如何进行柯西不等式的教学

1、如何进行柯西不等式的教课柯西不等式是基本而重要的不等式，是推证其余好多不等式的基础，有着广泛的应用，教科书第一介绍二维形式的柯西不等式，再从向量的角度来认识柯西不等式，引入向量形式的柯西不等式，再介绍一般形式的柯西不等式，以及柯西不等式在证明不等式和求某些特别种类的函数极值中的应用.在介绍了二维形式的柯西不等式的基础上，教科书指引学生在平面直角坐标系中，依据两点间的距离公式以及三角形的边长关系，从几何意义上发现二维形式的三角不等式接着借助二维形式的柯西不等式证了然三角不等式，在一般形式的柯西不等式的基础上，教科书安排了个研究栏目，让学生经过研究得出一般形式的三角不等式.由上可见，教材编写者对这

2、部分内容的要求以便让学生在大学学习打下坚固的基础，但这部分教与学的难度是不言而喻的.nnn柯西不等式222是柯西在1931年研究数学分析中的“留数”aibi(aibi)i1i1i1问题时获取的.表面上看，这一不等式其实不难理解，也很简单考据它的正确性，特别是它的二阶形式(a2b2)(c2d2)(acbd)2，几乎是不证自明的.但是，我们能看出这一平凡无奇的不等式成立，是因为早先已经知道两边是什么式子，而最初发现这样的不等关系，则是一个创立的过程，其实不是那么简单的.柯西不等式不失为至善至美的重要不等式,以它的对称友好的构造,简洁明快的解题方法等特色,深受人们的喜欢.并且和物理学中的矢量、高等数

3、学中的内积空间等内在地联系在一起.柯西不等式的几种形式都有较为深刻的背景和广泛的应用，向量形式不但直观地反响了这一不等式的实质，一般形式nnnai2bi2(aibi)2有一个推行形式：i1i1i111(a1pa2panp)p(b1qb2qbnq)qa1b1a2b2anbn.此中111.该不等式称为赫尔德（Holder）不等式，当pq2时，即为pq柯西不等式，是数学分析中最实用的不等式之一.其余，平面三角不等式是柯西不等式的等价形式，它的推行形式nnnxi2yi2(xiyi)2i1i1i1（闵可夫斯基不等式）也是数学分析中的经典不等式.这就是在新课程标准中作为选学内容出现的原由，也是多年数学奥赛

4、的要点内容的原由.但因为中学生的认知水平，要达到标准要求“认识柯西不等式、会求一些特定函数的极值”对好多同学来说是一个难点.那么，如何达到学习目的呢1第一熟习“”的含义有好多同学十分“恼恨”这个符号，总是看不懂，从而就避开这个符号，如93年高考题理科（24）使用了连加号“”，好多考生不懂，其实这个符号在课本多次出现过，因为长远不用，他们忘掉了.这个符号是绝对好用的，并且今后会常常遇到，在大学课本中更是家常便饭，多看几次自然也就习惯了.Ai下方写i1，上方写n，这里i是下标变量，1是i初步的值，n是i停止的值，这nAn.时AiA1A2i12柯西不等式有着丰富的几何背景，可以经过几何解说加深对其实

5、质特征的认识与理解对于一个代数结果作简单的解说，常常需要借助于几何背景，只有人们知道了问题发现的过程，才能理解它的深刻含意.柯西不等式有着丰富的几何背景，运用向量的数目积在不等式和几何之间架起一座桥梁，就可以用几何的背景解说不等式：设a1,a2,an，b1,b2,bn，由，可得nnnai2bi2(aibi)2.i1i1i13认清柯西不等式的构造形式以便发生联想20世纪最伟大的数学家冯诺依曼（Neumann）指出“大多数最好的数学灵感本源于经验”，从形式构造上看，柯西不等式大的一边是两个向量的模的积的形式，小的一边是向量数目积的坐标运算的平方形式，只要简记为“方和积大于积和方”.等号成立条件比较

6、特别，要牢记.其余应注意在这个式子里不要求各项均是正数.有了这一经验，就简单在解题时发生联想.如：例1设a,b,c为正数，求证：a2b2c2abc.bca分析：假如要运用cauchy不等式，就要联想到小的一边是“积和方”形式就自然分析出只要证在不等式两边同乘以abc，即(abc)(a2b2c2)(abc)2，bca而另一边要看作“方和积”，只要变形222222(c)2(a)2(b)2，abcabc，abcbcaabc应用柯西不等式，得(a)2(b)2(c)2(c)2(a)2(b)2(acbacb)2abcabc即a2b2c2abc.bca4含有常数的不等式办理方法在不等式中含有常数n，这个常数

7、一般与cauchy不等式中向量的维数有关，平常把n写成12121212的形式或111的形式,又如：例2证明：a3b3c3d324a6b6c6d6.分析：常数4恰好就是每个括号中加数的个数，此时平常把4写成“12121212”，用柯西不等式：a3b3c3d3212121212a6b6c6d6即可.例3设是实数，对任意实数x,y,z恒有x2y222x4y44成立，试求的取值范围zz分析：与柯西不等式的一般形式比较，“积和方”已经具备，而另一边只要再构造一个“方和积”即可，因为x2y2z2212x4y4z4，1212所以，3.例4求三个实数x,y,z，使得它们同时满足以下方程2x3yz13.4x29

8、y2z22x15y3z82分析：将双方程左右两边分别相加，变形，得2222x3y3z2108由第1个方程变形，得2x3y3z218于是由柯西不等式，得18212x13y31z221212122x2223y3z2182.从而由等号成立的条件可得2x3y3z26，故原方程的解为x3,y1,z4提示：由柯西不等式解方程时必定要注意运用cauchy不等式等号成立的条件.5在应用cauchy不等式求最值时，要擅长构造例5（2001年全国初中联赛题）务实数x、y的值，使得y12xy322xy62达到最小值分析：就需要把y12xy322xy62看作是不等式中向量模的平方，构造另一模的平方，构造的序次为把最繁

9、的式子2xy6对应的坐标为1，考虑xy3乘以2就可以把x抵消，所以2就是xy3对应坐标，最后看12xy62xy3y,所以y1对应的坐标为1，从而就有cauchy不等式：1222y122212xy32xy61y12xy312xy62y1xy32xy621.226例6若5a6b7c4d1,求3a22b25c2d2的最小值,并指出等号成立的条件.分析：因为a,b,c,d各项系数不一样，并且既有1次项，又有2次项，明显要用柯西不等式，因为是求3a22b25c2d2的最小值，必定要把3a22b25c2d2看成“方和积”的一部分，而条件5a6b7c4d是常数，它必定是“积和方”的一部分.并且使用柯西不等式

10、不受-7c这项的影响.使用时，注意写明等号成立条件，检验最小值能否取到.知识小结1二维形式的柯西不等式：若a,b,c,d都是实数，则a2b2c2d2acbd2，当且仅当adbc时，等号成立.2柯西不等式的向量形式：设,是两个向量，则，当且仅当是零向量或存在实数k，使k时，等号成立.3二维形式的三角不等式：设x1,y1,x2,y2R，则x12y12x22y22x1x22y1y22.4.三维形式的柯西不等式：设a1,a2,a3,b1,b2,b3是实数，则a12a22a32b12b22b322a1b1a2b2a3b3当且仅当bi0(i1,2,3)或存在一个数k，使得aikbii1,2,3时等号成立.

11、一般形式的柯西不等式：设a,a,a,a,b,b,b,b是实数，则123n123na12a22an2b12b22bn2a1b1a2b2anbn2.当且仅当bi0(i1,2,n)或存在一个数k，使得aikbii1,2,n时等号成立.应用举例例1已知3x22y26，求证：2xy11.证明：由柯西不等式得2xy23x2y2222y24161111213x2232326所以2xy.11例2设a,b,c,d是4个不全为零的实数，求证：ab2bccd21.a2b2c2d22证明：ab2bccd(abcd)(bcad)(bcad)2abcd2bcad2b2a2c2d22a2c2b2d2a2b2c2d22a2c

12、2b2d2a2b2c2d221a2b2c2d2222所以ab2bccd21.a2b2c2d22例3若3x4y2，试求x2y2的最小值及最小值点.解：由柯西不等式得x2y2324223x4y，得25x2y24，所以x2y24.25当且仅当xy时等号成立，343x4y26x为求最小值点，需解方程组xy25834y25即当x6,y8时，x2y2的最小值为4，最小值点为6,8.2525252525例4已知a,bR且ab1,求证：axby2ax2by2证明：设m(ax,by),na,b，则axbymnmnax2222byabax2by2abax2by2，axby2ax2by2.例5若x0,，试求函数f(

13、x)3cosx41sin2x的最大值，并求出2相应的x的值.解：设m(3,4),ncosx,1sin2x，则f(x)3cosx41sin2xmnmn3242cos2x1sin2x52当且仅当m/n时，上式取“=”，此时31sin2x4cosx，解得sinx7,cosx32,xarcsin7555当xarcsin7时，函数f(x)3cosx41sin2x取最大值52.5例6设x,y,z是正数，证明：1yzzx1zxxy1xyyz.2221xy1yz1zx1证明：由柯西不等式得zxy1xy1xy1.2z所以1yzzxz.1x2xyyz同理1zxxyx，1xyyzy.2xy2xy1yzz1xzz将三

14、个不等式相加，得1yzzx1zxxy1xyyz1.1x21y21z2yzx说明：对于好多分式不等式分母太多，也很复杂，我们可局部利用柯西不等式将分母化为一致的式子，使问题得以简化.例7解方程4x3212x15.解：原方程变形为1522x3212x2222x3215.212x222232x12x此中等号成立的重要条件是22.2解得x1.3说明：注意方程与不等式间的互相转变，当不等式中的等号建立刻，不等式就成为方程了.例8m个互不同样的正偶数与n个互不同样的正奇数的总和为1987，对于全部这样的m、n，问3m4n的最大值是多少试证明你的结论.解：设ai(i1,2,m)为互不同样的正偶数，bj(j1

15、,2,n)，则a1a2am242m，b1b2bn132n1，a1a2amb1b2bm1987，121.由上述三式可得mm1n21987，即mn21987241212由柯西不等式得，3m4nmn23242.22321即3m4n198752.2413222.3m4n221.3m4n5198724又当m27,n35时，3m4n221且满足mm1n21987.故所求最大值为221.说明：本题反响了一种重要解题方式，那就是第一减小所研究目标的范围，再运用柯西不等式作进一步缩短，步步迫近，最后又经过构造实例使目标获取确认.例9设a1,a2,an为实数，运用柯西不等式证明：a12an2a1ann.nn11a

16、1an证明：由柯西不等式得1n111n.22a2a211aan个于是a12an2na1a2an即得a12an2a1an.nn再由柯西不等式得1111112a1a2ana1a2ann2.a1a2ana1a2an于是a1ann.n11a1an综合知原不等式成立.例10已知实数a,b,c,d满足abcd3，且a22b23c26d25，试求a的最大值与最小值.解：由柯西不等式得，2b23c26d2111bcd2.2362即2b23c26d2bcd.综合得5a23a2，1a2当且仅当2b3c6d，即2b3c6d时等号成立.111236由abcd3和2b3c6d知，当b1,c2,d1时，amin133当b

17、1,c1,d1时，amax2236例11已知正数x,y,z满足xyzxyz，且不等式111恒成xyyzzx立，求的取值范围.解111111xyyzzx2xy2yz2zx1z1x1y1xyxyzyz2zx11121212zxy2zxz2xyyzxy所以的取值范围是3,.232例12求出全部实数a，使得存在非负实数x1,x2,x3,x4,x5，合适以下关系式：1x12x23x34x45x5a13x123x233x343x453x5a215x125x235x345x455x5a3解：设有非负实数x1,x2,x3,x4,x5满足题设要求，那么由柯西不等式得a413x123x253x5215151522

18、12x112x12x222x252x552x51x12x25x515x125x255x5a4152xk0k1,2,3,4,5这样一来，上式中惟有等号成立，于是kxkk2假如x1,x2,x3,x4,x5中有两个或两个以上不为零，上式不行能成立，所以只好有上述两种情况：x1x2x3x4x50,此时a0.xii1,2,3,4,5中有且仅有一个不为零，不如设xk0，依题设kxka,k3xka2,k5xka3解得xkk,k2ak1,2,3,4,5综上知，当a0,1,4,9,16,25时，存在非负实数x1,x2,x3,x4,x5满足题设要求.例13P是ABC内一点，x,y,z是P到三边a,b,c的距离，R

19、是ABC外接圆的半径，证明：xyz1a2b2c2.2Rabc证明：记S是ABC的面积，则axbycz2S2Rxyzax1by1cz1abcaxbycz111abc111abc2Rabc1abbcca1a2b2c22R2R所以xyz1a2b2c22R说明：本题中给出ABC三边的长，又给出了ABC内一点到三边的距离及外接圆的半径，可联想到ABC的面积可以把这些量联系起来：S1axbycz，又aa22R,sinAsinA2RS1bcsinA1bcaabc222R4R练习1一、选择题1若直线xy1经过点Mcos,sin，则（D）abAa2b21Ba2b21C111D111a2b2a2b22已知a0,b

20、0，且ab2，则（C）Aab1Bab1Ca2b22Da2b23223若m,n,x,y满足m2n2a,x2y2b,此中a,b为常数，那么mxny的最大值为（B）AabBabCa2b2Da2b22224.若a,b,c,d都为实数,则不等式22222）取等号的条件是abcdacbdDA.abdc0B.adbc0C.abdc0D.adbc05.已知a,bR且ab1,则11与4的关系为（）abBA.114B.114C.114D.114abababab6.设a,bR，则a12的最小值为（）2bbDaA.5B.6C.8D.97.若a,b是非零实数且ab1,x,x2R，Maxbx2bxax2，Nxx，1111

21、2则M与N的大小关系为（A）A.MNB.MNC.MND.MN8.若实数x,y满足x222，则x2y2的最小值为（）5y1214DA.2B.1C.3D.29.函数yx22x3x26x14的最小值为（）CA10B10C101D10110不等式a9b2b9a29等号成立的条件为（D）Aab3Bab9Ca2b23Da2b29二、填空题11设m,n,x,y0，且mn1，则uxy的最小值为.答案：xy2mn12设a,b为正数，则a12b1的最小值为.答案：9b2a213.函数U3x549x的最大值为.答案：1014.设x,y0,1，则x1yy1x的最大值为.答案：115.设a,b,c,d,m,n都是正实数

22、，Pabcd，Qamncbd，mn则P与Q的大小关系为.答案：PQ16.若2x3y122的最小值为，最小值点为.答案：，则xy,2,3131313三、解答题17.求证：25a4a35.证明：由柯西不等式得45415a4a25a24a354a25a当且仅当5a4a即x11时等号成立.21518.设ab1，求证：a4b41.8证明：由柯西不等式得11a2b22121ab221ab.2再由柯西不等式得11a4b4a2b221124441ab.19已知p,qR且p3q32，求证：pq2.3311证明：设m(p2,q2),np2,q2，则3131p2q2p2p2q2q2mnmnp3q3pq2pq又pqp

23、q222q22p2p2q22pqpq48pqpq38pq220求函数y4x713x2的最大值.解：定义域为13,13，由柯西不等式得1649131649x213x224x713x24x713x26513135当且仅当x13x2即x45时等号成立.475当x45时，函数y4x713x2的最大值为135.521.试用柯西不等式求点P3,4到直线:2x3y50的距离.解：直线上的任意一点Q(x,y)到定点P3,4的距离为22x3y4由柯西不等式得22249x3y41822x33y4即x32y42132x3y1825132x32y4213当且仅当x3y4且2x3y5即xy1时等号成立.2322当xy1

24、时，x3y4取最小值13即为所求的距离.练习2一、选择题1.设a,b,c为正数，且abc1，则（D）A.1113B.1113C.1119D.abcabcabc1119abc2.设x,y,z为正数，且xyz1，则(A)A.x2y2z21B.x2y2z21C.x2y2z21D.339x2y2z2193.求使y12xy322xy62达到最小值的实数x,y的值（）A555515Ax,yBx,yCx3,y5Dx,y2634264.设a,b,c为正数，且abcA，则（D）A.1113B.1113C.1119D.1119abcAabcAabcAabcA5.设，则2x3yz的最小值为（）xyz1222BA3B

25、6C3D7101111106.式子a2b2c2111的最小值为（）222abcAA9B10C12D187.设x222y1z11，则函数W2xyz16的取值范围为（D）4916A1040W1040B1041W1041C1840W1040D1841W18418.设a,b,c为正数且不全相等，判断M9与N222的大小（D）abcabbccaAMNBMNCMNDMN9.设x1,x2,xn为正数，Wx1x2xn，U111，则下式成立的是（）x1x2BxnAWUn2BWUn2CWUn2DWUn210.设a,b,cR，则abac的最小值为（C）bccabA3B2C3D34211.已知,为锐角，且cos4si

26、n41，则（A）22sincosA2B3CD5441212.若516273441，则函数1234的最小值为（）xxxx2222BM3x2x5xxA782B15C3D25157823二、填空题13.设n2,3,则123n与nn1的大小关系为.2答案：123nnn1214.若a,b,c为实数，且a2b2c21，则函数Uabbcca的取值范围为.1答案：U1215.设x,y,zR且1231，则xyz的最小值为.答案：9xyz2316.若0a,b,c1且abc2，则函数Ua2b2c2的取值范围为.答案：4,2317.实数x,y,z满足2x3y5z29，则函数U2x13y45z6的最大值为.答案：230

27、18.已知数据x1,x2,x10的均匀数为6，标准差为2，则数据x1,x2,x5的均匀数的取值范围为.答案：62,62三、解答题19.已知正数x,y,z满足xyz1，求证：14936xyzx3y3z3x2y2z23证明：由柯西不等式得1492(x12336yz)yz，x所以14936xyz由柯西不等式得3131312x2y2z22x2x2y2y2z2z2x3y3z3xyz由均值不等式得xyzx2y2z2332y2z2即xyz3x2将两式相乘获取：x2y2z2xyz3x3y3z3又xyz1所以x3y3z3x2y2z23220.设a1,a2,an为实数，b1,b2,bn为正数，求证：a12a22a

28、n2a1a2anb1b2bnb1b2bn证明：由柯西不等式得a12a22an2b1b2bnb1b2bn2a1b1a2b2anbnb1b2bna1a2an2因为b1,b2,bn为正数，所以b1b2bn0故a122a22an2a1a2anb1b2bnb1b2bn21.设a,b,c,d为正实数，且abcd4，证明：a2b2c2d24ab2bcda证明：因为abcd4，要证原不等式成立，等价于证明a2b2c2d224abbcdabcdabcda事实上，a2b2c2d2cd)bcd(abaa22ab2c2bbcbc2d22ca2ddad1ab21bc21c212bcddada由柯西不等式得a2b2c22bcddabcdabcdaabbccdd2a又由bccddaba知22abbccdda4ab由可知式成立，从而原不等式成立.22.设a,