电动力学习题解答

1、第二章静电场1.一个半径为R的电介质球，极化强度为PKr/r2，电容率为。1）计算束缚电荷的体密度和面密度：2）计算自由电荷体密度；3）计算球外和球内的电势；4）求该带电介质球产生的静电场总能量。解：（1）pPK(r/r2)K(1/r2)rr(1/r2)K/r2pn(P2P1)erPrRK/R（2）D内0EPP/(0)fD内P/(0)K/(0)r2（3）E内D内/P/(0)E外D外fdVKRer40r2er0(200)r外E外drKR0(0)rrRE外drK(lnR)内E内drrrR00（4）W11K2R4r2dr12K2R24r2drDEdV2022R422(0)r20(0)r2R(1)(K

2、)20在平均外电场中置入半径为R0的导体球，试用分别变量法求下列两种情况的电势：（1）导体球上接有电池，使球与地保持电势差0；（2）导体球上带总电荷Q解：（1）该问题拥有轴对称性，对称轴为经过球心沿外电场E0方向的轴线，取该轴线为极轴，球心为原点建立球坐标系。当RR0时，电势知足拉普拉斯方程，通解为(anRnbn1)Pn(cos)nRn因为无穷远处EE0，0E0Rcos0E0RP1(cos)所以a00，a1E0，an0,(n2)当RR0时，0所以0E0R0P1(cos)bnPn(cos)0n1nR0即：0b0/R00,b1/R02E0R0所以b0R0(00),b1E0R03,bn0,(n2)0

3、E0RcosR0(00)/RE0R03cos/R2(RR0)0(RR0)（2）设球体待定电势为0，同理可得0E0RcosR0(00)/RE0R03cos/R2(RR0)0(RR0)当RR0时，由题意，金属球带电量QnRRdS002Q00(E0cosR02E0cos)R0sindd040R0(00)所以(00)Q/40R00E0RcosQ/40R(E0R03/R2)cos(RR0)0Q/40R(RR0)3.平均介质球的中心置一点电荷Qf，球的电容率为，球外为真空，试用分别变量法求空间电势，把结果与使用高斯定理所得结果比较。提示：空间各点的电势是点电荷Qf的电势Qf/4R与球面上的极化电荷所产生的

4、电势的迭加，后者知足拉普拉斯方程。解：（一）分别变量法空间各点的电势是点电荷Qf的电势Qf/4R与球面上的极化电荷所产生的电势的迭加。设极化电荷产生的电势为，它知足拉普拉斯方程。在球坐标系中解的形式为：内（anRnbn）（cos）nRn1Pn（cnRndn）（cos）外nRn1Pn当R时，外0，cn0。当R0时，内为有限，bn0。所以内anRn（cos），外dnP（ncos）nPnnRn1由于球对称性，电势只与R有关，所以an0,(n1)dn0,(n1)内a0，外d0/R所以空间各点电势可写成内a0Qf4R外d0RQf4R当RR0时，由内外得：a0d0/R0由内外得：Qf0Qf0d0Qf11n

5、0n4R024R02R02，d04()0a0Qf11)则(4R00所以QfQf（11）内4R4R00QfQf（11Qf外4R）40R4R0（二）应用高斯定理在球外，RR，由高斯定理得：0E外dsQ总QfQpQf，（整个导体球0的束缚电荷Qp0），所以E外Qfer，积分后得：40R2RE外dRQfdRQf外R40R240RQf，所以在球内，RR0）置一点电荷Qf，试用分别变量法求空间各点电势，证明所得结果与电象法结果相同。解：以球心为原点，以球心到点电荷的连线为极轴建立球坐标系。将空间各点电势看作由两部分迭加而成。一是介质中点电荷产生的电势1Qf/4R2a22Racos，二是球面上的感觉电荷及极

6、化面电荷产生的2。后者在球内和球外分别知足拉普拉斯方程。考虑到对称性，2与无关。由于R0时，2为有限值，所以球内的2解的形式可以写成i2anRnPn(cos)n由于R时，2应趋于零，所以球外的2解的形式可以写成bn)o2nRn1Pn(cos由于R2a22Racos(1/a)(R/a)nPn(cos)n1(Qf/4a)(R/a)nPn(cos)n当RR0时，内1i2(Qf/4a)(R/a)nPn(cos)anRnPn(cos)nn当RR0时，外1o2(Qf/4a)(R/a)nPn(cos)bnPn(cos)Rn1nn因为导体球接地，所以内0外R内R000将（6）代入（4）得:anQf/4an11

7、）2）3）4）5）6）7）8）将（7）代入（5）并利用（8）式得:bnQfR02n1/4an1（9）将（8）（9）分别代入（4）（5）得:内0(RR0)（10）1QfR0Qf,外a2aR2(R02/a)24R22Racos2RR02cos/a(RR0)（11）用镜像法求解：设在球内r0处的像电荷为Q。由对称性，Q在球心与Qf的连线上，根据边界条件：球面上电势为0，可得：（解略）r0R2/a，QRQf/a00所以空间的电势为1QfQ1QfR0Qf外()a22RacosaR2(R02/a)2(RR0)4r1r24R22RR02cos/a9.接地的空心导体球的内外半径为R1和R2，在球内离球心为a处

8、(aa），试用电象法求空间电势。解：如图，根据一点电荷周边置一无限大接地导体平板和一点电荷周边置一接地导体球两个模型，可确定三个镜像电荷的电量和地址。Q1aQ，r1a2ez；Q2aQ，r2a2bez；bbbQ3Q，r3bez，所以0/aPQaQRbOaQbQQ11a42222420Rb2RbcosRb2RbcosbR2a2aRcosb2ba,(02,Ra)a42a2bR2Rcosb2b12.有一点电荷Q位于两个互相垂直的接地导体平面所QzaQ(x0,a,b)(x0,a,b)围成的直角空间内，它到两个平面的距离为和，求baby空间电势。解：用电像法，可以构造如下列图的三个象电荷来代替两导QQ(x

9、0,a,b)(x0,a,b)体板的作用。Q114(zb)2(xx0)2(ya)2(zb)20(xx0)2(ya)211,(y,z0)(xx0)2(ya)2(zb)2(xx0)2(ya)2(zb)213.设有两平面围成的直角形无穷容器，其内充满电导率为的z液体。取该两平面为xz面和yz面在(x0,y0,z0)和A(x0,y0,z0)(x0,y0,z0)两点分别置正负电极并通以电流I，求导电液体oy中的电势。x解：本题的物理模型是，由外加电源在A、B两点间建立电场，使B(x0,y0,z0)溶液中的载流子运动形成电流I，当系统稳准时，属恒定场，即/t0，J0。对于恒定的电流，可按静电场的方式办理。于

10、是在A点取包围A的高斯面，则EdSQ/，由于IjdS，jE，所以Q(x0,y0,z0)Q(x0,y0,z0)zQ(x0,y0,z0)Q(x0,y0,z0)I/Q/可得：QI/。同理，对B点有：QBI/QoyxQ(x0,y0,z0)Q(x0,y0,z0)Q(x0,y0,z0)Q(x0,y0,z0)又，在容器壁上,jn0，即无电流穿过容器壁。由jE可知，当jn0时，En0。所以可取如右图所示电像，其中上半空间三个像电荷Q，下半空间三个像电荷-Q，容器内的电势散布为：18QiI14ri4i1(xx0)2(yy0)2(zz0)211(xx0)2(yy0)2(zz0)2(xx0)2(yy0)2(zz0)

11、211(xx0)2(yy0)2(zz0)2(xx0)2(yy0)2(zz0)211(xx0)2(yy0)2(zz0)2(xx0)2(yy0)2(zz0)21(xx0)2(yy0)2(zz0)214.画出函数d(x)/dx的图，说明(p)(x)是一个d(x)dx位于原点的偶极子的电荷密度。解：（1）(x)0,x0ox,x0d(x)(xx)(x)dxlimxx01）x0时，d(x)/dx02）x0时，a)对于x0，d(x)lim0dxx0 xb)对于x0，d(x)lim0dxx0 x图象如右图所示。(p)(x)(px1/x1px2/x2px3/x3)(x)xdV(p)(x)xdV(px1/x1px

12、2/x2px3/x3)(x)xdV其中第一项为：(px1x1)(x)xdVpx1x1(x1)(x2)(x3)(x1e1x2e2x3e3)dx1dx2dx3px1(x1)(x2)(x3)(x1e1x2e2x3e3)dx1dx2dx3e1px1x1d(x1)dx1x1dx1应用dt(t)(t)td(t)，即td(t)dt(t)(t)，可得：dtdtdtdte1px1x1d(x1)dx1e1px1dx1(x1)e1px1(x1)dx1dx1e1px1x1(x1)e1px1e1px1(x=0)同理可得其他两项分别为e2px2及e3px3，所以，xdVp,即p是一个位于原点的偶极子的电荷密度。15.证明

13、：（1）(ax)(x)/a(a0)，（若a0，结果怎样？）2）x(x)0证明：1)显然，当x0时，(ax)(x)/a建立；又(ax)dxd(ax)11(ax)a(ax)d(ax)aa(x)dx1所以(ax)(x)/a在全空间建立。若a0，(ax)dx(ax)dx(ax)d(ax)1aa即，(ax)(x)/a所以(ax)(x)/a在全空间建立。由(x)的选择性证明。x(x)x(x)0，而x(x)dxxx00 x(x)0，进而x(x)0一块极化介质的极化矢量为P(x)，根据偶极子静电势的公式，极化介质所产生的静电势为P(x)3rdV，其他根据极化电荷公式pP(x)及pnP，V40r极化介质所产生的

14、电势又可表为P(x)dVP(x)dS，试证明以上V40rS40r两表达式是等同的。证明：由第一种表达式得1P(x)rdV1P(x)1dV4Vr34Vr00P11PP1rrr140VP(x)rdVVP(x)dVr140VP(x)rdVSP(x)dS，r所以，两表达式是等同的。实际上，持续推演有：1P(x)dVPndS1VrpdVpdS40VrSr40Sr恰巧是极化体电荷的总电势和极化面电荷产生的总电势之和。证明下述结果，并熟悉面电荷和面偶极层两侧电势和电场的变化。1）在面电荷两侧，电势法向微商有跃变，而电势是连续的。（2）在面偶极层两侧，电势有跃变21nP/0，而电势的法向微商是连续的。（各带等

15、量正负面电荷密度而靠的很近的两个面，形成面偶极层，而偶极矩密度Pliml）l0z证明：1）如图，由高斯定理可得：2ESS/0，EE/210，x2S(/20)z(/20)z021E即，电势是连续的，但是1/n1E1nez/20，2/n2E2nez/201/n12/n2/01+即，电势法向微商有跃变nEl2）如图，由高斯定理可得：Eez/0221limEllimnl/0zl0l0nP/0又1/nE，2/nE1/n2/n0，即电势的法向微商是连续的。18.一个半径为R0的球面，在球坐标0/2的半球面上电势为0在/2的半球面上电势为0，求空间各点电势。提示：Pn(x)dxPn1(x)Pn1(x)11，

16、Pn(1)102n10,（n奇数）Pn(0)(1)n/2135(n1),（n偶数）246n22解：由题意，球内外电势均知足拉普拉斯方程：0；外0内球内电势在r0时为有限，球外电势在r时为0，所以通解形式为：内anrnPn(cos)，外bnPn(cos)。rn1nn在球面上，外rR0，即f()0,(0/2)内rR0rR00,(/2)将f()按球函数展开为广义傅立叶级数，f()nfnPn(cos)则anR0nbnR0(n1)fn，下面求fn。fn2n11)Pn(cos)dcos2n1Pn(cos)sind2f(20R102n120Pn(cos)sind0Pn(cos)sind2022n1012n111201Pn(x)dx00Pn(x)dx200Pn(x)dx0Pn(x)dx1)nP(x)，所以由于P(x)(nnfn2n11n112n1n1120Pn(x)dx(1)Pn(x)dx01(1)Pn(x)dx0020当n为偶数时，fn0；2n1Pn1(x)Pn1(x)11当n为奇