概率论与数理统计第三章课后习题_第1页
概率论与数理统计第三章课后习题_第2页
概率论与数理统计第三章课后习题_第3页
概率论与数理统计第三章课后习题_第4页
概率论与数理统计第三章课后习题_第5页
已阅读5页,还剩20页未读 继续免费阅读

下载本文档

版权说明:本文档由用户提供并上传,收益归属内容提供方,若内容存在侵权,请进行举报或认领

文档简介

1、概率论与数理统计第三章课后习题答案概率论与数理统计第三章课后习题答案25/25概率论与数理统计第三章课后习题答案习题三1.将一硬币投掷三次,以X表示在三次中出现正面的次数,以Y表示三次中出现正面次数与出现反面次数之差的绝对值.试写出X和Y的结合散布律.【解】X和Y的结合散布律如表:X0123Y10C31g1113C32g1113/80222822231001111822282.盒子里装有3只黑球、2只红球、2只白球,在其中任取4只球,以X表示取到黑球的只数,以Y表示取到红球的只数.求X和Y的结合散布律.【解】X和Y的结合散布律如表:X0123Y000C32gC223C33gC122C7435C

2、743510C13gC12gC226C32gC12gC1212C33gC122C7435C7435C74352P(0黑,2红,2白)=12162230C22gC22/C741C3gC2gC2C3gC2C7435C7435353.设二维随机变量(X,Y)的结合散布函数为F(x,y)=sinxsiny,0 x2,0y20,其他.求二维随机变量(X,Y)在长方形域0yx,63内的概率.4【解】如图P0XY4,公式(3.2)63F(F(0,F(0,F(,),)3)6)4346singsinsingsin6sin0gsinsin0gsin43436231).(4说明:也可先求出密度函数,再求概率。4.设

3、随机变量(X,Y)的散布密度Aef(x,y)=0,题3图(3x4y),x0,y0,其他.求:(1)常数A;2)随机变量(X,Y)的散布函数;3)P0X1,0Y2.【解】(1)由f(x,y)dxdyAe-(3x4y)dxdyA10012得A=12(2)由定义,有yxF(x,y)f(u,v)dudvyy(3u4v)dudv(1e3x)(1e4y)y0,x0,012e00,其他0,P0X1,0Y2P0X1,0Y212(3x4y)dxdy(1e3)(1e8)0.9499.012e05.设随机变量(X,Y)的概率密度为f(x,y)=k(6xy),0 x2,2y4,0,其他.1)确定常数k;2)求PX1,

4、Y3;3)求PX;4)求PX+Y4.【解】(1)由性质有24f(x,y)dxdyk(6xy)dydx8k1,02故1R8(2)PX1,Y313f(x,y)dydx131x3k(6y)dydx0288(3)PX1.5f(x,y)dxdy如图af(x,y)dxdyx1.5D11.541y)dy27dx(6x.02832(4)PXY4f(x,y)dxdy如图bf(x,y)dxdyXY4D224x1xy)dy2dx2(6.083题5图6.设X和Y是两个相互独立的随机变量,X在(0,)上听从平均散布,Y的密度函数为5e5y,y0,fY(y)=0,其他.求:(1)X与Y的结合散布密度;(2)PYX.题6图

5、【解】(1)因X在(0,)上听从平均散布,所以X的密度函数为1,0 x0.2,fX(x)0.20,其他.而fY(y)所以5e5y,y0,0,其他.f(x,y)X,Y独立fX(x)gfY(y)15e5y25e5y,0 x且y0,0.20.20,其他.0,(2)P(YX)f(x,y)dxdy如图25e5ydxdyyxD0.2dxx25e-5ydy0.2(5e5x5)dx000=e-10.3679.7.设二维随机变量(X,Y)的结合散布函数为F(x,y)=(1e4x)(1e2y),x0,y0,0,其他.求(X,Y)的结合散布密度.【解】f(x,y)2F(x,y)8e(4x2y),x0,y0,xy0,

6、其他.8.设二维随机变量(X,Y)的概率密度为4.8y(2x),0 x1,0yx,(x,y)=0,其他.求边缘概率密度.【解】fX(x)f(x,y)dyx2.4x2(2x),0 x1,=4.8y(2x)dy00,其他.0,fY(y)f(x,y)dx14.8y(2x)dx2.4y(34yy2),0y1,=y0,0,其他.题8图题9图9.设二维随机变量(X,Y)的概率密度为ey,0 xy,f(x,y)=0,其他.求边缘概率密度.【解】fX(x)f(x,y)dy=eydyex,x0,x0,其他.0,fY(y)f(x,y)dxyydxyex,y0,=e00,其他.0,题10图10.设二维随机变量(X,

7、Y)的概率密度为cx2y,x2y1,f(x,y)=0,其他.(1)试确定常数c;(2)求边缘概率密度.【解】(1)f(x,y)dxdy如图f(x,y)dxdyD114c1.=dxx2cx2ydy-12121得c.4(2)fX(x)f(x,y)dy1212ydy212(1x4),1x1,2xxx480,0,其他.fY(y)f(x,y)dx215yx2ydx7y2,0y1,0,y420,其他.11.设随机变量(X,Y)的概率密度为f(x,y)=1,yx,0 x1,0,其他.求条件概率密度fYX(yx),fXY(xy).题11图【解】fX(x)f(x,y)dyx1dy2x,0 x1,x0,其他.11

8、y,1y0,1dxyfY(y)1f(x,y)dx1dx1y,0y1,y0,其他.所以f(x,y)1,|y|x1,fY|X(y|x)2xfX(x)0,其他.1,yx1,1yfX|Y(x|y)f(x,y)1,yx1,fY(y)1y0,其他.12.袋中有五个号码1,2,3,4,5,从中任取三个,记这三个号码中最小的号码为X,最大的号码为Y.1)求X与Y的结合概率散布;2)X与Y是否相互独立【解】(1)X与Y的结合散布律如下表Y345PXxiX1112233610C5310C5310C5310201122310C310C3105530011110C5210PYyi136101010(2)因PX6161

9、1gPY310100PX1,Y3,故X与Y不独立101013.设二维随机变量(X,Y)的结合散布律为YX2581)求对于X和对于Y的边缘散布;2)X与Y是否相互独立【解】(1)X和Y的边缘散布如下表X258PY=yiYPXxi(2)因PX2gPY0.160.15P(X2,Y0.4),故X与Y不独立.14.设X和Y是两个相互独立的随机变量,X在(0,1)上听从平均散布,Y的概率密度为Y1ey/2,y0,f(y)=2其他.0,(1)求X和Y的结合概率密度;(2)设含有a的二次方程为a2+2Xa+Y=0,试求a有实根的概率.y1,0 x1,fY(y)1e2,y1,【解】(1)因fX

10、(x)其他;20,0,其他.故f(x,y)X,Y独立fX(x)gfY(y)1ey/20 x1,y0,20,其他.题14图(2)方程a22XaY0有实根的条件是(2X)24Y0故X2Y,进而方程有实根的概率为:PX2Yf(x,y)dxdyx2y1x21y/2dydxe00212(1)(0)0.1445.15.设X和Y分别表示两个不同电子器件的寿命(以小时计),并设X和Y相互独立,且听从同一散布,其概率密度为1000,x1000,f(x)=x20,其他.求Z=X/Y的概率密度.【解】如图,Z的散布函数()XFZzPZzPYz(1)当z0时,FZ(z)0(2)当0z0)的泊松散布,每位乘客在中途下车

11、的概率为p(0p1),且中途下车与否相互独立,以Y表示在中途下车的人数,求:(1)在发车时有n个乘客的条件下,中途有m人下车的概率;(2)二维随机变量(X,Y)的概率散布.【解】(1)PYm|XnCnmpm(1p)nm,0mn,n0,1,2,L.(2)PXn,YmPXngPYm|Xnmpm(1p)nmen,nmn,n0,1,2,L.Cngn!24.设随机变量X和Y独立,其中X的概率散布为X12f(y),0.3,而Y的概率密度为0.7求随机变量U=X+Y的概率密度g(u).【解】设F(y)是Y的散布函数,则由全概率公式,知U=X+Y的散布函数为G(u)PXYu0.3PXYu|X10.7PXYu|

12、X20.3PYu1|X10.7PYu2|X2由于X和Y独立,可见G(u)0.3PYu10.7PYu20.3F(u1)0.7F(u2).由此,得U的概率密度为g(u)G(u)0.3F(u1)0.7F(u2)0.3f(u1)0.7f(u2).25.25.设随机变量X与Y相互独立,且均听从区间0,3上的平均散布,求PmaxX,Y1.解:因为随即变量听从0,3上的平均散布,于是有10 x3,10y3,f(y),f(x)330,x0,x3;0,y0,y3.因为X,Y相互独立,所以10 x3,0y3,f(x,y),90,x0,y0,x3,y3.推得PmaxX,Y11.9设二维随机变量(X,Y)的概率散布为

13、X101Y1a00b100.1c其中a,b,c为常数,且X的数学希望E(X)=,PY0|X0=,记Z=X+Y.求:1)a,b,c的值;2)Z的概率散布;3)PX=Z.解(1)由概率散布的性质知,a+b+c+=1即a+b+c=.由E(X)0.2,可得ac0.1.再由PX0,Y0ab0.1PY0X00ab0.5,PX0.5得ab0.3.解以上对于a,b,c的三个方程得0.2,b0.1,c0.1.Z的可能取值为2,1,0,1,2,PZ2PX1,Y10.2,PZ1PX1,Y0PX0,Y10.1,PZ0PX1,Y1PX0,Y0PX1,Y10.3,PZ1PX1,Y0PX0,Y10.3,PZ2PX1,Y10

14、.1,即Z的概率散布为Z21012P(3)PXZPY00.1b0.20.4.习题四1.设随机变量X的散布律为X1012P1/81/21/81/4求E(X),E(X2),E(2X+3).【解】(1)E(X)(1)11112110284;82(2)E(X2)(1)210211212215;821844(3)E(2X3)2E(X)323422.已知100个产品中有10个次品,求随意取出的5个产品中的次品数的数学希望、方差.【解】设任取出的5个产品中的次品数为X,则X的散布律为X012345PC9050.583C101C9040.340C102C903C103C902C104C190

15、0C1050C1005C1005C10050.0700.007C1005C1005C1005故E(X)0.58300.34010.07020.007304050.501,5E(X)2PiD(X)xii0(00.501)20.583(10.501)20.340L(50.501)200.432.3.设随机变量X的散布律为X101Pp1p2p3且已知E(X)=,E(X2123)=,求P,P,P.【解】因P1P2P31,又E(X)(1)P0gP1gPPP0.1,12331E(X2)(1)2gP102gP212gP3P1P30.9由联立解得P10.4,P20.1,P30.5.4.袋中有N只球,其中的白球

16、数X为一随机变量,已知E(X)=n,问从袋中任取1球为白球的概率是多少【解】记A=从袋中任取1球为白球,则NP(A)全概率公式PA|XkgPXkk0Nk1NkPXkPXkk0NNk0gE(X)n.NN5.设随机变量X的概率密度为x,0 x1,f(x)=2x,1x2,0,其他.求E(X),D(X).【解】E(X)1x2dx2x)dxxf(x)dxx(2011x31x32x21.3031E(X2)x2f(x)dx122(2x)dx7x3dxx016D(X)E(X2)E(X)21.故66.设随机变量X,Y,Z相互独立,且E(X)=5,E(Y)=11,E(Z)=8,求下列随机变量的数学希望.1)U=2

17、X+3Y+1;2)V=YZ4X.【解】(1)EUE(2X3Y1)2E(X)3E(Y)125311144.(2)EVEYZ4XEYZ4E(X)因Y,Z独立E(Y)gE(Z)4E(X)1184568.7.设随机变量X,Y相互独立,且E(X)=E(Y)=3,D(X)=12,D(Y)=16,求E(3X2Y),D(2X3Y).【解】(1)E(3X2Y)3E(X)2E(Y)33233.(2)D(2X3Y)22D(X)(3)2DY412916192.8.设随机变量(X,Y)的概率密度为f(x,y)=k,0 x1,0yx,0,其他.试确定常数k,并求E(XY).11x【解】因f(x,y)dxdydx0kdyk

18、1,故k=202E(XY)xyf(x,y)dxdy1x0.25.xdx2ydy009.设X,Y是相互独立的随机变量,其概率密度分别为fX(x)=2x,0 x1,e(y5),y5,0,fY(y)=0,其他.其他;求E(XY).【解】方法一:先求X与Y的均值g2E(X)1,x2xdx03E(Y)ye(y5)dy令zy5zdzzezdz516.5e500由X与Y的独立性,得E(XY)E(X)gE(Y)264.3方法二:利用随机变量函数的均值公式.因X与Y独立,故结合密度为f(x,y)fX(x)gfY(y)2xe(y5),0 x1,y5,0,其他,于是E(XY)1g(y5)dxdy12gye(y5)d

19、y25xy2xe2xdx564.00310.设随机变量X,Y的概率密度分别为fX(x)=2e2x,x0,fY(y)=4e4y,y0,x0;0,y0.0,求(1)E(X+Y);(2)E(2X3Y2).【解】(X)xfX(x)dx0 xg2e2xdxxe2x00e-2xdx0e2xdx1.21.E(Y)yfY(y)dy0yg4e4ydy4212)y2fY(y)dyy2g4ydy.E(Y04e428进而(1)E(XY)E(X)E(Y)11324.4115(2)E(2X3Y2)2E(X)3E(Y2)2328811.设随机变量X的概率密度为f(x)=cxek2x2,x0,0,x0.求(1)系数c;(2)

20、E(X);(3)D(X).【解】(1)由f(x)dx0cxek2x2dxc21得c2k2.2k(2)E(X)xf(x)d(x)g2xek2x20 x2kdx2k22ek2x20 xdx2k.(3)E(X2)x2f(x)d(x)0 x2g2k2xek2x212.k2D(X)E(X2)E(X)214故k22k4k2.12.袋中有12个部件,其中9个合格品,3个废品.安装机器时,从袋中一个一个地取出(取出后不放回),设在取出合格品从前已取出的废品数为随机变量X,求E(X)和D(X).【解】设随机变量X表示在取得合格品从前已取出的废品数,则X的可能取值为0,1,2,3.为求其散布律,下面求取这些可能值

21、的概率,易知PX90.750,PX1390.204,0121112PX3290.041,PX33219211101211100.005.129于是,获得X的概率散布表如下:X0123P由此可得E(X)00.75010.20420.04130.0050.301.E(X2)02750120.204220.041320.0050.413D(X)E(X2)E(X)20.413(0.301)20.322.13.一工厂生产某种设施的寿命X(以年计)听从指数散布,概率密度为xf(x)=1e4,x0,4x0.0,为保证消费者的利益,工厂规定销售的设施若在一年内破坏能够调动.若售出一台设施,工厂赢利100元,而

22、调动一台则损失200元,试求工厂销售一台设施赢利的数学希望.【解】厂方销售一台设施净盈利Y只有两个值:100元和200元PY100PX111ex/4dxe1/44PY200PX11e1/4.故E(Y)100e1/4(200)(1e1/4)300e1/420033.64(元).2,i=1,2,n,14.设X1,X2,Xn是相互独立的随机变量,且有E(Xi)=,D(Xi)=记X1nXi,S2,S2=1n(XiX)2.ni1n1i1(1)考证E(X)=,D(X)=2;n1(n2Xi2(2)考证S2=nX);n1i1(3)考证E(S2)=2.【证】(1)E(X)E1nXi1E(nX)1nE(Xi)1n

23、uu.ninini1g1i1nD(X)D1n1nXi)Xi之间相互独立1gnniXin2D(n2DXi1i1i1122.2gnnn(2)因nX)2n(Xi22nXi22n(Xi2XXi)XnX2XXii1i1i1i1nXi22nXi22nX2XgnXnXi1i1故S21n2(Xi21nX).ni1(3)因E(Xi)u,D(Xi)2,故E(Xi2)D(Xi)(EXi)22u2.222u2同理因E(X)u,D(X)n,故E(X)n.进而E(s2)E1nXi2(n1i11nE(Xi2)n1i121nE(2nX)Xi2)nE(X)n1i1nE(X2)12n(2u2)nu22.ggnn115.对随机变量

24、X和Y,已知D(X)=2,D(Y)=3,Cov(X,Y)=1,计算:Cov(3X2Y+1,X+4Y3).【解】Cov(3X2Y1,X4Y3)3D(X)10Cov(X,Y)8D(Y)3210(1)8328(因常数与任一随机变量独立,故Cov(X,3)=Cov(Y,3)=0,其余近似).16.设二维随机变量(X,Y)的概率密度为f(x,y)=1,x2y21,0,其他.试考证X和Y是不有关的,但X和Y不是相互独立的.【解】设D(x,y)|x2y21.E(X)xf(x,y)dxdy1xdxdyx2y21121g0.=rcosrdrd00同理E(Y)=0.而Cov(X,Y)xE(x)gyE(Y)f(x,

25、y)dxdy1xydxdy1212sincosrdrd0,rx2y2100由此得XY0,故X与Y不有关.1x2下面议论独立性,当|x|1时,fX(x)11x2dy21x2.当|y|1时,fY1y2(y)211ydx21y2.显然fX(x)gfY(y)f(x,y).故X和Y不是相互独立的.17.设随机变量(X,Y)的散布律为X101Y11/81/81/801/801/811/81/81/8考证X和Y是不有关的,但X和Y不是相互独立的.【解】结合散布表中含有零元素,X与Y显然不独立,由结合散布律易求得X,Y及XY的分布律,其散布律如下表X101P323888Y101P323888XY101P242

26、888由希望定义易得E(X)=E(Y)=E(XY)=0.进而E(XY)=E(X)E(Y),再由有关系数性质知XY=0,即X与Y的有关系数为0,进而X和Y是不有关的.又PX1gPY331PX1,Y11888进而X与Y不是相互独立的.18.设二维随机变量(X,Y)在以(0,0),(0,1),(1,0)为极点的三角形地区上听从均匀散布,求Cov(X,Y),.XY【解】如图,SD=1,故(X,Y)的概率密度为2题18图2,(x,y)D,f(x,y)其他.0,E(X)xf(x,y)dxdy11x1dxxg2dy3D00E(X2)x2f(x,y)dxdy11x1dx2x2dyD006进而D(X)E(X2)E(X)21211.6318同理E(Y)1,D(Y)1.318而所以进而E(XY)xyf(x,y)dxdy11x1.2xydxdydx2xydy0012DDCov(X,Y)E(XY)E(X)gE(Y)11111233.36Cov(X,Y)1136XY112D(X)gD(Y)181819.设(X,Y)的概率密度为1sin(xy),0 x,0y,f(x,y)=2220,其他.求协方差Cov(X,Y)和有关系数XY.【解】E(X)xf(x,y)dxdy/2/21sin(xdx0 xgy)dy.0242E(X2)2dx2x2g1sin(xy)dy2.00282进而2D(X)E

温馨提示

  • 1. 本站所有资源如无特殊说明,都需要本地电脑安装OFFICE2007和PDF阅读器。图纸软件为CAD,CAXA,PROE,UG,SolidWorks等.压缩文件请下载最新的WinRAR软件解压。
  • 2. 本站的文档不包含任何第三方提供的附件图纸等,如果需要附件,请联系上传者。文件的所有权益归上传用户所有。
  • 3. 本站RAR压缩包中若带图纸,网页内容里面会有图纸预览,若没有图纸预览就没有图纸。
  • 4. 未经权益所有人同意不得将文件中的内容挪作商业或盈利用途。
  • 5. 人人文库网仅提供信息存储空间,仅对用户上传内容的表现方式做保护处理,对用户上传分享的文档内容本身不做任何修改或编辑,并不能对任何下载内容负责。
  • 6. 下载文件中如有侵权或不适当内容,请与我们联系,我们立即纠正。
  • 7. 本站不保证下载资源的准确性、安全性和完整性, 同时也不承担用户因使用这些下载资源对自己和他人造成任何形式的伤害或损失。

评论

0/150

提交评论