考研数学二历年真题详解2003-2012

1、2012年全国硕士研究生入学一致考试数学二试题一、选择题:1-8小题,每题4分,共32分.以下每题给出的四个选项中,只有一个选项吻合题目要求的,请将所选项前的字母填在答题纸指定地址上.(1)曲线yx2x的渐近线条数()x21(A)0(B)1(C)2(D)3(2)设函数f(x)(ex1)(e2x2)L(enxn)，此中n为正整数,则f(0)()(A)(1)n1(n1)!(B)(1)n(n1)!(C)(1)n1n!(D)(1)nn!(3)设an0(n1,2,3L),Sna1a2a3Lan，则数列Sn有界是数列an收敛的()(A)充分必需条件(B)充分非必需条件(C)必需非充分条件(D)非充分也非必

2、需(4)设Ikkex2sinxdx,(k1,2,3),则有0()(A)I1I2I3(B)I3I2I1(C)I2I3I1(D)I2I1I3(5)设函数f(x,y）为可微函数，且对任意的x,y都有(x,y)0,(x,y)0,则使不等式xyf(x1,y1)f(x2,y2)建立的一个充分条件是()(A)x1x2,y1y2(B)x1x2,y1y2(C)x1x2,y1y2(D)x1x2,y1y2(6)设地域D由曲线ysinx,x,y1围成，则(x5y1)dxdy2D()(A)(B)2(C)-2(D)-0011(7)设0,1,1,1,此中c1,c2,c3,c4为任意常数，则以下向量组1234c1c2c3c4

3、线性相关的为()(A)1,2,3(B)1,2,4(C)1,3,4(D)2,3,4100(8)设A为3阶矩阵，P为3阶可逆矩阵，且P1AP010.若P1,2,3，002Q12,2,3则Q1AQ()100100200200(A)020(B)010(C)010(D)020001002002001二、填空题：9-14小题,每题4分,共24分.请将答案写在答题纸指定地址上.(9)设yy(x)是由方程x2y1ey所确立的隐函数，则d2yx0.dx2(10)limn11L122222n1n2nnn.(11)设zflnx1,此中函数fu可微，则xzy2z.yxy(12)微分方程ydxx3y2dy0满足条件yx

4、11的解为y.(13)曲线yx2xx0上曲率为2的点的坐标是.2(14)设A为3阶矩阵，A=3，A*为A陪伴矩阵，若交换A的第1行与第2行得矩阵B，则BA*.三、解答题：15-23小题,共94分.请将解答写在答题纸指定地址上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.(15)(此题满分10分)已知函数f1x1limfx，x，记asinxxx0(I)求a的值;(II)若x0时，fxa与xk是同阶无量小，求常数k的值.(16)(此题满分10分)x2y2求函数fx,yxe2的极值.(17)(此题满分12分)过(0,1)点作曲线L:ylnx的切线,切点为A,又L与x轴交于B点,地域D由L与直线AB围成,

5、求地域D的面积及D绕x轴旋转一周所得旋转体的体积.(18)(此题满分10分)计算二重积分xyd，此中地域D为曲线r1cos0与极轴围成.D(19)(此题满分10分)已知函数f(x)满足方程f(x)f(x)2f(x)0及f(x)f(x)2ex,(I)求f(x)的表达式;(II)求曲线yf(x2)xt2)dt的拐点.f(0(20)(此题满分10分)证明xln1xcosx1x2,(1x1).1x2(21)(此题满分10分)(I)证明方程xn+xn-1Lx1n1的整数，在区间1,1内有且仅有一个实根；2(II)记(I)中的实根为xn，证明limxn存在，并求此极限.n(22)(此题满分11分)1a00

6、1设A01a0，1001a0a0010计算行列式A；(II)当实数a为什么值时，方程组Ax有无量多解，并求其通解.(23)(此题满分11分)101已知A011x1,x2,x3xTATAx的秩为10，二次型f2，a0a1务实数a的值；求正交变换xQy将f化为标准形.2011年全国硕士研究生入学一致考试数学二试题一、选择题：18小题，每题4分，共32分。以下每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸指定地址上。（1）已知当x0时，函数f(x)3sinxsin3x与cxk是等价无量小，则（）（A）k1,c4（B）k1,c4（C）k3,c4（D）k3,c4（2）设

7、函数f(x)在x0处可导，且f(0)0，则limx2f(x)32f(x3)（）x0 x（A）2f(0)（B）f(0)（C）f(0)（D）0（3）函数f(x)ln(x1)(x2)(x3)的驻点个数为（）（A）0（B）1（C）2（D）3（4）微分方程y2yexex(0)的特解形式为（）（A）a(exex)（B）ax(exex)（C）x(aexbex)（D）x2(aexbex)（5）设函数f(x)，g(x)均有二阶连续导数，满足f(0)0，g(0)0，f(0)g(0)0则函数zf(x)g(y)在点(0,0)处获得极小值的一个充分条件是（）（A）f(0)0，g(0)0（B）f(0)0，g(0)0（C）

8、f(0)0，g(0)0（D）f(0)0，g(0)0（6）设I4lnsinxdx，J4lncotxdx，K4lncosxdx，则I，J，K的大小关系为（）000（A）IJK（B）IKJ（C）JIK（D）KJI（7）设A为3阶矩阵，将A的第2列加到第1列得矩阵B，再交换B的第2行与第3行得单位矩100100阵。记P110，P001，则A=（）12001010（A）P1P2（B）P11P2（C）P2P1（D）P2P11（8）设A(1,2,3,4)是4阶矩阵，A*为A的陪伴矩阵。若(1,0,1,0)T是方程组Ax0的一个基础解系，则A*x0的基础解系可为（）（A）1,3（B）1,2（C）1,2,3（D

9、）2,3,4二、填空题：914小题，每题4分，共24分。请将答案写在答题纸指定地址上。x1x12。（9）lim2x0（10）微分方程yyexcosx满足条件y(0)0的解为y。（11）曲线yxtantdt(0 x)的弧长s0。4（12）设函数f(x)ekx,x0,0，则xf(x)dx。0,x0,（13）设平面地域D由直线yx，圆x2y22y及y轴所围成，则二重积分xyd。D（14）二次型f(x1,x2,x3)x123x22x322x1x22x1x32x2x3，则f的正惯性指数为。三、解答题：1523小题，共94分。请将解答写在答题纸指定地址上，解答应字说明、证明过程或演算步骤。（15）（此题满

10、分10分）xt2)dtln(1已知函数F(x)0，设limF(x)limF(x)0，试求的取值范围。xxx0（16）（此题满分11分）x1t3t1,设函数yy(x)由参数方程33确立，求yy(x)的极值和曲线yy(x)的11yt3t33凹凸区间及拐点。（17）（此题满分9分）设函数zf(xy,yg(x)，此中函数f拥有二阶连续偏导数，函数g(x)可导且在x1处取得极值g(1)1，求2z。yx1,y1（18）（此题满分10分）设函数y(x)拥有二阶导数，且曲线l:yy(x)与直线yx相切于原点，记为曲线l在点(x,y)处切线的倾角，若ddy，求y(x)的表达式。dxdx（19）（此题满分10分）

11、（I）证明：对任意的正整数n，都有1ln111建立。n1nn（II）设an111,2,)，证明数列an收敛。1lnn(nn20）（此题满分11分）一容器的内侧是由图中曲线绕y轴旋转一周而成的曲面，该曲线由x2y22y(y1)与2x2y21(y1)连接而成。2I）求容器的容积；II）若将容器内盛满的水沉着器顶部所有抽出，最少需要做多少功？（长度单位：m，重力加速度为gms2，水的密度为103kgm3）（21）（此题满分11分）已知函数f(x,y)拥有二阶连续偏导数，且f(1,y)0，f(x,1)0，f(x,y)dxdya，D此中D(x,y)0 x1,0y1，计算二重积分Ixyfxy(x,y)dx

12、dy。D（22）（此题满分11分）设向量组1(1,0,1)T，2(0,1,1)T，3(1,3,5)T不可以由向量组1(1,1,1)T，2(1,2,3)T，3(3,4,a)T线性表示。（I）求a的值；（II）将1,2,3用1,2,3线性表示。（23）（此题满分11分）1111设A为3阶实对称矩阵，A的秩为2，且A0000。1111I）求A的所有的特色值与特色向量；II）求矩阵A。2010年全国硕士研究生入学一致考试数学二试题一选择题(1)函数f(x)x2x1x21x2的无量中断点的个数为1A0B1C2D32.设y1,y2是一阶线性非齐次微分方程yp(x)yq(x)的两个特解，若常数,使y1y2是

13、该方程的解，y1y2是该方程对应的齐次方程的解，则A1,1B1,12222C2,1D2,23333(1)曲线yx2与曲线yalnx(a0)相切，则aA4eB3eC2eDe4.设m,n为正整数,则失常积分1mln2(1x)0nxdx的收敛性A仅与m取值相关B仅与n取值相关C与m,n取值都相关D与m,n取值都没关5.设函数zz(x,y)由方程F(y,z)0确立,此中F为可微函数,且F20,则xzyz=xxxyAxBzCxDznnn6.(4)lim2=2xj)i1j1(ni)(n1x1dy1x1dyAdxx)(12)Bdx(1x)(1y)00(1y00111dy111dyCdxx)(1y)Ddxx)

14、(1200(100(1y)7.设向量组I:1,2,，r可由向量组II：1，2，s线性表示，以下命题正确的选项是：A若向量组I线性没关，则rsC若向量组II线性没关，则rsB若向量组I线性相关，则rsD若向量组II线性相关，则rs1(A)设A为4阶对称矩阵,且A2A0,若A的秩为3,则A相像于A1B101111C1D1111000二填空题9.3阶常系数线性齐次微分方程y2yy2y0的通解y=_2x3的渐近线方程为_10.曲线yx2111.函数yln(12x)在x0处的n阶导数y(n)(0)_当0时，对数螺线re的弧长为_13.已知一个长方形的长l以2cm/s的速率增添，宽w以3cm/s的速率增添

15、，则当l=12cm,w=5cm时，它的对角线增添的速率为_14.设A，B为3阶矩阵，且A3,B2,A1B2,则AB1_三解答题15.求函数f(x)x2(x2t)et2dt的单一区间与极值。116.(1)比较1lntln(1t)ndt与1tnlntdt(n1,2,)的大小,说明原由.L00(2)记un1lntln(1t)ndt(n1,2,L),求极限limun.0 x设函数y=f(x)由参数方程17.t2,x2t(t1)所确立，此中(t)拥有阶导数，且5，y(t),2(1)2(1)，已知d2y3,求函数。6dx24(1(t)t)18.一个高为l的柱体形贮油罐，底面是长轴为2a,短轴为2b的椭圆。

16、现将贮油罐平放，当油罐中油3b面高度为2时，计算油的质量。kg/m3（长度单位为m，质量单位为kg，油的密度为）19.设函数uf(x,y)拥有二阶连续偏导数，2u2u52u0.且满足等式4212y2xxy确立a,b的值，使等式在变换xay,xby下简化2u0计算二重积分Ir2sin1r2cos2drd,此中D(r,)0rsec,0.20.D4121.设函数f(x)在闭区间0,1上连续，在开区间(0,1)内可导，且f(0)=0,f(1)=3,证明：存在(0,1),(1,1),使得f()f()22.2222.11a设A010,b已知线性方程组Axb存在2个不一样的解。1.111（）求、a.23.设

17、1(2)求方程组Axb的通解。0141A13a，正交矩阵Q使得QTAQ为对角矩阵，若Q的第一列为(1,2,1)T，求a、Q.4a062009年全国硕士研究生入学一致考试数学二试题一、选择题：18小题，每题4分，共32分，以下每题给出的四个选项中，只有一项吻合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内.（1）函数fxxx3的可去中断点的个数，则（）sinnxA1.B2.C3.D无量多个.（2）当x0时，fxxsinax与gxx2ln1bx是等价无量小，则（）Aa1,b1Ba1,b1Ca1,b1Da1,b1.6666（3）设函数zfx,y的全微分为dzxdxydy，则点0,0（）A不是fx,y的连

18、续点.B不是fx,y的极值点.C是fx,y的极大值点.D是fx,y的极小值点.（4）设函数fx,y2dx2x,ydy24y连续，则f1dyfx,ydx（）1xyA24xx,ydy.B24xfx,ydy.dx1f1dx1xC24y22x,ydxdy1fx,ydx.D.dyf11y（5）若fx不变号，且曲线yfx在点1,1上的曲率圆为x2y22，则fx在区间1,2内（）A有极值点，无零点.BC有极值点，有零点.D（6）设函数yfx在区间1,3无极值点，有零点.无极值点，无零点.上的图形为：f(x)O-2023x1-1则函数Fxxftdt的图形为（）0f(x)f(x)11-2023x-2023x11

19、A.-1B.-1f(x)f(x)1-1023x1.1-2023x1-1.（7）设A、B均为2阶矩阵，A*，B*分别为A、B的陪伴矩阵。若A=2，B=3，则分块矩阵0A）B的陪伴矩阵为（0AC03B*.B2A*003A*.D2B*002B*.*03A02A*.03B*100（8）设A，P均为3阶矩阵，PT为P的转置矩阵，且PTAP=010，若002（，），Q=（1+，），则QTAQ为（）P=123223AC.210110B002200010D002.110120002100020002二、填空题：9-14小题，每题4分，共24分，请将答案写在答题纸指定地址上.1-t2（0，0）（9）曲线x=0d

20、ueu在处的切线方程为yt2ln(2t2)（10）已知+ekxdx1,则k（11）lim1xsinnxdxen0（12）设yy(x)是由方程xyeyd2y=x1确立的隐函数，则2x=0dx（13）函数yx2x在区间01，上的最小值为200(14)设，为3维列向量，T为的转置，若矩阵T相像于000，则T=000三、解答题：1523小题，共94分.请将解答写在答题纸指定的地址上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.（15）（此题满分9分）求极限lim1cosxxln(1tanx)sin4xx0（16）（此题满分10分）计算不定积分ln(11x)dx(x0)x（17）（此题满分10分）设zfxy

21、,xy,xy，此中f拥有2阶连续偏导数，求2zdz与xy（18）（此题满分10分）设非负函数yyxx0满足微分方程xyy20，当曲线yyx过原点时，其与直线x1及y0围成平面地域D的面积为2，求D绕y轴旋转所得旋转体体积。（19）（此题满分10分）求二重积分xydxdy，D222,yx此中Dx,yx1y1（20）（此题满分12分）设yy(x)是区间（-，）内过（-，）的圆滑曲线，当-x0时，曲线上任一点处的法22线都过原点，当0 x时，函数y(x)满足yyx0。求y(x)的表达式（21）（此题满分11分）（）证明拉格朗日中值定理：若函数fx在a,b上连续，在a,b可导，则存在a,b使得fbfa

22、fba（）证明：若函数fx在x0处连续，在0,0可导，且limfxA，则f0存在，且f0A。x0，内1111（22）（此题满分11分）设A111，110422（）求满足A21,A231的所有向量2,3（）对（）中的任一直量2,3，证明：1,2,3线性没关。（23）（此题满分11分）设二次型fx1,x2,x3ax12ax22a1x322x1x32x2x3（）求二次型f的矩阵的所有特色值；（）若二次型f的规范形为y12y22，求a的值。2008年全国硕士研究生入学一致考试数学二试题一、选择题：18小题，每题4分，共32分，以下每题给出的四个选项中，只有一项吻合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括

23、号内.（1）设f(x)x2(x1)(x2)，则f(x)的零点个数为（）A0B1.C2D3（2）曲线方程为yf(x)函数在区间0,a上有连续导数，则定积分aaft(x)dx（）0A曲边梯形ABOD面积.梯形ABOD面积.曲边三角形ACD面积.三角形ACD面积.（3）在以下微分方程中，以yC1exC2cos2xC3sin2x（C1,C2,C3为任意常数）为通解的是（）Ayy4y4y0Byy4y4y0Cyy4y4y0Dyy4y4y0（5）设函数f(x)在(,)内单一有界，xn为数列，以下命题正确的选项是（）A若xn收敛，则f(xn)收敛.B若xn单一，则f(xn)收敛.C若f(xn)收敛，则xn收敛

24、.D若f(xn)单一，则xn收敛.f(x2y2)dxdy，此中地域F（6）设函数f连续，若F(u,v)y2Duv为图中暗影部分，则Duvx2uAvf(u2)Bvf(u2)uCvf(u)Dvf(u)u（7）设A为n阶非零矩阵，E为n阶单位矩阵.若A30，则（）AEA不行逆，EA不行逆.BEA不行逆，EA可逆.CEA可逆，EA可逆.DEA可逆，EA不行逆.12A合同的矩阵为（8）设A1，则在实数域上与）221.B21A212.12112.C.D1122二、填空题：9-14小题，每题4分，共24分，请将答案写在答题纸指定地址上.（9）已知函数f(x)连续，且lim1cosxf(x)1，则f(0)_.

25、21)f(x)x0(ex（10）微分方程(yx2ex)dxxdy0的通解是y_.（11）曲线sinxylnyxx在点0,1处的切线方程为.2（12）曲线y(x5)x3的拐点坐标为_.y（13）设zxxyz_，则(1,2).x（14）设3阶矩阵A的特色值为2,3,.若行列式2A48，则_.三、解答题：1523题，共94分.请将解答写在答题纸指定地址上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.sinxsinsinxsinx(15)（此题满分9分）求极限limx4.x0(16)（此题满分10分）xx(t)dxx0设函数yy(x)由参数方程2tet2ln(1确立，此中x(t)是初值问题dt的y0u)d

26、uxt002y解.求2.x(17)（此题满分1xarcsinx9分）求积分dx.01x2(18)（此题满分11分）求二重积分max(,1),此中D(x,y)0 x2,0y2xydxdyD(19)（此题满分11分）设f(x)是区间0,上拥有连续导数的单一增添函数，且f(0)1.对任意的t0,，直线x0,xt，曲线yf(x)以及x轴所围成的曲边梯形绕x轴旋转一周生成一旋转体.若该旋转体的侧面积在数值上等于其体积的2倍，求函数f(x)的表达式.(20)（此题满分11分）(1)证明积分中值定理：若函数f(x)在闭区间a,b上连续，则最少存在一点a,b，使得b(x)拥有二阶导数，且满足(2)(1),(2

27、)3(x)dx，证f(x)dxf()(ba)(2)若函数2a明最少存在一点(1,3),使得()0（21）（此题满分11分）求函数ux2y2z2在拘束条件zx2y2和xyz4下的最大值与最小值.（22）（此题满分12分）2a1a22aO设矩阵AOO12a2aB1,0,L,0，A满足方程AXB，此中XT，现矩阵x1,L,xn，nn（1）求证An1an；（2）a为什么值，方程组有独一解，并求x1；（3）a为什么值，方程组有无量多解，并求通解.（23）（此题满分10分）设A为3阶矩阵，1,2为A的分别属于特色值1,1特色向量，向量3满足A323，（1）证明1,2,3线性没关；（2）令P1,2,3，求P

28、1AP.2007年全国硕士研究生入学一致考试数学二试题一、选择题：110小题，每题4分，共40分.在每题给出的四个选项中，只有一项吻合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内.（1）当x0时，与x等价的无量小量是（A）1ex（B）ln1x（C）1x1（D）1cosx1x（2）函数f(x)(exe)tanx在,上的第一类中断点是x1xexe（A）0（B）1（C）（D）22（3）如图，连续函数yf(x)在区间3,2,2,3上的图形分别是直径为1的上、下半圆周，在区间2,0,0,2xf(t)dt，则以下结论正的图形分别是直径为2的下、上半圆周，设F(x)0确的是：（A）F(3)3F(2)(B)F(

29、3)5F(2)44（C）F(3)3F(2)（D）F(3)5F(2)44（4）设函数f(x)在x0处连续，以下命题错误的选项是：A）若limf(x)0 xC）若limf(x)0 x存在，则f(0)0（B）若limf(x)f(x)x0 x存在，则f(0)0（D）若limf(x)f(x)x0 x存在，则f(0)0.存在，则f(0)0.（5）曲线y1ln1ex的渐近线的条数为x（A）0.（B）1.（C）2.（D）3.（6）设函数f(x)在(0,)上拥有二阶导数，且f(x)0，令unf(n)，则以下结论正确的选项是：(A)若u1u2，则un必收敛.(B)若u1u2，则un必发散(C)若u1u2，则un必

30、收敛.(D)若u1u2，则un必发散.（7）二元函数f(x,y)在点0,0处可微的一个充要条件是（A）limf(x,y)f(0,0)0.(x,y)0,0（B）limf(x,0)f(0,0)0,且limf(0,y)f(0,0)0.x0 xy0y（C）limf(x,y)f(0,0)0.0,022(x,y)xy（D）limfx(x,0)fx(0,0)0,且limfy(0,y)fy(0,0)0.x0y0（8）设函数f(x,y)连续，则二次积分dx1f(x,y)dy等于2sinx1dyf(x,y)dx1f(x,y)dx（A）（B）dy0arcsiny0arcsiny1dyarcsinyf(x,y)dx（

31、D）1arcsiny（C）dyf(x,y)dx0202（9）设向量组1,2,3线性没关，则以下向量组线性相关的是线性相关，则(A)12,23,31(B)12,23,31(C)122,223,321.(D)122,223,321.211100（10）设矩阵A121,B010，则A与B112000(A)合同且相像（B）合同，但不相像.(C)不合同，但相像.(D)既不合同也不相像二、填空题：1116小题，每题4分，共24分.把答案填在题中横线上.（11）limarctanxsinx_.x3x0（12）曲线xcostcos2t上对应于t4的点处的法线斜率为_.y1sint（13）设函数y13，则y(n

32、)(0)_.2x（14）二阶常系数非齐次微分方程y4y3y2e2x的通解为y_.（15）设f(u,v)是二元可微函数，zfy,x，则xzyz_.xyxy0100（16）设矩阵A0010.000，则A3的秩为10000三、解答题：1724小题，共86分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.（17）(此题满分10分)设f(x)是区间0,上单一、可导的函数，且满足4f(x)1(t)dtxtcostsint，此中f1是f的反函数，求f(x).fsintdt00cost（18）（此题满分11分）x设D是位于曲线yxa2a(a1,0 x)下方、x轴上方的无界地域.（）求地域D绕x轴旋转一周所成旋转体的

33、体积V(a)；（）当a为什么值时，V(a)最小？并求此最小值.（19）（此题满分10分）求微分方程y(xy2)y满足初始条件y(1)y(1)1的特解.（20）（此题满分11分）已知函数f(u)拥有二阶导数，且f(0)1，函数yy(x)由方程yxey11所确立，设zflnysinx，求dzx0,d2zx0.dxdx2（21）(此题满分11分)设函数f(x),g(x)在a,b上连续，在(a,b)内拥有二阶导数且存在相等的最大值，f(a)g(a),f(b)g(b)，证明：存在(a,b)，使得f()g().x2,|x|y|1（22）(此题满分11分)设二元函数f(x,y)11|x|y|，计算二重积分x

34、2,2y2f(x,y)d，此中Dx,y|x|y|2.D23）(此题满分11分)x1x2x30设线性方程组x12x2ax30与方程x12x2x3a1有公共解，求a的值及所有公共x14x2a2x30.24）(此题满分11分)设三阶对称矩阵A的特色向量值11,22,32，1(1,1,1)T是A的属于1的一个特色向量，记BA54A3E，此中E为3阶单位矩阵.I）考据1是矩阵B的特色向量，并求B的所有特色值与特色向量；II）求矩阵B.2006年全国硕士研究生入学一致考试数学二试题一、填空题：16小题，每题4分，共24分.把答案填在题中横线上.x4sinx（1）曲线y的水平渐近线方程为5x2cosx12x

35、（2）设函数f(x)3sintdt,x00处连续，则a.x0在xa,x0（3）广义积分xdx.0(1x2)2（4）微分方程y(1x)y的通解是x（5）设函数yy(x)由方程y1xey确立，则dyx0dx（6）设矩阵A21B满足BAB2E，则1，E为2阶单位矩阵，矩阵2B.二、选择题：714小题，每题4分，共32分.每题给出的四个选项中，只有一项吻合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内.（7）设函数yf(x)拥有二阶导数，且f(x)0,f(x)0，x为自变量x在点x0处的增量，y与dy分别为f(x)在点x0处对应的增量与微分，若x0，则(A)0dyy.(B)0ydy.(C)ydy0.(D)

36、dyy0.（8）设f(x)是奇函数，除x0外到处连续，x0是其第一类中断点，则xf(t)dt是0（A）连续的奇函数.（B）连续的偶函数（C）在x0中断的奇函数（D）在x0中断的偶函数.（9）设函数g(x)可微，h(x)e1g(x),h(1)1,g(1)2，则g(1)等于（A）ln31.（B）ln31.（C）ln21.（D）ln21.（10）函数yC1exC2e2xxex满足的一个微分方程是（A）yy2y3xex.（B）（C）yy2y3xex.（D）yy2y3ex.yy2y3ex.（11）设f(x,y)为连续函数，则4d1f(rcos,rsin)rdr等于0021x221x2（）2dxf(x,y

37、)dy.（B）2dxf(x,y)dy.0 x0021y221y2f(x,y)dx.(D)(C)2dyy2dyf(x,y)dx.000（12）设f(x,y)与(x,y)均为可微函数，且y(x,y)0，已知(x0,y0)是f(x,y)在拘束条件(x,y)0下的一个极值点，以下选项正确的选项是(A)若fx(x0,y0)0，则fy(x0,y0)0.(B)若fx(x0,y0)0，则fy(x0,y0)0.(C)若fx(x0,y0)0，则fy(x0,y0)0.(D)若fx(x0,y0)0，则fy(x0,y0)0.（13）设1,2,L,s均为n维列向量，A为mn矩阵，以下选项正确的选项是(B)若1,2,L,s

38、线性相关，则A1,A2,L,As线性相关.(C)若1,2,L,s线性相关，则A1,A2,L,As线性没关.(C)若1,2,L,s线性没关，则A1,A2,L,As线性相关.(D)若1,2,L,s线性没关，则A1,A2,L,As线性没关.（14）设A为3阶矩阵，将A的第2行加到第1行得B，再将B的第1列的1倍加到第2列得C，110记P010，则001（）CP1AP.（）（）CPTAP.（）CPAP1.CPAPT.三、解答题：1523小题，共94分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.（15）（此题满分10分）试确立A,B,C的值，使得ex(1BxCx2)1Axo(x3)，此中o(x3)是当x0

39、时比x3高阶的无量小.xarcsine（16）（此题满分10分）求dx.（17）（此题满分10分）设地域D(x,y)x2y21,x0，计算二重积分12xy2dxdy.D1xy（18）（此题满分12分）设数列xn满足0 x1,xn1sinxn(n1,2,L)1xnx2（）证明limxn存在，并求该极限；（）计算lim1n.nnxn（19）（此题满分10分）证明：当0ab时，bsinb2cosbbasina2cosaa.（20）（此题满分12分）设函数f(u)在(0,)内拥有二阶导数，且222z2z0.zfxy满足等式x2y2（I）考据ff(u)(u)0；u（II）若f(1)0,f(1)1，求函数

40、f(u)的表达式.（21）（此题满分12分）xt21,(t0)（I）谈论L的凹凸性；（II）过点(1,0)引L的切线，已知曲线L的方程4tt2y求切点(x0,y0)，并写出切线的方程；（III）求此切线与L（对应于xx0的部分）及x轴所围成的平面图形的面积.22）（此题满分9分）已知非齐次线性方程组x1x2x3x414x13x25x3x41有3个线性没关的解.（）证明方程组系数矩阵A的秩ax1x23x3bx41rA2；（）求a,b的值及方程组的通解.（23）（此题满分9分）设3阶实对称矩阵A的各行元素之和均为3,向量TT11,2,1,20,1,1是线性方程组Ax0的两个解.()求A的特色值与特

41、色向量；()求正交矩阵Q和对角矩阵,使得QTAQ.2005年全国硕士研究生入学一致考试数学二试题二、填空题（此题共6小题，每题4分，满分24分.把答案填在题中横线上）（1）设y(1sinx)x，则dy=.x3（2）曲线y(1x)2.的斜渐近线方程为x1xdx.（3）x2)1x20(2（4）微分方程xy2yxlnx满足y(1)1.的解为9（5）当x0时，(x)kx2与(x)1xarcsinxcosx是等价无量小，则k=.（6）设1,2,3均为3维列向量，记矩阵A(1,2,3)，B(123,12243,13293)，假如A1，那么B.二、选择题（此题共8小题，每题4分，满分32分.每题给出的四个选

42、项中，只有一项吻合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内）（7）设函数f(x)limn1x3n，则f(x)在(,)内n(A)到处可导.(B)恰有一个不行导点.(C)恰有两个不行导点.(D)最罕有三个不行导点.（8）设F(x)是连续函数f(x)的一个原函数，MN表示“M的充分必需条件是N”，则必有(A)F(x)是偶函数f(x)是奇函数.（B）F(x)是奇函数f(x)是偶函数.F(x)是周期函数f(x)是周期函数.(D)F(x)是单一函数f(x)是单一函数.（9）设函数y=y(x)由参数方程xt22t,y=y(x)在x=3处的法线与x轴交点的横yln(1确立，则曲线t)坐标是(A)1ln23.

43、(B)1ln23.88(C)8ln23.(D)8ln23.（10）设地域D(x,y)x2y24,x0,y0，f(x)为D上的正当连续函数，a,b为常数，则af(x)bf(y)dDf(x)f(y)(A)ab.(B)ab.(C)(ab).(D)ab.22（11）设函数u(x,y)(xy)(xxy(t)dt,y)y此中函数拥有二阶导数，拥有一阶x导数，则必有2u2u2u2u(A)x2y2.（B）x2y2.2u2u2u2u(C)xyy2.(D)xyx2.1（12）设函数f(x),则xex11x=0,x=1都是f(x)的第一类中断点.（B）x=0,x=1都是f(x)的第二类中断点.(C)x=0是f(x)

44、的第一类中断点，x=1是f(x)的第二类中断点.(D)x=0是f(x)的第二类中断点，x=1是f(x)的第一类中断点.（13）设1,2是矩阵A的两个不一样的特色值，对应的特色向量分别为1,2，则1，A(12)线性没关的充分必需条件是(A)10.(B)20.(C)10.(D)20.（14）设A为n（n2）阶可逆矩阵，交换A的第1行与第2行得矩阵B,A*,B*分别为A,B的陪伴矩阵，则(D)交换A*的第1列与第2列得B*.(B)交换A*的第1行与第2行得B*.(C)交换A*的第1列与第2列得B*.(D)交换A*的第1行与第2行得B*.三、解答题（此题共9小题，满分94分.解答应写出文字说明、证明过

45、程或演算步骤.）（15）（此题满分11分）设函数f(x)连续，且f(0)0，求极限x(xt)f(t)dtlim0 x.x0f(xt)dtx0（16）（此题满分11分）如图，C1和C2分别是y1(1ex)和yex的图象，过点(0,1)的曲2线C3是一单一增函数的图象.过C2上任一点M(x,y)分别作垂直于x轴和y轴的直线lx和ly.记C1,C2与lx所围图形的面积为S1(x)；C2,C3与ly所围图形的面积为S2(y).假如总有S1(x)S2(y)，求曲线C3的方程x(y).（17）（此题满分11分）如图，曲线C的方程为y=f(x)，点(3,2)是它的一个拐点，直线l1与l2分别是曲线C在点(0

46、,0)与(3,2)处的切线，其交点为(2,4).设函数f(x)拥有32x)f(x)dx.三阶连续导数，计算定积分(x0（18）（此题满分12分）用变量代换xcost(0t)化简微分方程(1x2)yxyy0，并求其满足y1,y2的特解.x0 x0（19）（此题满分12分）已知函数f(x)在0，1上连续，在(0,1)内可导，且f(0)=0,f(1)=1.证明：（I）存在(0,1),使得f()1；（II）存在两个不一样的点,(0,1)，使得f()f()1.（20）（此题满分10分）已知函数z=f(x,y)的全微分dz2xdx2ydy，而且f(1,1,)=2.求f(x,y)在椭圆域D(x,y)x2y2

47、1上的最大值和最小值.4（21）（此题满分9分）计算二重积分x2y2d，此中D(x,y)0 x1,0y1.1D（22）（此题满分9分）确立常数a,使向量组1(1,1,a)T,2(1,a,1)T,3(a,1,1)T可由向量组1(1,1,a)T,2(2,a,4)T,3(2,a,a)T线性表示，但向量组1,2,3不可以由向量组1,2,3线性表示.（23）（此题满分9分）123已知3阶矩阵A的第一行是(a,b,c),a,b,c不全为零，矩阵B246（k为常数），且36kAB=O,求线性方程组Ax=0的通解.2004年考硕数学（二）真题一.填空题（此题共6小题，每题4分，满分24分.把答案填在题中横线上

48、.）（1）设f(x)lim(n1)x,则f(x)的中断点为x.nnx21（2）设函数y(x)由参数方程xt33t1y(x)向上凸的x取值范围为t3确立,则曲线yy3t1_.（3）dx_.1xx21（4）设函数zz(x,y)由方程ze2x3z2y确立,则3zz_.xy（5）微分方程(yx3)dx2xdy0满足yx16的特解为_.5210（6）设矩阵A120,矩阵B满足ABA2BAE,此中A为A的陪伴矩阵,E是001单位矩阵,则B_-.二.选择题（此题共8小题，每题4分，满分32分.每题给出的四个选项中，只有一项吻合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内.）（7）把x0 x2dt,x2x3dt

49、摆列起来,时的无量小量0cost0tantdt,0sint使排在后边的是前一个的高阶无量小,则正确的摆列次序是（A）,.（B）,.（C）,.（D）,.（8）设f(x)x(1x),则（A）x0是f(x)的极值点,但(0,0)不是曲线yf(x)的拐点.（B）x0不是f(x)的极值点,但(0,0)是曲线yf(x)的拐点.（C）x0是f(x)的极值点,且(0,0)是曲线yf(x)的拐点.（D）x0不是f(x)的极值点,(0,0)也不是曲线yf(x)的拐点.（9）limlnn(11)2(12)2L(1n)2等于nnnn22xdx.2（A）1ln（B）21lnxdx.2x)dx.2ln2(1x)dx（C）

50、2ln(1（D）11（10）设函数f(x)连续,且f(0)0,则存在0,使得（A）f(x)在(0,)内单一增添.（B）f(x)在(,0)内单一减小.（C）对任意的x(0,)有f(x)f(0).（D）对任意的x(,0)有f(x)f(0).（11）微分方程yyx21sinx的特解形式可设为（A）yax2bxcx(AsinxBcosx).（B）yx(ax2bxcAsinxBcosx).（C）yax2bxcAsinx.（D）yax2bxcAcosx（12）设函数f(u)连续,地域D(x,y)x2y22y,则f(xy)dxdy等于D（A）1dx1x2f(xy)dy.11x222yy2（B）2dy0f(x

51、y)dx.0（C）0d2sinf(r2sincos)dr.0（D）0d2sinf(r2sincos)rdr0（13）设A是3阶方阵,将A的第1列与第2列交换得B,再把B的第2列加到第3列得C,则满足AQC的可逆矩阵Q为010010（A）100.（B）101.101001010011（C）100.（D）100.01100114）设A,B为满足AB0的任意两个非零矩阵,则必有A）A的列向量组线性相关,B的行向量组线性相关.B）A的列向量组线性相关,B的列向量组线性相关.C）A的行向量组线性相关,B的行向量组线性相关.D）A的行向量组线性相关,B的列向量组线性相关.三.解答题（此题共9小题，满分94

52、分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）（15）（此题满分10分）求极限lim1x2cosx1.x0 x33（16）（此题满分10分）设函数f(x)在（,）上有定义,在区间0,2上,f(x)x(x24),若对任意的x都满足f(x)kf(x2),此中k为常数.()写出f(x)在2,0上的表达式;()问k为什么值时,f(x)在x0处可导.（17）（此题满分11分）设f(x)xsintdt,()证明f(x)是以;()求f(x)的值域.2为周期的周期函数x（18）（此题满分12分）exex0围成一曲边梯形.该曲边梯形绕x轴旋转曲线y与直线x0,xt(t0)及y2一周得一旋转体,其体积为V(t),

53、侧面积为S(t),在xt处的底面积为F(t).()求S(t)的值;()计算极限limS(t).V(t)tF(t)（19）（此题满分12分）设eabe2,证明ln2bln2a42(ba).e（20）（此题满分11分）某种飞机在机场下降时,为了减小滑行距离,在触地的瞬时,飞机尾部张开减速伞,以增大阻力,使飞机迅速减速并停下来.现有一质量为9000kg的飞机,着陆时的水平速度为700km/h.经测试,减速伞打开后,飞机所受的总阻力与飞机的速度成正比(比率系数为k6.0106).问从着陆点算起,飞机滑行的最长距离是多少?注kg表示千克,km/h表示千米/小时.（21（）此题满分10分）设zf(x2y2

54、,exy),此中f拥有连续二阶偏导数,求z,z,2z.xyxy22）（此题满分9分）设有齐次线性方程组(1a)x1x2x3x40,2x1(2a)x22x32x40,3x13x2(3a)x33x40,4x14x24x3(4a)x40,试问a取何值时,该方程组有非零解,并求出其通解.（23）（此题满分9分）123设矩阵143的特色方程有一个二重根,求a的值,并谈论A能否可相像对角化.1a52003年考研数学（二）真题三、填空题（此题共6小题，每题4分，满分24分.把答案填在题中横线上）1（1）若x0时，(1ax2)41与xsinx是等价无量小，则a=.（2）设函数y=f(x)由方程xy2lnxy4

55、所确立，则曲线y=f(x)在点(1,1)处的切线方程是.（3）y2x的麦克劳林公式中xn项的系数是_.（4）设曲线的极坐标方程为ea(a0)，则该曲线上相应于从0变到2的一段弧与极轴所围成的图形的面积为_.（5）设为3维列向量，T是的转置.若T=.T111111，则111101（6）设三阶方阵A,B满足A2BABE，此中E为三阶单位矩阵，若A020，201B_.二、选择题（此题共6小题，每题4分，满分24分.每题给出的四个选项中，只有一项吻合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内）（1）设an,bn,cn均为非负数列，且liman0,limbn1,limcn,则必有nnn(A)anbn对任

56、意n建立.(B)bncn对任意n建立.(C)极限limancn不存在.(D)极限limbncn不存在.nnn（2）设an3n1xn11xndx,则极限limnan等于20n33(A)(1e)21.(B)(1e1)21.33(C)(1e1)21.(D)(1e)21.（3）已知yx是微分方程yy(x)的解，则(x)的表达式为lnxxyy22（A）y2.(B)y2.xx22(C)x2.(D)x2.yy（4）设函数f(x)在(,)内连续，其导函数的图形以以下图，则f(x)有(A)一个极小值点和两个极大值点.(B)两个极小值点和一个极大值点.(C)两个极小值点和两个极大值点.(D)三个极小值点和一个极大

57、值点.yOx（5）设I14tanxdx,I24xdx,则0 x0tanx(A)I1I21.(B)1I1I2.(C)I2I11.(D)1I2I1.（6）设向量组I：1,2,r可由向量组II：1,2,s线性表示，则(A)当rs时，向量组II必线性相关.(B)当rs时，向量组II必线性相关.(C)当rs时，向量组I必线性相关.(D)当rs时，向量组I必线性相关.ln(1ax3)x0,x,f(x)arcsinxx0,三、（此题满分10分）设函数6,eaxx2ax1x0,xsinx4a为什么值时，f(x)在x=0处连续；a为什么值时，x=0是f(x)的可去中断点？、（此题满分9分）x12t2,d2yu.

58、设函数y=y(x)由参数方程12lnte(t1)所确立，求dx2ydux91u五、（此题满分9分）计算不定积分xearctanxdx.3(1x2)2六、（此题满分12分）设函数y=y(x)在(,)内拥有二阶导数，且y0,xx(y)是y=y(x)的反函数.(1)d2x(ydx)30变换为y=y(x)满足的微分方程；试将x=x(y)所满足的微分方程2sinx)(dydy(2)求变换后的微分方程满足初始条件y(0)0,y(0)3的解.2七、（此题满分12分）谈论曲线y4lnxk与y4xln4x的交点个数.八、（此题满分12分）设位于第一象限的曲线y=f(x)过点(2,1)，其上任一点P(x,y)处的

59、法线与y轴的交点为Q，22且线段PQ被x轴均分.求曲线y=f(x)的方程；(3)已知曲线y=sinx在0,上的弧长为l，试用l表示曲线y=f(x)的弧长s.九、（此题满分10分）有一平底容器，其内侧壁是由曲线x(y)(y0)绕y轴旋转而成的旋转曲面（如图），容器的底面圆的半径为2m.依据设计要求，当以33/min的速率向容器内注入液体时，液面的面积将m以m2/min的速率均匀扩大（假设注入液体前，容器内无液体）.(2)依据t时刻液面的面积，写出t与(y)之间的关系式；(3)求曲线x(y)的方程.(注：m表示长度单位米，min表示时间单位分.)十、（此题满分10分）设函数f(x)在闭区间a,b上

60、连续，在开区间(a,b)内可导，且f(x)0.若极限limf(2xa)存在，证明：xaxa(1)在(a,b)内f(x)0;(2)在(a,b)内存在点，使b2a22；bf()f(x)dxa，使f()(b2a2)2b(3)在(a,b)内存在与(2)中相异的点f(x)dx.aa十一、（此题满分10分）220若矩阵A82a相像于对角阵，试确立常数a的值；并求可逆矩阵P使P1AP.006十二、（此题满分8分）已知平面上三条不一样直线的方程分别为l1:ax2by3c0，l2:bx2cy3a0，l3:cx2ay3b0.试证这三条直线交于一点的充分必需条件为abc0.2012年全国硕士研究生入学一致考试数学二