直径的圆是否与边相切?请说明理由：(3)点“在运动过程中，将矩形沿P0所在直线折叠，贝IJ/为何值时，折叠后顶点4的对应图t巧5、-点4落在矩形的一边上.【答案】(1)8,1&20;(2)不相切，证明见解析:【解析】【分析】(1)由题意得出AB=2BE,t=2时

15、，BE=2x2=4,求出AB=2BE=8,AE=BE=4,t=ll时,2t=22,得出BC=18,当t=O时，点P在E处，m=AAEQ的面积二-AQxAE=2O即可;2(2)当t=l时，PE=2,得出AP=AE+PE=6,由勾股定理求出PQ=2屈，设以PQ为直径的圆的圆心为作ON丄BC于N,延长NO交AD于IVL则MN=AB=8,OMIIAB,MN=AB=8t由三角形中位线定理得出O*M=-AP=3,求出O,N=MN-O,M=5V圆O1的半径，2即可得出结论；(3)分三种情况：当点P在AB边上，A落在BC边上时，作QF丄BC于F,则QF二AB=8,BF二AQ=10,由折叠的性质得：PA=PA,

16、A,Q=AQ=10,ZPA,Q=ZA=90,由勾股定理求出APJaQ-QF?=6,得出A,B=BF-A,F=4,在RtAABP中，BP=4-2t,PA=AP=8-(4-2t)=4+2t,由勾股定理得出方程，解方程即可；当点P在BC边上，厲落在BC边上时，由折叠的性质得：A*P=AP,证出ZAPQ=ZAQP,得出AP=AQ=A,P=10,在RtAABP中，由勾股定理求出BP=6,由BP=2t-4,得出2t-4=6,解方程即可：当点P在BC边上，A落在CD边上时，由折叠的性质得：AP=AP,AQ=AQ=10,在RtADQA中，DQ二ADAQ=8,由勾股定理求出DA=6,得岀AC二CDDA=2,在R

17、tAABP和RtAAPC中，BP=2t-4,CP=BC-BP=22-2t,由勾股定理得出方程,解方程即可.【详解】（1）V点P从AB边的中点E出发，速度为每秒2个单位长度，AB=2BE,由图象得:t=2时，BE=2x2=4,/.AB=2BE=&AE=BE=4,t=l：l时，2t=22,.BC=22-4=18,当t=0时，点P在E处,m=AAEQ的面积=-AQxAE=-xl0 x4=20；22故答案为8,18,20：（2）当t/34，作ON丄BC于N,延长NO1交AD于M,如图1所示:贝ljMN=AB=8,OMIIAB,MN=AB=8tO为PQ的中点，OM是厶APQ的中位线，1.o,M=-AP=

18、3,2O,N=MN-O,M=55/34,以PQ为直径的圆不与BC边相切；（3）分三种情况：当点P在AB边上，4落在BC边上时，作QF丄BC于F,如图2所则QF=AB=&BF=AQ=10,四边形ABCD是矩形，ZA=ZB=ZBCD=ZD=90,CD二AB=8,AD=BC=18,由折叠的性质得：PA=PA,A,Q=AQ=10,ZPA,Q=ZA=90%ajJaqqf?=6,AB=BF-AF=4,在RtAABP中，BP=4-2t,PA=AP=8-(4-2t)=4+2t,由勾股定理得:42+(4-2t)2=(4+2t)2,解得：；2当点P在BC边上，A落在BC边上时，连接AA，如图3所示:由折叠的性质得

19、：A*P二AP,ZAPQ=ZAPQ,/ADIIBC,ZAQP=ZAPQ,ZAPQ=ZAQP,AP=AQ=A,P=10,在RtAABP中，由勾股定理得：BP=5/102-82=6又BP=2t4/.2t-4=6,解得：t=5；当点P在BC边上，A落在CD边上时，连接AP、AP如图4所示:B占C图4由折叠的性质得：AP=AP,AQ=AQ=10,在RtADQA中，DQ=AD-AQ=&由勾股定理得：DALjioS=6,AC=CDDA=2,在RtAABP和RtZkAPC中，BP=2t-4,CP=BC-BP=18-(2t-4)=22-2t,由勾股定理得:AP2=82+(2t-4)2,AP2=22+(22-2

20、t)2,82+(2t-4)2=2?+(22-2t)2,17解得：t=:17综上所述，t为一或5或一时，折叠后顶点A的对应点N落在矩形的一边上.3【点睛】四边形综合题目，考查了矩形的性质、折叠变换的性质、勾股定理、函数图彖、直线与圆的位置关系、三角形中位线定理、等腰三角形的判定、以及分类讨论等知识如图，P是边长为1的正方形ABCD对角线BD上一动点(P与B、D不重合),ZAPE=90%且点E在BC边上，AE交BD于点F.求证：APAB雲PCB；PE二PC：在点P的运动过程中，卑的值是否改变？若不变，求出它的值；若改变，请说明理AE由；当x为何值时，AEIIPC,并判断此时四边形PAFC的形状.【

21、答案】(1)见解析;矿兀(3)xg/2-1；四边形PAFC是菱形.【解析】试题分析：(1)根据四边形ABCD是正方形，得出AB二BC,ZABP=ZCBP%再根据PB=PB,即可证出厶PAB仝PCB,根据ZPAB+ZPEB=180,ZPEC+ZPEB=180,得出ZPEC=ZPCB,从而证出PE=PC；根据PA二PC,PE二PC,得出PA二PE,再根据ZAPE二90。，得岀ZPAE二ZPEA二45。，即可求AP出码先求出ZCPE=ZPEA=45,从而得出ZPCE,再求出ZBPC即可得出ZBPC=ZPCE,从而证出BP=BC=1,x=17-1,再根据AEIIPC,得岀ZAFP=ZBPC=67.5%

22、由PAB空PCB得出ZBPA=ZBPC=67.5,PA二PC,从而证出AF二AP二PC,得出答案.1试题解析：(1)四边形ABCD是正方形，.AB=BC,ZABP=ZCBP=ZABC=45.PB=PB,PAB雯PCB(SAS)由PAB竺PCB可知，ZPAB=ZPCB./ZABE=ZAPE=90/.ZPAB+ZPEB=180%又JZPEC+ZPEB=180,ZPEC=ZPAB二ZPCB,PE二PCAP(2)在点P的运动过程中，疋的值不改变.由厶PAB雯PCB可知，PA=PC.PA二PE,又/ZAPE=90,PAE是等腰直角三角形(3)JAEIIPC,ZCPE=ZPEA二45,/.在厶PEC中，Z

23、PCE=ZPEC=2(18045)=67.5在厶PBC中，ZBPC=(180-ZCBP-ZPCE)=(180-45-67.5)=67.5./.ZBPC=ZPCE=67.5%/.BP=BC=1,/.x=BD-BP=7-1./AEIIPC,/.ZAFP=ZBPC=67.5,由PAB竺PCB可知，ZBPA=ZBPC=67.5,PA二PC,ZAFP=ZBPA,AF二AP二PC,四边形PAFC是菱形.考点：四边形综合题&数学活动课上，老师给出如下问题：如图，将等腰直角三角形纸片沿斜边上的高AC剪开，得到等腰直角三角形AABC与AEFD,将AEFD的直角顶点在直线BC上平移，在平移的过程中，直线AC与直线

24、DE交于点Q,让同学们探究线段BQ与AD的数量关系和位置关系.请你阅读下面交流信息，解决所提出的问题展示交流：小敏：满足条件的图形如图甲所示图形，延长BQ与AD交于点H我们可以证明BCQACD,从而易得BQ=AD,BQ丄AD.小慧：根据图甲，当点F在线段BC上时，我们可以验证小慧的说法是正确的.但当点F在线段CB的延长线上（如图乙）或线段CB的反向延长线上（如图丙）时，我对小慧说法的（1）请你帮助小慧进行分析，小敏的结论在图乙、图丙中是否成立？请说明理由.（选择图乙或图丙的一种情况说明即可）（2）小慧思考问题的方式中，蕴含的数学思想是拓展延伸：根据你上面选择的图形，分别取AB、BD、DQ、AQ

25、的中点M、N、P、T.则四边形MNPT是什么样的特殊四边形？请说明理由.【答案】成立：分类讨论思想；正方形【解析】试题分析：利用等腰直角三角形的性质结合全等三角形的判定与性质得出BOAD,BQ丄AD；利用已知条件分类得出，体现数学中的分类讨论思想，拓展延伸：利用三角形中位线定理结合正方形的判定方法，首先得出四边形MNPT是平行四边形进而得出它是菱形，再求出一个内角是90。，即可得出答案.试题解析：（1）、成立，理由：如图乙：由题意可得：ZFDE=ZQDC=ZABC=ZBAC=45,则DC=QC,AC=BC,（AC=BC在厶ADC和厶BQC中IZACD=ZBCQ,ADC竺BQC（SAS）,/.A

26、D=BQ,docqZDAC=ZQBC,延长AD交BQ于点F,则ZADC=ZBDF,/.ZBFD=ZACD=90%/.AD丄BQ；（2）、小慧思考问题的方式中，蕴含的数学思想是：分类讨论思想；拓展延伸：四边形MNPT是正方形，理由：取AB、BD、DQ、AQ的中点M、N、P、T,MNmnAtp,/.四边形MNPT是平行四边形，NP垒*BQ,BQ=AD,/.NP=MN,/.平行四边形MNPT是菱形,ZMNP=90%四边形MNPT是正方形.考点：几何变换综合题9.己知：如图，四边形ABCD和四边形AECF都是矩形，AE与BC交于点M,CF与AD交于点N.（1）求证：ABM雯CDN：（2）矩形ABCD和

27、矩形AECF满足何种关系时，四边形AMCN是菱形，证明你的结论.【答案】（1）证明见解析：（2）当AB=AF时，四边形AMCN是菱形.证明见解析；【解析】试题分析：（1）由已知条件可得四边形AMCN是平行四边形，从而可得AM=CN,再由AB=CD,ZB=ZD=90,利用HL即可证明;（2）若四边形AMCN为菱形,则有AM=AN,从已知可得ZBAM=ZFAN,又ZB=ZF=90,所以有AABM雯AAFN,从而得AB=AF,因此当AB=AF时，四边形AMCN是菱形.试题解析：（1）四边形ABCD是矩形,/.ZB=ZD=90,AB=CD,ADIIBC.四边形AECF是矩形，.AEIICF.四边形AMCN是平行四边形.二AM=CN.在RtAABM和RtACDN中，AB=CD,AM=CN,.二RtAABM竺RtACDN（2）当AB=AF时，四边