运用逆向思维　培养解题能力

1、运用逆向思维培养解题能力吴县市湘城中学冯振暖人们在研究事物或理论时，通常按照一定的顺序进行，或按其发生时间的先后，或按其在空间位置关系的由远及近，或按某一特性人为地编成一个顺序，我们把这种按顺序思考问题的思维叫作正向思维，正向思维是基本的、常见的、大量的，但是当正向思维面临困境甚至是绝境的时候，“反过来想一想”这种思维方向，即逆向思维往往会出奇制胜、别开生面，在人类几千年的文明史上记载有很多运用逆向思维引人入胜的故事。例如司马光“击缸救人”的故事中小友们采取了习惯思维方法：“人离缸水存”，而司马光采取了逆向思维方法“缸破水流人存”。数学知识有其特点，很多数学知识都具有可逆结构，因此在数学教学过

2、程中加强逆向思维的训练，不仅可以加强对原有知识的理解，而且还可对知识从不同的角度，不同的层次和不同的侧面去探索，从而使问题解决，既而提高学生分析问题和解决问题的能力。本文将就中学数学教学中如何运用逆向思维培养学生的解题能力，介绍一些体会与做法。一、定义教学中的逆向思维训练数学的定义至关重要，作为定义的数学命题其逆命题总是正确的，所以我们在运用定义时不仅可应用原命题，还可以应用其逆命题。如在立体几何中异面直线的定义：“不同在任何一个平面内的两条直线是异面直线”，它的反面是若两条直线不是异面直线则这两条直线一定在同一平面内，也可以说在空间两条直线若不相交也不平行一定是异面直线。由于在高中立几的教材

3、中，判定是否是异面直线，除定义外无其它知识可用。因此在判定是否是异面直线的有关题中，最好的方法是反证法。即用了逆向思维的方法来解决问题。又如椭圆定义的运用，可较迅速地解答一九九三年的高考题。yNMP例1：在面积为1的PMN中，tgM= eq f(1,2) ，tgN= 2，试建立适当的坐标系，求出以M、N为焦点且过点P的椭圆方程。分析：问题的关键是求出椭圆的长轴2a，由椭圆定义：2a=|PM|+|NP|，故可先求|PM|、|PN|。略解：建立直角坐标系如图，以MN所在直线为x轴，线段MN的垂直平分线为y轴。设所求椭圆方程为： eq f(x2,a2) + f(y2,b2) =1 ,分别记M、N、P

4、点坐标为(c,0)、(c,0)、(x0,y0)。tg=tg(N)=2，由题设得：y0= eq f(1,2)(x0+c)及y0=2(x0c)x0= eq f( 5,3)c ，y0 = eq f(4,3)c ，即P（ eq f( 5,3)c ， eq f(4,3)c ）MNP中，MN2c，MN上的高 eq f(4,3)c ，SMNP eq f(1,2)2c eq f(4,3)c =1c= eq f(3,2) ，即 eq P(f(5,6)r(3)，f(2,3)r(3) 。|PM| eq r(x0+c)2 +y02) = f(2r(15),3) ,|PN|= eq r(x0c)2 +y02) = f(

5、r(15),3) 由椭圆定义得a= eq f(1,2) (|PM)+|PN|)= eq f(1,2) eq r(15)，从而b2=a2c2=3故所求的椭圆方程为： eq f(4,15)x2 + f(y2,3) =1 。二、运算中的逆向思维训练运算能力的提高，直接关系学生的解题速度和正确率，在运算过程中加强逆向思维的训练，能极大地调动学生学习数学的积极性和提高思维能力。例2试比较 eq f(10,17)，f(12,19)，f(15,23)，f(20,33)的大小。分析：常规方法是先通分，再比较新的分子，显然，最小公分母是原来的四个分母的积，因此通分之后各个分式的新分子运算起来较为繁琐，现在如果不

6、统分而采用用先通分子再比较新的分母：即 eq f(60,102)， eq f(60,95)， eq f(60,92)， eq f(60,99)因为 eq f(60,92) eq f(60,95) eq f(60,99) eq f(60,102)，所以 eq f(15,23) eq f(12,19) eq f(20,33) eq f(10,17)。这种解法甚为简便，能较好地激起学生的学习兴趣。三、公式教学中渗透逆向思维数学公式的两边总是等价的，公式本身是双向的，但是习惯顺序总是由左至右或化繁为简，运用公式解题时大都遵循这样的顺序。但在另一类题中用公式时采用：由右到左，或由简到繁，或公式变形，就形

7、成了对公式的灵活运用，也能形成解题技巧，提高解题能力，培养逆向思维能力，锻炼思维的灵活性。例3：解方程arc sin eq f(2a,1+a2)+arc sin eq f(2b,1+b2) =2arctgx分析：一般地是按照思维定势将方程两边同时取正弦，若不采用此法而仔细观察一下式中出现的 eq f(2a,1+a2)， eq f(2b,1+b2)，联想到万能公式，可知，它们分别是某个二倍角的正弦值，于是令a=tg，b=tg，其中、（ eq f(,2) , eq f(,2) ），则 eq f(2a,1+a2)sin2， eq f(2b,1+b2)sin2，这时原方程就变为：arcsin(sin2

8、)+arcsin(sin2)=2arctgx。即222arctgx，化为：x=tg(+)。1当ab1时，x=tg(+)= eq f(tg+tg,1tgtg) = f(a+b,1ab)2当ab=1时，原方程无解，（ eq f(,2) ）由此可见，这种解法比方程两边取正弦的方法简便，其关键在于逆用了万能公式。四、定理教学中强化逆向思维训练对于定理而言，众所周知并不是所有定理的逆命题都是正确的，但是重视引导学生探讨定理的逆命题是否正确，不失是指导学生研究新问题的一个有效方法，它对于激发学生的学习兴趣和指导学生正确运用定理解题，具重要意义。ABCD例如：公差不为0的等差数列an的前n项和Sn=na1+

9、 eq f(1,2)n(n1)d是n的二次函数，想一想它的逆命题成不成立？即如果数列an中，Sn=an2+bn+c(a0)，这个数列是等差数列吗？由此得到一个重要结果：若数列an的前n项和Sn=an2+bn+c(a0)，则数列成等差且公差不为0的充要条件为c=0。又如韦达定理的逆向应用也是常见的。例4：如图，ABC，ADBC于D，且ABDCACBD，求证：ABC是等腰三角形。分析：由条件与结论联想韦达定理的逆定理，很易使命题验证。设ABDCACBDp，两边平方并结合勾股定理可得：ABDCACBD（设它等于q）于是由韦达定理逆定理知：AB、DC及AC、BD都必为方程x2px+q=0的两个实根。从

10、而有ACAB或ABBD（舍去）BDDCDCAC故：ABAC，BDDC，ABC为等腰三角形。五、利用图形进行逆向思维训练图形的优势在于其直观性，而如果在图形训练中加入逆向思维，则更可帮助学生思考问题，开拓思路。图A例5：如图A，正方形边长为a，以各边为直径在正方形内画半圆，求所围成的阴影部分的面积。图B分析：此题解法甚多，若从正面考虑，图形干扰性大，学生思维往往受阻，若从反面考虑，先求非阴影部分的面积，然后通过正方形面积减去非阴影部分面积，较为简便，如图B就可以化繁为简，再通过整体代换，可以得到：2S非阴影S正方形S圆从而S阴S正方形4S非阴影2S圆S正方形例6：如图1，三棱锥PABC中，已知P

11、ABC，PABCl，PA、BC的公垂线为EDh，求证三棱锥PABC的体积V eq f(1,6)l2h（1987年高考试题）。DPEACB分析：常规的方法如图1，连结AD、PD，由BCDE，BCAP得BC面APD，又DEAP。图1VPABCVBAPDVCPAD eq f(1,3)BCSAPDf(1,6)l2hABDCEPBC如果我们注意到条件与推论，将此三棱锥PABC补形成三棱柱，ABCPBC（如图2），连结EC、EB，则AP面BEC。V三棱柱SBCEAP eq f(1,2)l2h图2VPABC eq f(1,3)V三棱柱f(1,6)l2h学生在图2中找出三棱锥PABC较易想到，但将图1补形成三

12、棱柱（图2）则不易想到，故应引导学生这方面的思索。六、利用典型例题进行逆向思维训练有些问题，直接从正面解决十分困难，这时，若改变思维方向，从反面入手，作逆向探求，则往往会化繁琐为简，化验证为易。例7：已知三个x的方程，x24ax4a+3=0，x2+(a1)x+a2=0、x2+2ax2a=0中至少有一个有实根，求实数a的范围。分析：如果直接从题设入手，需讨论任一个、任二个方程有解和三个方程同时有实解的情况，共有C31C32C337种情况，显然这种做法运算量大，影响解题速度，若从反面入手，先考虑三个方程都没有实根时a的取值范围。1(4a)2 4(4a+3)02=(a1)24a2 eq f(3,2)

13、 a13=(2a)24(2a)0再根据补集的思想，就得到原题中a的取值范围为： a eq f(3,2)或a1。例8：100人排成一列，自1起依次报数，报奇数的人出列，留下之人重新报数，这样继续下去，最后留下一人，问这个人第一次报的数是多少？分析：由于最后留下的人一定是历次报数时都报偶数的人，故此人每一次报的数一定是2的幂，因26=64，27=128，因此这个人第一次报数时，报的是64。逆向思维是发散思维的重要组成部分，在数学过程中加强逆向思维的训练，有意识地引导和培养学生的逆向思维意识和习惯，帮助学生从正向思维过度到正逆双向思维，这对提高学生学习数学能力、激发兴趣是很大意义的，因此，我们在教学过程中，除了在象上面所述的几个部分进行逆向思维培养外，在数学教学中，还可经常进行以下几方面的训练：原命题成立，想一想它的逆命题成不成