届重庆市高三5月调研（三调）数学（理）试题

1、2019届重庆市高三5月调研（三调）数学（理）试题一、单选题1若复数满足，其中是虚数单位，则（ ）ABCD【答案】D【解析】由变形得出，利用复数的除法法则得出复数的一般形式，利用共轭复数的定义得出复数【详解】由，得，故选【点睛】本题考查复数的除法、共轭复数的概念，解决复数的问题，一般要利用复数的四则运算法则得出复数的一般形式，明确复数的实部与虚部，再根据复数的实部与虚部求解2已知集合，则实数的取值范围是（ ）AB，CD，【答案】B【解析】考查与的大小关系，结合条件并利用数轴可得出实数的取值范围。【详解】集合，实数的取值范围是，故选：【点睛】本题考查利用集合的交集运算求参数的取值范围，这类问题的

2、求解就是利用数轴，考查端点之间的位置关系结合已知条件得出有关参数的不等式进行求解，属于中等题。3已知函数，则曲线在点处的切线的倾斜角是（ ）ABCD【答案】B【解析】先求导，将代入导数，利用导数几何意义即可求解【详解】由，由故选：B【点睛】本题考查导数的几何意义，属于基础题4某中学数学竞赛培训班共有10人，分为两个小组，在一次模拟测试中两个小组成绩的茎叶图如图所示，已知甲乙两组同学成绩的平均数相同，则甲乙两组同学成绩的中位数之差的绝对值为（ ）A2BCD【答案】C【解析】利用平均数相等，得出，由茎叶图中的数据，结合中位数的定义得出甲乙两组的中位数，即可得出甲乙两组同学成绩的中位数之差的绝对值.

3、【详解】因为甲乙两组同学成绩的平均数相同所以，解得由茎叶图可知，甲组同学的中位数为：；乙组同学的中位数为：甲乙两组同学成绩的中位数之差的绝对值为故选：C【点睛】本题主要考查了由茎叶图计算中位数以及利用平均数求参数，属于基础题.5已知两条不同的直线，和一个平面，则使得“”成立的一个必要条件是（ ）A且B且C且D，与所成角相同【答案】D【解析】假设结合每个选项的第一个条件看能不能推出第二个条件。【详解】若，若则或，故错误，若，当时或，故错误，若，且不一定成立，故错误，若则，与所成角相同，即正确，故选：【点睛】本题考查空间线面关系以及充分必要条件，考查空间思维能力，属于中等题。6某几何体的三视图如图

4、所示，则该几何体的表面积为（ ）ABCD【答案】D【解析】先由三视图还原为实物图，得知几何体为直四棱锥，然后计算出每个面的面积，相加即可得出答案。【详解】由三视图还原原几何体如图，该几何体为四棱锥，底面为边长是2的正方形，侧棱底面，且该几何体的表面积为：故选：【点睛】本题考查三视图以及简单几何体表面积的计算，解决这类问题的关键在于将三视图还原为几何体的实物图，在还原的过程中遵循“长对正、高平齐、宽相等”的基本原则，考查空间思维能力，属于中等题。7执行如图所示的程序框图，若输出的值为7，则框图中处可以填入（ ）ABCD【答案】C【解析】根据程序框图列出所有的循环步骤，最后一次循环中的满足条件，以

5、及倒数第二次循环中不满足条件来选择四个选项中的判断条件。【详解】第一次循环：，不满足条件，；第二次循环：，不满足条件，；第三次循环：，不满足条件，；第四次循环：，不满足条件，；第五次循环：，不满足条件，；第六次循环：，不满足条件，；第七次循环：，满足条件，输出的值为7所以判断框中的条件可填写“”故选：【点睛】本题考查程序框图中判断条件的选择，这种类型的问题一般要列举出所有的循环步骤，利用最后一次和倒数第二次循环中变量满足与不满足来筛选判断条件，考查逻辑推理能力，属于中等题。8已知等腰梯形中，分别为，的中点，为的中点，若记，则（ ）ABCD【答案】B【解析】根据三角形法则可知，再根据梯形的中位线

6、定理可知，所以，即可求出【详解】依题意得，再根据梯形的中位线定理可知，所以，故故选：B【点睛】本题主要考查用基底表示平面向量，考查平面向量的线性运算，属于基础题9函数，的部分图象如图所示，要得到函数的图象，只需将函数的图象（ ）A向左平移B向左平移C向右平移D向右平移【答案】C【解析】由函数的最值求出，将点代入函数的解析式求出，再将点代入该函数的解析式求出，得出，并利用诱导公式化为，再利用函数的图象变化规律得出结论【详解】由函数，的部分图象，可得，由，可得，故可将函数的图象向右平移个单位长度得到的图象故选【点睛】本题考查由三角函数图象求解析式、以及三角函数图象变换，求图象求三角函数的解析式的步

7、骤如下：（1）求、：，；（2）求：（其中为函数的最小正周期）；（3）求初相：代特殊点（最高点、最低点或对称中心点）求10某地区甲、乙、丙三所单位进行招聘，其中甲单位招聘2名，乙单位招聘2名，丙单位招聘1名，并且甲单位要至少招聘一名男生，现有3男3女参加三所单位的招聘，则不同的录取方案种数为（ ）A36B72C108D144【答案】D【解析】按三步分步进行，先考虑甲单位招聘，利用间接法，因为至少招聘一名男生，将只招女生的情况去掉，录取方案数为，然后剩余四人依次分配给乙单位和丙单位，分别为、，然后根据分步乘法计数原理将三个数相乘可得出答案。【详解】根据题意，分3步进行分析：单位甲在6人中任选2人招

8、聘，要求至少招聘一名男生，有种情况，单位乙在剩下的4人中任选2人招聘，有种情况，单位丙在剩下的2人中任选1人招聘，有种情况，则有种不同的录取方案；故选：【点睛】本题考查排列组合问题，将问题分步骤处理和分类别讨论，是两种最基本的求解排列组合问题的方法，在解题的时候要审清题意，选择合适的方法是解题的关键，着重考查学生分析问题和解决问题的能力，属于中等题。11若函数，则的所有极大值点之和与所有极小值点之和的差为( )ABCD【答案】A【解析】对函数求导，在内解出方程，即为函数在所有的极值点，并分析函数在这些极值点附近的单调性，确定极大值点和极小值点，再将所有极大值点之和与所有极小值点之和作差可得出答

9、案。【详解】函数，时，时，时递增，时递减，当时，取极小值，当时，取极大值，则的所有极大值点之和与所有极小值点为计算时可得；的所有极大值点：，的所有极小值点：，故：，故选：【点睛】本题考查函数的极值与导数，在确定极大值点和极小值点属性时，要注意以下两点：（1）除了令导数为零，解出相应的根之外，还要注意到导数图象在轴要穿过此零点，否则不算极值点；（2）另外导数在其零点附近左正右负，该点为极大值点；左负右正，该点为极小值点。12已知直线与椭圆切于点，与圆交于点，圆在点处的切线交于点，为坐标原点，则的面积的最大值为（ ）AB2CD1【答案】A【解析】设点，利用四点，共圆，求得以为直径的圆，与已知圆的方

10、程相减得出直线的方程，直线与过点的椭圆的切线重合，两个方程相等，可得,，再由椭圆的参数方程和向量数量积的坐标表示和向量的模，结合三角形的面积公式和三角恒等变换以及三角函数的基本性质求出所求的最大值【详解】设，由，可得四点，共圆，可得以为直径的圆，方程为，联立圆，相减可得的方程为，又与椭圆相切，可得过的切线方程为，即为，由两直线重合的条件可得，由于在椭圆上，可设，即有，可得，且，即有，当即或或或时，的面积取得最大值故选【点睛】本题考查椭圆和圆的方程的应用，考查直线和椭圆、直线与圆相切的条件，以及运用参数方程和三角恒等变换公式是解题的关键，考查运算求解能力与分析问题的能力，属于难题二、填空题13在

11、平面直角坐标系内，若角的终边经过点，则_【答案】【解析】根据三角函数的定义求出和的值，再利用二倍角的正弦公式可计算出答案【详解】角的终边经过点，则，故答案为【点睛】本题考查任意角三角函数的定义以及二倍角公式，着重考查学生对于三角函数定义的理解以及三角公式的掌握情况，考查计算能力，属于基础题14在圆上任取一点，则该点到直线的距离不小于的概率为_【答案】【解析】先利用几何法判断出直线与圆相切，然后平移该直线，使得平移后的直线与圆相交于、两点，并使得两直线的距离为，计算出的大小，结合图象知符合题中的点在劣弧，然后计算与周角的比例可得出答案。【详解】如图所示，圆的圆心到直线的距离为1，设所在直线与直线

12、平行，由到的距离为，得，在劣弧上，在圆上任取一点，则该点到直线的距离不小于的概率为故答案为：【点睛】本题考查几何概型、直线与圆的位置关系，对于几何概型的问题，关键是要找出临界区域，本题中抓住点到直线的距离不小于，临界位置就是点到直线的距离等于，可利用平移的方法得到，所以在求几何概型问题的时候，一定要抓住这个“临界位置”去进行分析。15双曲线的左焦点为，过点作斜率为的直线与轴及双曲线的右支分别交于两点，若，则双曲线的离心率为_【答案】【解析】由知为的中点，连接，利用中位线的性质得出，利用直线的斜率得出，可得出，由勾股定理得出，最后利用双曲线的定义得出与的等量关系，从而可求出双曲线离心率的值【详解

13、】设双曲线的右焦点为，连接，可得为的中点，即有轴，由题意可得，即有，可得，由双曲线的定义可得，可得故答案为【点睛】本题考查双曲线的离心率，充分分析焦点三角形的性质、利用三角形中相关定理以及双曲线的定义来解题，是解本题的关键，综合性较强，着重考查学生分析能力和运算求解能力，属于中等题16已知数列中，对任意，成等差数列，公差为，则_【答案】5101【解析】由题意得出，两式相加得，从而得出数列是等差数列，首项为，公差为，然后利用累加法求出，结合题中定义得出，可求出的值。【详解】数列中，对任意，成等差数列，公差为，两式相加得，所以，数列是等差数列，且首项为，公差为，所以，以上等式全部相加得，则，由题中

14、定义可得，则。故答案为：。【点睛】本题考查数列相关项的求解，本题中要充分利用数列的定义，本题中，在定义中，有两个相邻的偶数项，因此，利用累加法求出偶数项是解本题的关键，着重考查学生对数列定义以及数列通项公式求解方法的掌握情况，属于难题。三、解答题17已知锐角中，角，所对的边分别为，（1）求角；（2）若，求边上的高长【答案】（1）；（2）【解析】（1）利用内角和定理以及两角和的正弦公式得，代入题干中的等式，经过化简求出的值，即可得出角的值；（2）设边上的高为，对角使用余弦定理求出，再利用三角形的面积公式得出，即可求出边上的高【详解】（1），（2）由余弦定理可得：，可得：，可得：，由等面积可得：，

15、可得：【点睛】本题考查余弦定理以及三角形的面积公式，在已知等式出出现三个角时，应充分利用内角和定理、诱导公式以及两角和的正弦、余弦公式解题，另外在求高时，应转化为面积问题，考查运算求解能力，属于中等题18中国国际智能产业博览会（智博会）每年在重庆市举办一届，每年参加服务的志愿者分“嘉宾”、“法医”等若干小组2018年底，来自重庆大学、西南大学、重庆医科大学、西南政法大学的500名学生在重庆科技馆多功能厅参加了“志愿者培训”，如图是四所大学参加培训人数的不完整条形统计图，现用分层抽样的方法从中抽出50人作为2019年中国国际智博会服务的志愿者（1）若“嘉宾”小组需要2名志愿者，求这2人分别来自不

16、同大学的概率（结果用分数表示）（2）若法医小组的3名志愿者只能从重庆医科大学或西南政法大学抽出，用5表示抽出志愿者来自重庆医科大学的人数，求的分布列.【答案】（1）（2）见解析【解析】（1）由分层抽样的性质得出重庆大学、西南大学、重庆医科大学、西南政法大学志愿者分别为15，20，10，5人，用减去2人都在同一所大学的概率，即可得出这2人分别来自不同大学的概率；（2）得出的可能取值，并算出对应的概率，即可得出的分布列.【详解】解：（1）2019年中国国际智博会服务的志愿者中重庆医科大学的人数为人则重庆大学、西南大学、重庆医科大学、西南政法大学志愿者分别为15，20，10，5人所以.（2）的可能取

17、值为：0，1，2，3则分布列为：0123P【点睛】本题主要考查了利用古典概型概率公式计算概率以及求超几何分布的分布列，属于中档题.19如图，在四棱锥中，底面是矩形，是的中点，与交于点，平面，（1）求证；平面平面（2）求直线与平面所成角的正弦值【答案】（1）见解析；（2）【解析】（1）以为原点，为轴，为轴，过作平面的垂线为轴，建立空间直角坐标系，利用向量法证明，由平面，得出，结合直线与平面垂直的判定定理证明平面，最后由平面与平面垂直的判定定理证明平面平面；（2）计算出平面的一个法向量，利用向量计算出向量与的夹角的余弦值，取其绝对值作为直线与平面所成角的正弦值【详解】（1）以为原点，为轴，为轴，过

18、作平面的垂线为轴，建立空间直角坐标系，0，0，平面，平面，面，平面，平面平面（2）以为原点，分别为，轴，建立空间直角坐标系，0，设平面的法向量，则，取，得，设直线与平面所成角为，则直线与平面所成角的正弦值为【点睛】本题考查平面与平面垂直的判定、以及利用空间向量求解直线与平面所成的角，利用空间向量解决空间中线面关系、面面关系的证明以及空间角与距离的计算，关键就是要找准合适的位置建立空间直角坐标系，并列出相关点的坐标，通过向量建立数与形之间的关系20已知点在椭圆上，过点作轴于点（1）求线段的中点的轨迹的方程（2）设、两点在（1）中轨迹上，点，两直线与的斜率之积为，且（1）中轨迹上存在点满足，当面积

19、最小时，求直线的方程【答案】（1）；（2）【解析】（1）设线段的中点为，得出点的坐标为，然后代入椭圆方程并化简后得出所求轨迹方程；（2）设直线的方程为，设点、，将直线的方程与椭圆联立，消去，并列出韦达定理，利用直线和的斜率之积得出，可得出，由知，于是得出直线的方程为，将该直线与椭圆方程联立并结合两点间的距离公式得出，最后利用三角形的面积公式以及基本不等式求出面积的最小值，利用基本不等式等号成立的条件求出的值，即可求出直线的方程。【详解】（1）设线段的中点为，则，即；（2）设直线，联立，得，得到则为，解得，同理，当，即时，有最小值为此时直线的方程为【点睛】本题考查轨迹方程的求解、直线与椭圆的综合

20、问题，求解直线与圆锥曲线的综合问题，联立与韦达定理法是常见解法，弄清楚这种方法的应用情形，另外在求最值时，常用基本不等式法，此外，二次函数法、单调性法以及三角换元法等都是常用方法。21已知，函数有两个不同的极值点，（1）求的取值范围；（2）证明：【答案】（1）；（2）见解析【解析】（1）求函数的定义域，以及导数，将问题转化为导数方程，转化为二次方程在上有两个不等的实根，再分析、对称轴以及二次函数在处函数值的正负，列出有关的不等式组解出即可；（2）由、为二次方程的两根，列出韦达定理，再将韦达定理代入代数式，经过化简得出关于的函数，并令，转化为关于的函数，再利用导数结合单调性证明结论成立【详解】（

21、1），函数 定义域：，函数有两个不同的极值点，对于中的应满足三个条件：，由可得的取值范围：，（2）证明：，得：，令，则，将其令为即：，则有：，在定义域是单调递减的函数，（4），在定义域也是单调递减的函数，（4）即：得证【点睛】本题考查导数与函数的极值，本题的关键在于根据极值点与二次方程根据系数的关系，结合韦达定理代入将所求代数式转化为有关参数的函数，借助导数来证明，考查分析问题以及运算求解能力，属于难题22在直角坐标系中，曲线的参数方程为为参数且，曲线的参数方程为为参数），以为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为（1）求的普通方程及的直角坐标方程；（2）若曲线与曲线分别交于点，求的最大值【答案】（1）：，：；（2）【解析】（1