历年上海高考题立体几何

1、17（2017-21-17）如图，直三棱柱ABC-A1B1C1的底面为直角三角形，两直角边AB和AC的长分别为4和2，侧棱AA1的长为51）求三棱柱ABC-A1B1C1的体积；2）设M是BC中点，求直线A1M与平面ABC所成角的大小17.【分析】（1）直三棱柱ABC-A1B1C1的底面为直角三角形，两直角边AB和AC的长分别为4和2，侧棱AA1的长为511三棱柱ABCA1B1C1的体积V=SABCAA1=2ABACAA1=2425=20.2）连结AM.直三棱柱ABC-A1B1C1，AA1底面ABC.AMA1是直线A1M与平面ABC所成角.ABC是直角三角形，两直角边AB和AC的长分别为4和2，

2、点M是BC的中点，AM=12BC=1242+22=5.AA1底面ABC，可得AA1AM,1tanA1MA=5.AM55直线A1M与平面ABC所成角的大小为arctan519（2016?23-19）将边长为1的正方形AA1O1O（及其内部）绕OO1旋转一周形成圆柱，如图，AC长为，A1B1长为，此中B1与C在平面AA1O1O的同侧1）求三棱锥CO1A1B1的体积；2）求异面直线B1C与AA1所成的角的大小【考点】异面直线及其所成的角【专题】计算题；转变思想；综合法；空间地点关系与距离【分析】（1）连结O1B1，推导出O1A1B1为正三角形，从而=，由此能求出三棱锥CO1A1B1的体积（2）设点B

3、1在下底面圆周的射影为B，连结BB1，则BB1AA1，BB1C为直线B1C与AA1所成角（或补角），由此能求出直线B1C与AA1所成角大小【解答】解：（1）连结O11111111B，则OAB=AOB=，O1A1B1为正三角形，=，=（2）设点B1在下底面圆周的射影为B，连结BB1，则BB1AA1，BB1C为直线B1C与AA1所成角（或补角），BB=AA=1，11连结BC、BO、OC，AOB=A1O1B1=，BOC=，BOC为正三角形，BC=BO=1，tanBB1C=45，直线B1C与AA1所成角大小为45【评论】此题观察三棱锥的体积的求法，观察两直线所成角的大小的求法，是中档题，解题时要仔细审

4、题，注意空间思想能力的培育19、（2015.上海）如图。在长方体ABCDA1B1C1D1中，AA11,ABAD2,E,F分别是AB,BC的中点，证明：A1,C1,F,E四点共面，并求直线CD1与平面A1C1FE所成角的大小。D1C1A1B1DCFAEB19（2014）（此题满分12分）底面边长为2的正三棱锥PABC，其表面睁开图是三角形PPP，如图，求PPP的各边长及此三棱锥的体积V12312319（此题满分12分）解：在123中，13，23，所以AC是中位线，PPPPAPAPCPC故122AC4PP同理，234，1所以123是等边三角形，各边长均为4PPP3P4PPP设Q是ABC的中心，则P

5、Q平面ABC，所以AQPQAP2AQ2263从而，V1SABCPQ223319.(2013)（此题满分12分）如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=2,AD=1,A明直线BC1平行于平面DA1C，并求直线BC1到平面D1AC的距离.【解答】由于ABCD-A1B1C1D1为长方体，故AB/C1D1,ABC1D1，A23，31A=1，证DCB故ABC1D1为平行四边形，故BC1/AD1，明显B不在平面D1AC上，AD1C1于是直线BC1平行于平面DA1C；1直线BC1到平面D1AC的距离即为点B到平面D1AC的距离设为h111考虑三棱锥ABCD1的体积，以ABC为底面，可得V(12)1

6、323B1而AD1C中，ACDC15,AD12，故SADC32113122所以，Vhh，即直BC1到平面D1AC的距离3233319.(2012)如，在四棱PABCD中，底面ABCD是矩形，PA底面ABCD，E是PC的中点.已知AB=2，AD=22，PA=2.求：(1)三角形PCD的面；(6分)P(2)异面直BC与AE所成的角的大小.(6分)EDABC解(1)因PA底面ABCD，所以PACD，又ADCD，所以CD平面PAD，从而CDPD.3分因PD=22(22)223，CD=2，所以三角形PCD的面2122323.(2)解法一如所示，成立空直角坐系，B(2,0,0)，C(2,22,0)，E(1

7、,2,1)，AE(1,2,1)，BC(0,22,0).8分AE与BC的角，cosAEBC42，=4.|AE|BC|2222由此可知，异面直BC与AE所成的角的大小是4解法二取PB中点F，接EF、AF，EFBC，从而AEF(或其角)是异面直BC与AE所成的角8分AEF中，由EF=2、AF=2、AE=2AEF是等腰直角三角形，所以AEF=4.所以异面直BC与AE所成的角的大小是4z6分PEADyBCx12分12分21(2011)（14分）已知ABCDA1B1C1D1是底面1的正四棱柱，O1是A1C1和B1D1的交点。（1）AB1与底面A1B1C1D1所成的角的大小，二面角AB1D1A1的大小。求：

8、tan2tan；（2）若点C到平面AB1D1的距离4，求正四棱柱ABCDA1B1C1D1的高。3ADBC21解：设正四棱柱的高为h。连AO1，AA1底面A1B1C1D1于A1，AB1与底面A1B1C1D1所成的角为AB1A1，即AB1A1AB1AD1，O1为B1D1中点，AO1B1D1，又A1O1B1D1，AO1A1是二面角AB1D1tanAA1h，tanA1B1成立如图空间直角坐标系，有A1的平面角，即AO1A1AA12h2tan。AO11zADA(0,0,h),B1(1,0,0),D1(0,1,0),C(1,1,h)BCuuuuruuuuruuurAB1(1,0,h),AD1(0,1,h)

9、,AC(1,1,0)rA1设平面AB1D1的一个法向量为n(x,y,z)，D1yruuurruuurB1O10rC1nAB1nAB1，取z(h,h,1)xruuuurruuuur1得nnAD1nAD10ruuurhh04点C到平面AB1D1的距离为d|nAC|rh2h21，则h2。|n|321、(2010)（本大题满分13分）此题共有2个小题，第1小题满分5分，第2小题满分8分.以以下图，为了制作一个圆柱形灯笼，先要制作4个全等的矩形骨架，总计耗用9.6米铁丝，骨架把圆柱底面8等份，再用S平方米塑料片制成圆柱的侧面和下底面（不安装上底面）.当圆柱底面半径r取何值时，S获得最大值？并求出该最大值

10、（结果精准到0.01平方米）;（2）在灯笼内，以矩形骨架的极点为点，安装一些霓虹灯，当灯笼的底面半径为0.3米时，求图中两根直线A1B3与A3B5所在异面直线所成角的大小（结果用反三角函数表示）19(2009)（安分14分）如，在直三棱柱ABCA1B1C1中，AA1BCAB2,ABBC,求二面角B1AC1C1的大小。B119，【解】如，成立空直角坐系A1A（2，0，0）、C（0，2，0）A1（2，0，2），B1（0，0，2）、C1（0，2，2）2分BAC的中点M，BMAC,BMCC1;AuuuuvBM平面A1C1C,即BM=(1,1,0)是平面A1C1C的一个法向量。5分v平面A1B1C1的一

11、个法向量是n(x,y,z)=（x，y，z），uuuvuuuuvAC1=（-2，2，-2），A1B1=（-2，0，0）7分zvuuuvvuuuvB1令解得nAB2x0,nAC2x2y2z0,z11,x0,yv1A1n分(0,1,1).10vuuuuvB法向量n与BM的角，二面角B1ACC1的大小，然1A角vuuuuvxQcoscosnBM1,解得vuuuuv3nBM2.14分二面角B1AC1C1的大小为316.(2008)(12)如，在棱2的正方体ABCD-A中，E是BC1的中点，D11B1C1D1求直DE与平面ABCD所成角的大小（果用反三角函数表示）A1【分析】E作EFBC，交BC于F，接D

12、FEF平面ABCD，EDF是直DE与平面ABCD所成的角D由意，得EF1CC11D1AC12A11BEDCC1CC1CyMC1B1ECBCF1CB1，DF52EFDF，tanEF5EDFDF5故直线DE与平面ABCD所成角的大小是arctan5516(2007)（此题满分12分）如图，在体积为1的直三棱柱ABCA1B1C1中，ACB90,ACBC1求直线A1B与平面BB1C1C所成角的大小（结果用反三角函数值表示）C1A1C16解法一：由题意，可得体积AVCC1gSABC11，CC1ggACgBCCC1122AA1CC12连结BC1QAC11B1C1，AC11CC1，A1C1平面BB1C1C，

13、A1BC1是直线A1B与平面BB1C1C所成的角BC1CC12BC25，tanA1BC1A1C11A1BC1arctan5BC1，则555z即直线A1B与平面BB1C1C所成角的大小为C1arctan5解法二：由题意，可得A1CAB1BB1Byx体积VCC1gSABCCC1g1gACgBC1CC11，22CC12，如图，成立空间直角坐标系得点B(0，1，0)，uuur，C1(0，0，2)，A1(1，0，2)则A1B(112)r平面BB1C1C的法向量为n(1，0，0)设直线cos即直线A1B与平面uuurrA1BgnuuurrA1BgnA1B与平面BB1C1C所成的角为，A1B与n的夹角为，6

14、，sin|cos|6,arcsin6，6666BB1C1C所成角的大小为arcsin619(2006-19)（此题满分14分）此题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分）在四棱锥PABCD中，底面是边长为2的菱形，DAB60交于点O，PO平面ABCD，PB与平面ABCD所成的角为601）求四棱锥PABCD的体积；2）若E是PB的中点，求异面直线DE与PA所成角的大小（结果用反三角函数值表示）E解（1）在四棱锥P-ABCD中,由PO平面ABCD,得APBO是PB与平面ABCD所成的角,PBO=60.在RtAOB中BO=ABsin30=1,由POBO,B于是,PO=BOtg60=3,而底

15、面菱形的面积为23.，对角线AC与BD相PDOC四棱锥P-ABCD的体积V=1233=2.3（2）解法一：以O为坐标原点,射线OB、OC、OP分别为x轴、y轴、z轴的正半轴成立空间直角坐标系.在RtAOB中OA=3,于是,点A、B、D、P的坐标分别是A(0,3,0),B(1,0,0),D(1,0,0),P(0,0,3).1,0,333E是PB的中点,则E()于是DE=(,0,),AP=(0,3,3).2222322与AP的夹角为,有cos=2,=arccos,设DE34934443异面直线DE与PA所成角的大小是arccos2；4解法二：取AB的中点F,连结EF、DF.E是PB的中点,得EFP

16、A，FED是异面直线DE与PA所成角(或它的补角)，RtAOB中AO=ABcos30=3=OP，于是,在等腰RtPOA中，PA=66，则EF=.2在正ABD和正PBD中,DE=DF=3，1EF62cosFED=24=DE34异面直线DE与PA所成角的大小是arccos2.417(2005-22-17)（此题满分12分）已知直四棱柱ABCDA1B1C1D1中，AA12，底面ABCD是直角梯形，A是直角，AB|CD，AB=4，AD=2，DC=1，求异面直线BC1与DC所成角的大小.（结果用反三角函数值表示）17解法一由题意AB/CD，C1BA是异面直线BC1与DC所成的角.连结AC1与AC，在Rt

17、ADC中，可得AC5，又在RtACC1中，可得AC1=3.在梯形ABCD中，过C作CH/AD交AB于H，得CHB90,CH2,HB3,CB13又在RtCBC1中，可得BC117，AB2BC12AC12317317.在ABC1中,cosABC12ABBC1,ABC1arccos1717317异而直线BC1与DC所成角的大小为arccos.17解法二如图，以D为坐标原点，分别以AD、DC、DD1所在直线为x、y、z轴成立直角坐标系.C1（0，1，2），B（2，4，0）BC1(2,3,2),CD(0,1,0),设BC1与CD所成的角为，则cosBC1CD317.arccos317,|BC1|CD|1

18、717317异面直线BC1与DC所成角的大小为arccos.21、(2004-22-21)(此题满分16分)第1小题满分4分,第2小题满分6分,第3小题满分6分如图,P-ABC是底面边长为1的正三棱锥,D、E、F分别为棱长PA、PB、PC上的点,截面DEF底面ABC,且棱台DEF-ABC与棱锥P-ABC的棱长和相等.(棱长和是指多面体中全部棱的长度之和)证明：P-ABC为正四周体；1(2)若PD=PA,求二面角D-BC-A的2大小；(结果用反三角函数值表示)设棱台DEF-ABC的体积为V,是否存在体积为V且各棱长均相等的直平行六面体,使得它与棱台DEF-ABC有同样的棱长和?若存在,请详细结构

19、出这样的一个直平行六面体,并给出证明；若不存在,请说明原由.21、【证明】(1)棱台DEF-ABC与棱锥P-ABC的棱长和相等,DE+EF+FD=PD+OE+PF.又截面DEF底面ABC,DE=EF=FD=PD=OE=PF,DPE=EPF=FPD=60,P-ABC是正四周体.【解】(2)取BC的中点M,连结PM,DM.AM.BCPM,BCAM,BC平面PAM,BCDM,则DMA为二面角D-BC-A的平面角.(1)知,P-ABC的各棱长均为1,3PM=AM=,由D是PA的中点,得2sinDMAAD3DMA3AM,arcsin.33(3)存在满足条件的直平行六面体.棱台DEF-ABC的棱长和为定值

20、6,体积为V.设直平行六面体的棱长均为1,底面相邻两边夹角为,21则该六面体棱长和为6,体积为V.sin8正四周体P-ABC的体积是2,0V2,08V1.可知arcsin(8V)1212故结构棱长均为1,底面相邻两边夹角为arcsin(8V)的直平行六面体即满足要求.218(2003-22-18)（此题满分12分）已知平行六面体ABCDABCD中，AA平面ABCD，AB=4，AD=2.若BDBC，111111直线B1D与平面ABCD所成的角等于30，求平行六面体ABCDA1B1C1D1的体积.18解连结BD，由于B1B平面ABCD，B1DBC，所以BCBD.在BCD中，BC=2，CD=4，所以

21、BD=23.又由于直线B1D与平面ABCD所成的角等于30，所以1B1DB=30，于是BB1=BD=2.3故平行六面体ABCDA1B1C1D1的体积为SABCDBB1=83.17(2002-22-17)（此题满分12分）如图，在直三棱柱ABOA/B/O/中，OO/=4，OA=4，OB=3，AOB=90，D是线段A/B/的中点，P是侧棱BB/上的一点.若OPBD，求OP与底面AOB所成角的大小.（结果用反三角函数值表示）317.POB=arctan.819(2001-22-19)（此题满分14分）此题有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分在棱长为a的正方体OABCOABC中，E,F分别是棱AB,BC上的动点，且AEBF（）求证：（）当三棱锥AFCE；BEF的体积获得最大值时，求二面角EFB的大小（结果用反三角函数表示）【解】（I）证明：如图，以O为原点成立空间直角坐标系设AEBFx，则A(a,0,a),F(ax,a,0),C(0,a,a)，E(a,x,0)uuur(x,a,uuur(a,xa,a).（4分）AFa),CEuuuruuurxaa(xa)a20，AFCEAFCE.（6分）（II）记BFx,BEy，则xya，三棱锥BBEF的体积V1xyaa(xy)21a3，a66224当且仅当xy时，等号成立2a所以，三棱锥BBEF的体积获得最大值时，BFBE（分）2.10过B作